Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Derivatan och grafen
Tillämpning Derivata - Optimeringsproblem
Innehåll
Vid tillämpning av derivatan handlar ofta uppgifterna om att hitta ett största eller minsta värde som den givna matematiska modellen kan anta. Vi vet att största och minsta värdet återfinns i extrempunkterna eller i intervallets gränser.
Vi har i lektionen Problemlösning med derivatan redan gett en hel det tips att tänka på vid problemlösning och tillämpning av derivatan. Men i denna lektion vill vi sammanfatta det vi adderat i detta kapitel.
Tre olika sätt att bestämma extrempunktens karaktär
För att få full poäng vid tillämpning och problemlösning måste du oftast motivera och argumentera för ditt svar. När det gäller derivatan måste du tänka på att verifiera punkternas karaktär. Alltså motivera om din extrempunkt är en maximi- eller minimipunkt eller om punkten är en terrasspunkt. Detta kan du göra på olika sätt. Antingen gör du en teckentabell, använder andraderivatan eller argumenterar för funktionens utseende.
Teckentabell och extrempunktens karaktär
Med hjälp av teckentabellen kan du avgöra karaktären på extrempunkten. Här har vi ett exempel på en teckentabell.
Det är ganska tidskrävande att ta fram en tecken tabell, men ger en tydlig bild av grafens utseende. Detta sätt är mycket användbart då du ska skissa en graf. Vill du bara veta om det är en maximi- eller minimipunkt du fått fram när du satt derivatan lika med noll är detta sätt lite onödigt tidskrävande. Du kan istället bara använda dig av andraderivatan. Se nedan.
För att repetera hur du konstruerar en teckentabell så återvänd till lektionen Nollställen och teckentabeller.
Andraderivatan och extrempunktens karaktär
Andra derivatan är ett snabbt sätt att avgöra karaktären på extrempunkten.
Om andraderivatan är lika med noll i extrempunkten måste karaktären avgöras på ett annat sätt, tex med en teckentabell.
Grafen och extrempunktens karaktär
Genom att resonera kring grafens utseende kan man ange extrempunktens karaktär. Här kommer en kort överblick av några polynomfunktioners utseende.
Grafen till en polynomfunktion med negativ koefficient vid den dominerande termen kommer alltid gå mot ett negativ värde då $x\rightarrow+\infty$x→+∞.
Grafen till en polynomfunktion med positiv koefficient vid den dominerande termen kommer alltid gå mot ett positivt värde då $x\rightarrow+\infty$x→+∞.
Rimlighet och överslagsräkning
Tänk på att alltid kontrollera att ditt svar är rimligt, svarar på det som efterfrågas och har korrekt enhet. Ett tips är att göra till en vana att alltid uppskatta vad du tror att svaret skulle kunna vara, alltid skriva ett tydligt svar längst ner efter din uträkning och stämma av detta med uppgiftens fråga innan du går vidare till nästa uppgift.
Genom att studera enheterna i uppgiften och vad som efterfrågas i svaret kan du ibland får en ledning i hur uppgiften ska lösas.
Viktiga begrepp kring funktionsvärden
Stationär punkt
En punkt där derivatan är lika med noll.
Minimipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.
Maximipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.
Extrempunkt
Samlingsnamn på maximipunkt eller minimipunkt.
Terrasspunkt
Stationär punkt där derivatans teckenväxling kring punkten är $-0-$−0− eller $+0+$+0+.
Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.
Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.
Extremvärde eller Extremum
Samlingsnamn på maximum eller minimum.
Alla ovanstående begrepp kan ges tillägget lokal eller global
Lokal
Syftar på värden i en visst del av hela definitionsmängden
Global
Syftar på värden i hela definitionsmängden
Exempel i videon
- Katten Sickan älskar att hoppa efter en tygråtta. Hennes höjd kan beskrivas med funktionen $f(x)=4x-4x^2$ där $x$ är tiden i sekunder. Hur högt hoppar hon?
