...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Trigonometri

Cosinussatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Cosinussatsen beskriver förhållandet mellan en vinkel och triangelns sidor. Framförallt är detta samband bra att använda sig av när man vill få fram sidor eller vinklar som man inte kan få fram med hjälp av areasatsen och sinussatsen.

Dessutom kan du få använda dig av cosinussatsen tillsammans med någon av de andra två satserna för att lösa vissa problem.

Formeln för cosinussatsen

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Cosinussatsen

Cosinussatsen

Med hjälp av cosinussatsen kan vi ställa upp följande tre samband.

1:  $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a2=b2+c22·b·c·cosA 

2:  $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos B$b2=a2+c22·a·c·cosB 

3:  $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$c2=a2+b22·a·b·cosC 

Sammanfattningsvis är cosinussatsen användbar vid följande situationer:

  1. När du känner till tre sidor (fig 1 nedan)
  2. När du känner till en vinkel och två sidor (fig 2 nedan)

När du kan använda cosinussatsen

Räkna ut vinkeln med cosinussatsen

Det går att skriva om formeln så att det snabbare går att räkna ut vinkeln. Då gör du på följande vis för att exempelvis lösa ut vinkeln $A$A.

 $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a2=b2+c22·b·c·cosA 

Subtrahera med kvadraterna i högerledet

 $a^2-b^2-c^2=-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a2b2c2=2·b·c·cosA 

Dela med $-2\cdot b\cdot c$2·b·c 

  $-\frac{a^2-b^2-c^2}{2\cdot b\cdot c}$a2b2c22·b·c  $=\cos A$=cosA 

 $A=\cos^{-1}$A=cos1 $\left(-\frac{a^2-b^2-c^2}{2\cdot b\cdot c}\right)$(a2b2c22·b·c )  

Räkneexempel

Exempel 1

Använd figuren och cosinussatsen och bestäm längden på sidan x.

Räkneexempel-1

Lösning

Här har vi en okänd sida x som vi kan ta reda på genom att använda oss av vårt trigonometriska samband för cosinus. Därför får vi att

 $x^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cdot\cos38°$x2=102+1222·10·12·cos38° 

Om vi därefter beräknar högerledet får vi:

$ x^2 = 54,88 $

Slutligen tar vi roten ur bägge leden och får

$ x = \sqrt{54,88} = 7,4 $ cm

Exempel 2

Bestäm triangelns alla vinklar.

Exempel cosinussatsen

Lösning

Vi använder cosinussatsen för att beräkna två vinklar. Efter det ges den tredje av att vinkelsumman är $180\text{°}$180° i trianglar.

Först markerar vi ut vinklarna vi söker.

Därefter räknar vi ut vinkeln $a$a

 $10^2=9^2+14^2-2\cdot9\cdot14\cdot\cos a$102=92+1422·9·14·cosa 

 $100=81+196-252\cdot\cos a$100=81+196252·cosa 

 $-177=-252\cdot\cos a$177=252·cosa 

 $\cos a=\frac{-177}{-252}$cosa=177252  

 $a=\cos^{-1}$a=cos1 $\approx45,38^{\circ}$45,38 

Efter det beräknar vi vinkeln $b$b på samma vis

 $14^2=9^2+10^2-2\cdot9\cdot10\cdot\cos b$142=92+1022·9·10·cosb 

 $196=81+100-280\cdot\cos b$196=81+100280·cosb 

 $15=-280\cdot\cos b$15=280·cosb 

 $\cos b=\frac{15}{-280}$cosb=15280  

 $b=\cos^{-1}$b=cos1 $\left(\frac{15}{-280}\right)$(15280 ) $\approx93,07^{\circ}$93,07  

Slutligen får vi den sista vinkeln genom  $c=180^{\circ}-45,38^{\circ}-93,07^{\circ}=41,55^{\circ}$c=18045,3893,07=41,55

Därför gäller att

$a=45,38^{\circ},\text{ }\text{ }b=93,07^{\circ},\text{ }\text{ }c=41,55^{\circ}$a=45,38, b=93,07, c=41,55

Bevis av cosinussatsen

Cosinussatsen kan bevisas för fall både med spetsig och trubbig vinkel. Här nedan görs ett bevis för när när triangeln är spetsig. Med andra ord när vinkeln som används är mindre än $90^{\circ}$90.

Beviset

Bevis av cosinussatsen

Därefter använder vi pythagoras sats och ställer upp följande samband för den vänstra och den högra triangeln.