- Företaget specialcans.com skall designa en cylinderformad burk med förhållandet enligt figuren (se video). Bestäm radie och höjd för att få maximal volym.
- Modellen $T\left(x\right)=0,05x^3-1,02x^2+6x$T(x)=0,05x3−1,02x2+6x, där $x$x är tiden i timmar efter midnatt, beskriver en vinterdag temperaturen $T$T °C i ett växthus. Modellen gäller endast för dygnets första $10$10 timmar. Bestäm den högsta temperaturen under de $10$10 första timmarna.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
En kanon avlossar ett skott och kanonkulans höjd $h(t)$ meter beskrivs av $ h(t) = 2 + 50t – 0,2t^2 $ där $t$ är tiden i sekunder efter avlossningen. Vilken är kulans högsta höjd?Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen Matematik 3 Problemlösning med Derivata och kurvorRättar...2. Premium
Din vän vill bygga en fyrkantig sandlåda där det är tänkt använda tegelstenar som kant runt omkring. Din vän har stenar så att det räcker till en omkrets på $8$8 meter.
Hur lång ska kortsidan vara för att sandlådan ska få den största möjliga arean?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Använd derivata och ta reda på vilken som är den maximala arean för triangeln i figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen Matematik 3 Problemlösning med Derivata och kurvorRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Kostnaden på tillverkningen av en produkt kan beskrivas med funktionen $K(n)=8n^2-88n+256$K(n)=8n2−88n+256 där $n$n är antalet enheter som tillverkats.
Hur många enheter ska man tillverka för att ha så låg tillverkningskostnad som möjligt?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen Problemlösning med Derivata och kurvorRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Sid ska hägna in en del av sin mark för att kunna låta sina hästar gå och beta. Hon planerar att dela in marken i tre lika stora rektangulära hagar som ligger i fil, alltså bredvid varandra. Till förfogande har hon $280$280 meter stängsel.
Hur stor är den största möjliga arean på varje hage, då de ska vara lika stora?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Ett företag funderar på det mest optimala antalet $x$x enheter att producera av en särskild produkt för att maximera sin vinst per månad. Kostnaden för att tillverka produkten ges av $K(x)=350\text{ }000+0,2x^2+1000x$K(x)=350 000+0,2x2+1000x då $x\ge0$x≥0 och man säljer produkten för $2890$2890 kronor stycket.
Beräkna det optimala antalet för maximal vinst.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen extrempunkt maximipunkt Växande och avtagande funktionerRättar...7. Premium
En besättningsfri raket håller på att tillverkas och du ska beräkna om inställningarna på raketen är tillräckligt bra för att klara av uppskjutningen, som pågår under fem kritiska sekunder. Höjden över marken kan beskrivas med funktionen $h(t)=3,9^{\frac{t}{2}}-1$h(t)=3,9t2 −1 meter efter $t$ sekunder, under de fem första sekunderna av uppskjutningen, enligt de inställningar som råder i dag.Efter de fem sekunderna fortsätter raketen i samma hastighet som den då kommit upp till. Raketens hastighet $v(t)$v(t) bör vara inom intervallet $300< v(t) <400$ km/h då uppskjutningen är avklarad, alltså efter de fem första sekunderna, för att undvika att den blir överhettad och exploderar. Vilket råd ger du dina chefer efter din beräkning?
Träna på att motivera ditt svar med hjälp av matematiska beräkningar på ett papper.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (3)
-
8. Premium
En rektangel har sitt vänstra övre hörn på kurvan $f(x)=2\sqrt{x}$ƒ (x)=2√x och det andra övre hörnet på linjen $x=4$x=4. Rektangelns båda de nedre hörnen ligger på $x$x-axeln.