  1. Vänstra triangeln:  $c^2=h^2+m^2\text{ }\Leftrightarrow\text{ }h^2=c^2-m^2$c2=h2+m2h2=c2m2
  2. Högra triangeln:  $a^2=h^2+\left(b-m\right)^2\text{ }\Leftrightarrow\text{ }h^2=a^2-\left(b-m\right)^2$a2=h2+(bm)2h2=a2(bm)2  

Då bägge sambanden innehåller $h^2$h2 så kan vi sätta dem lika med varandra.

 $c^2-m^2=a^2-\left(b-m\right)^2$c2m2=a2(bm)2 

Vi utvecklar parentesen

 $c^2-m^2=a^2-\left(b^2-2bm+m^2\right)$c2m2=a2(b22bm+m2) 

 $c^2-m^2=a^2-b^2+2bm-m^2$c2m2=a2b2+2bmm2 

Vi adderar med $m^2$m2 i bägge leden

 $c^2=a^2-b^2+2bm$c2=a2b2+2bm 

Vi löser ut $a^2$a2 

 $a^2=b^2+c^2-2bm$a2=b2+c22bm 

Nu är vi nästan klara. Det sista steget blir att skriva om $m$m med hjälp av cosinus. Från figuren ser vi att  

 $cosA=\frac{m}{c}\Leftrightarrow m=c\cdot cosA$cosA=mc m=c·cosA

Detta sätter vi in i sambandet

 $a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot cosA$a2=b2+c22b·c·cosA 

 $a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot cosA$a2=b2+c22b·c·cosA 

Nu är vi klara och visat att cosinussatsen stämmer. Du kan dessutom bevisa sambandet för de övriga vinklarna på samma sätt som visades här ovan.

Exempel i videon

  • Beräkna längden $a$ i en triangel med cosinussatsen med ett antal kända sidor och vinklar (se bild i video).
  • Över dörren till en butik sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med längden $1,0 \, m$. Butiksägaren skall flytta stagets väggfäste så att flaggstången bildar vinkeln $v=30°$ med väggen. Väggfästen placeras rakt ovanför punkten $P$ (se bild i video). Bestäm avståndet mellan $P$ och väggfästets nya läge.

Kommentarer

Myrrha Stenmark

Kan ej se uträkningar.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Hör av dig till support@matematikvideo.se så hjälper vi dig gärna med detta!

amal dawood

Hej!
Jag vet inte när man räknar en längden eller två i en sida av en triangel Tack

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, förstår inte riktigt din fråga. Har du ett exempel som du kan skriva här så tar vi det utifrån det?

Elena Ardemo

Bortse min notering om Matematik 3 vs 4, för det var jag som tittade på fel ställe. Dock återstår frågan om additions- och substraktionsformler.
Tack.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Elena
    Tack för din kommentar.
    Just nu har vi inte något för bevis av just dessa trigonometriska samband. Vi skall absolut titta på att lägga till dessa och jag lägger till detta i vår lista över videos som skall göras.

Elena Ardemo

Hejsan,

Denna video ingår i Matematik 4 trots att cosinussatsen tillhör Matematik 3 om jag minns rätt? Finner dock varken bevis på additions- och substraktionsformler för sinus och cosinus eller någon video relaterat till dessa formler. Skulle ni kunna hjälpa till att hitta dessa (just med additions- och substraktionsformler, videon om de andra formlerna hittade jag).

Tack!

wtfvnh

Hej!
Flagstångsuppgiften borde väl ha svaret/svaren:
x1= 1.84
x2= 0.24 (1.04-0.8)

Eller är jag ute och cyklar?
Tack annars för grymma guides =)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du är inte ute och cyklar, vi skall korrigera denna video så snart som möjligt.

Krille10

Hej, du har visat exempel där du vet 2 sidor av 3. Jag har fastnat på ett tal där jag bara vet höjden på en liksidig triangel och ska beräkna exakta värdet på arean.
Jag delar upp triangeln i 2 st rätvinkliga så jag har ena sidan som höjden. Men om jag bara vet ”a” men inte varken ”b” eller ”c” hur går jag vidare då? Något tips?
Tack

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du nämner inte höjden i den liksidiga triangeln men om vi säger att höjden = h (och att vi vet dess värde) så kan du lösa ut sidan x genom att använda pythagoras sats enligt:
    $ h^2+(\frac{x}{2})^2 = x^2 $

    Där alltså $ \frac{x}{2} $ är halva sidan i den liksidiga triangeln.

jaalle

Tack! det hjälpte mycket. jag löste diagonalerna som 15 mm och 28 mm men kunde inte lösa den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.
Tack igen!

jaalle

Hej Simon!
jag har fasnat en fråga i boken M 3c (nr 1436) det handlar om alltså en parallellogram där två sidor är 12 mm, 19 mm och en mellanliggande vinkel som 52.
a) Beräkna vardera diagonalens länd.
b) Bestäm den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.
Kan du ge ledtråd?
Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, i en parallellogram så gäller följande:
    – Vinkelsumman av innervinklarna är 360°
    – Motstående sidor är lika lång
    – Motstående vinklar är lika stora
    – Diagonalerna som skär varandra delar varandra i mitten.