Bestäm det största möjliga värdet på arean $A(x)$A(x) för rektangeln i figuren med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen Problemlösning med Derivata och kurvorRättar...9. Premium
Figuren visar graferna till funktionerna $f$ƒ och $g$g som är definierade i intervallet $-5\le x\le9$−5≤x≤9
Funktionen $h$h bildas som summan av $f$ƒ och $g$g, det vill säga $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$h(x)=ƒ (x)+g(x).
Använd graferna för att lösa följande uppgifter.
a) Bestäm $h\left(2\right)$h(2)
b) Bestäm största värdet för funktionen $h$h i intervallet $-5\le x\le9$−5≤x≤9
c) Bestäm $h’\left(5\right)$h’(5)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan funktionsvärdet grafen tangentens lutningRättar...10. Premium
Ett företag tillverkar cylinderformade konservburkar. Vilken radie ska en konservburk med volymen $20\pi$20π cm$^3$3 anta, för att varje konservburk ska ha så minimal materialåtgång som möjligt?Ange svaret avrundat till två decimalers noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Signe
Hej, i uppgift 7 står det att 20,4m/s blir 340 km/h, stämmer det verkligen? Blir det inte 20,4*3,6=73,6km/h?
David Höglund
På uppgift 7 står det att 20,4 m/s är 340km/h men 20,4*3,6 är 73,44 km/h
e-lijne
Hej
Jag har en uppgift där jag skall konstruera en ”ny” låda med begränsningsarean 6400cm^2 där man skall få ut största möjliga volym.. Jag vet inte hur det skall gå till? Utgångläget är ett rätblock med 50x30x20 i måtten.. Tacksam för hjälp
Simon Rybrand (Moderator)
Du skriver att du har ett utgångsläge, får dessa mått inte ändras? Annars blir det ju svårt att optimera måtten.
Anna Nyback
Hejsan,skulle behöva hjälp med denna uppgift:
En boll kastas uppåt och dess höjd h meter efter t sekunder kan beskrivas med funktionen
h(t)=-5t^2+20t +8
Vilken hastighet har bollen när den träffar marken?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Derivatan av sträckan (höjden) ger dig hastigheten. Dvs derivera funktionen och och sätt in det t-värde där bollen träffar marken. Du hittar t-värdet genom att ta reda på där grafen skär x-axeln.
Anna Nyback
Tack, nu fattar jag!
Tom Jörlen
Hej!
Jag skulle behöva hjälp med följande fråga:
Beräkna det kortaste vertikala avståndet a mellan kurvan
f(x)=1,2e^x-0,2 och linjen g(x)=x-1 från figuren nedan. Svara exakt.
tack!
Simon Rybrand (Moderator)
Om vi tänker oss att vi flyttar linjen $ g(x)=x-1 $ uppåt så kommer linjen tills slut att tangera $ f(x) $. Vi kan därför använda oss av den linje som tangerar $ f(x) $ med lutningen 1, dvs samma lutning som g(x).
Först söks därför när $ f´(x) = 1 $.
$ f´(x) = 1,2e^x $
$ 1,2e^x = 1 ⇔ $
$ e^x = \frac{5}{6} ⇔ $
$ x = ln(\frac{5}{6}) ≈ -0,182 $
Vid detta x-värde gäller att $ y = f(-0,182) = $ $ 1,2e^{-0,182}-0,2 ≈ 0,8 $
Tangenten kommer därför att tangera i punkten $ (-0,182; 0,8) $.
Kvarstår gör nu att bestämma tangentens m-värde vilket ges av
$ m = 0,8-(-0,182) = 0,982 $
Tangenten skär alltså y axeln i $0,982$ och $g(x)$ skär y-axeln i $-1$. Linjen har alltså flyttats lodrät uppåt $ 1+0,982 = 1,982 $ steg.
Avståndet bör vara (ungefärligt) 1,982.
Stämmer det med det du söker?
nti_ma3
Hej!
Skulle behöva lite hjälp med en uppgift..
”En öppen cylinderformad burk ska ha volymen 125 cm3.
Vilka dimensioner ska burken ha för att materialåtgången ska bi så liten som möjligt?”