    Eftersom du har en vinkel som är 56° och på vardera sidan om denna två sidor som är 12 resp 19 mm kan du med cosinussatsen ställa upp sambandet för ena diagonalens längd x:

    $ x^2 = 12^2 + 19^2 – 2 \cdot 12 \cdot 19 \cdot cos56 $

    Hoppas att detta hjälper dig på vägen (ger tillräckligt med ledtrådar 😉 )

oscar.bergman

Hej, jag förstår verkligen inte förklaringen för uppgift ett vid övningsexemplen. Vill du vara god och förklara?
Tack

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kan du precisera lite mer var det är du fastnar och vad det är du tror att du inte förstår så tar vi det därifrån!

    I princip så tillämpar vi bara cosinussatsen där direkt på triangeln och löser ekvationen.

backis

jag undrar en sak; i kapiteltestet grundläggande triginometri, fråga sju. Sista delen av uträkningen så skulle cosinussatsen enligt hur ni räknar där lyda : a^2=b^2+c^2+2*csinA ????? Har ni verkligen tittat på denna frågan och svaret?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej det är ett skrivfel i den uppgiften och det skall stå cos och inte sin där. Det är korrigerat, tack för att du gjorde oss uppmärksamma på detta!

robin@martinandersson.com

Jag undrar angående andrta exemplet i videon varför du inte sätter X^2= istället för 1^2? I första exemplet satte du den okända = och inte en konstant!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Det beror på vilka sidor som man känner till i triangeln. I det exempel som du frågar om så vet vi inte den mot x motstående längden och behöver därför jobba lite annorlunda med cosinussatsen. Här vet vi istället att den motstående längden mot vinkeln är lika med 1 och sätter vårt x till en av de andra längderna. Fråga gärna vidare om jag är otydlig kring detta!

Simon Rybrand (Moderator)

Hej, det beror på att jag avrundar cos(52) till 2 decimaler i uträkningen för att inte göra för många beräkningar i ett svep. När man slår allt direkt på räknaren ges alltså ett något annorlunda (och lite mer korrekt) svar.

soulpat

Angående exemplet vid 05:00. När jag slår 2*6*7cos(52) får jag: 51,716. Väldigt nära ditt resultat, men fortfarande inte samma. vad kan detta bero på?


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm vinkeln x i figuren.

    Räkneövning 1

    Avrunda svaret till en decimal

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm sidan $x$x i figuren

    Bestäm längden med cosinussatsen

    Avrunda svaret till en decimal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Fel i cosinussatsen

    Ludwig använder cosinussatsen för att bestämma sidan $x$x i triangeln i figuren.

    När han kollar facit så har det blivit fel. I vilket steg i uträkningen har han gjort fel?

    Steg 1:  $3^2=x^2+6^2-2\cdot3\cdot6\cdot cos\left(121,86^{\circ}\right)$32=x2+622·3·6·cos(121,86) 

    Steg 2:  $9=x^2+36-36\cdot cos\left(121,86^{\circ}\right)$9=x2+3636·cos(121,86) 

    Steg 3:   $x^2=9-36+36\cdot cos\left(121,86^{\circ}\right)$x2=936+36·cos(121,86) 

    Steg 4:   $\sqrt{x^2}=\sqrt{9-36+36\cdot cos\left(121,86^{\circ}\right)}$x2=936+36·cos(121,86) 

    Steg 5:  $x\approx6,78$x6,78

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En triangel har sidorna $13\text{ }cm$13 cm,  $14\text{ }cm$14 cm och $15\text{ }cm$15 cm. Bestäm den största vinkeln i triangeln.

    Avrunda svaret till en decimal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm arean för triangeln i figuren.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/1)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm ett $c$c  så att $A=30^{\circ}$A=30 .

    Avrunda ditt svar till två decimaler

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En kub har sidan $2$2 cm. Triangeln $ABC$ABC har hörn i mittpunkterna på kubens respektive sidor.

    Bestäm vinkeln $A$A i triangeln $ABC$ABC.

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se