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du behöver här ställa upp och optimera en funktion som beskriver arean för burken då volymen är 125 cm³. Från det vi vet om volymen så kan du ställa upp sambandet:
$ \pi r^2 h = 125 ⇔ $
$ h = \frac{125}{\pi r^2} $
Arean för en cylinder kan beskrivas av funktionen:
$ M(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h $
I denna kan du byta ut h mot det vi tog fram ovan och sedan optimera med hjälp av derivata. Hoppas att detta hjälper dig framåt!
nti_ma3
Såklart…tack! 🙂
carlitav
Hejsan! Jag har en uppgift som jag inte kan lösa. Skulle du snälla kunna hjälpa mig med denna? Skulle verkligen uppskatta ett svar så snart så möjligt 🙂 Tack på förhand!
En plåtskiva har formen av en rektangel med sidorna 10 cm och 15 cm. Genom att klippa bort lika stora kvadrater i varje hörn och sedan vika plåtskivan kan man tillverka en öppen låda. Hur stor skall sidan i varje kvadrat vara för att lådan skall bli så stor som möjligt, och hur stor blir då volymen?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, gör så att du sätter längden på sidan på den bortklippta kvadraten för x. Då kommer höjden på din låda att vara x.
Sedan får du måtten (10 – x) och (15 – x) på bredd och djup på lådan då det försvinner just längden x från dessa sidor.
Sedan kan du ställa upp en volymformel och maximera denna med derivata:
$ V(x) = x(10-x)(15-x) $
Hoppas att detta hjälper dig på vägen!
nti_ma3
hej,
hur gör man om derivatans nollställe är utanför definationsmängden t. ex. En klotformad behållare med diametern 20 dc som håller på att fyllas med vatten. Vid en betämd påfyllningshastighet gäller att den tid f(x) minuter, som det tar att fylla behållaren till vattenhöjden x decimeter, ges av sambandet f(x) =-x^3 + 30x^2
bestäm det största värde som derivatan kan anta.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, om du skall bestämma det största värdet för derivatan så behöver det inte vara samma sak som derivatans nollställe. Dvs här kan du först derivera funktionen och undersöka det största värdet för derivatan.
nti_ma3
Kan du vänligen visa hur man undersöker det största värdet för derivatan?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du hittar en video om detta här
nti_ma3
Hej! Jag har stött på en uppgift i min mattebok som jag inte löser. En bonde ska bygga två rektangulära hagar med en gemensam sida. Han har 600m stängsel till sitt förfogande. Hur tar jag reda på hagarnas maximala totalarea?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, börja med att kalla den gemensamma sidan för x, då vet vi att en sida i de bägge rektanglarna som tillsammans skapar en stor rektangel. Eftersom det är två hagar med en gemensam sida så kommer det att ”försvinna” 3x från de 600 metrarna stängsel. Därför kommer de övriga två sidorna i den stora rektangeln att vara 600 – 3x och en av dessa $\frac{600-3x}{2}$
Då kan du ställa upp areafunktionen:
$A(x)=x \cdot \frac{600-3x}{2}$
Carina Mattsson
I uppgift 3 kanske det hade varit bra att med någon metod visa att x-värdet verkligen ger största volymen och inte minsta. Kan tyckas självklart, men jag tror att man måste visa det.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Carina, Det man kan göra är att undersöka derivatan innan och efter ens funna extremvärde. Vi kan lägga till det i redovisningen av uppgiften. Det brukar vara rekommenderat att göra detta så jag håller med dig.
Gunilla Jacobsson
I figuren för uppgift 2 står det att basen är h-20. Detta borde vara 20-h då det annars ger en andragradsekvation med en positiv x^2-term och därmed har den en minimipunkt istället för maximipunkt vilket efterfrågas.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Gunilla, tack för att du uppmärksammade oss på detta, vi ordnar bilden på momangen.
Endast Premium-användare kan kommentera.