Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Trigonometri
Cosinussatsen
Innehåll
Cosinussatsen beskriver förhållandet mellan en vinkel och triangelns sidor.
Framförallt är detta samband bra att använda sig av när vi vill få fram sidor eller vinklar som vi inte kan få fram med hjälp av areasatsen och sinussatsen.
Dessutom kan vi använda cosinussatsen tillsammans med någon av de andra två satserna för att lösa vissa problem.
Formeln för cosinussatsen
Cosinussatsen
För en triangel $ABC$ABC gäller att
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$c2=a2+b2−2·a·b·cosC
där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan $b$b motstående vinkeln $B$B och sidan $c$c motstående vinkeln $C$C.
Cosinussatsen är användbar vid följande situationer
- När vi känner till tre sidor (fig 1)
- När vi känner till en vinkel och två sidor (fig 2)
Även denna sats ger som följd av att triangeln har tre vinklar, tre fall.
Fall 1: $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a2=b2+c2−2·b·c·cosA
Fall 2: $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos B$b2=a2+c2−2·a·c·cosB
Fall 3: $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$c2=a2+b2−2·a·b·cosC
Räkna ut vinkeln med cosinussatsen
Det går att skriva om formeln så att det snabbare går att räkna ut vinkeln. Då gör vi på följande vis för att exempelvis lösa ut vinkeln $A$A.
$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a2=b2+c2−2·b·c·cosA
Subtrahera båda leden med $b^2$ och $c^2$
$a^2-b^2-c^2=-2\cdot b\cdot c\cdot\cos A$a2−b2−c2=−2·b·c·cosA
Dividera båda leden med $-2\cdot b\cdot c$−2·b·c
$-\frac{a^2-b^2-c^2}{2\cdot b\cdot c}$−a2−b2−c22·b·c $=\cos A$=cosA
$A=\cos^{-1}$A=cos−1 $\left(-\frac{a^2-b^2-c^2}{2\cdot b\cdot c}\right)$(−a2−b2−c22·b·c )
Räkneexempel
Exempel 1
Använd figuren och cosinussatsen och bestäm längden på sidan $x$.
Lösning
Här har vi en okänd sida $x$ som vi kan ta reda på genom att använda oss av vårt trigonometriska samband för cosinus. Därför får vi att
$x^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cdot\cos38°$x2=102+122−2·10·12·cos38°
Om vi därefter beräknar högerledet får vi:
$x^2=54,877...$x2=54,877...
Slutligen tar vi roten ur bägge leden och får
$x\approx\pm7,4$x≈±7,4
Då vi söker en längd är endast $7,4$7,4 cm aktuellt som svar.
Exempel 2
Bestäm triangelns alla vinklar.
Lösning
Vi använder cosinussatsen för att beräkna två vinklar. Efter det ges den tredje av att vinkelsumman är $180\text{°}$180° i en triangel.
Först markerar vi ut vinklarna vi söker.
Därefter räknar vi ut vinkeln $a$a
$10^2=9^2+14^2-2\cdot9\cdot14\cdot\cos a$102=92+142−2·9·14·cosa
$100=81+196-252\cdot\cos a$100=81+196−252·cosa
$-177=-252\cdot\cos a$−177=−252·cosa
$\cos a=\frac{-177}{-252}$cosa=−177−252
$a=\cos^{-1}$a=cos−1 $\left(\frac{-177}{-252}\right)$(−177−252 ) $\approx45,38...^{\circ}$≈45,38...∘
Efter det beräknar vi vinkeln $b$b på samma vis
$14^2=9^2+10^2-2\cdot9\cdot10\cdot\cos b$142=92+102−2·9·10·cosb
$196=81+100-280\cdot\cos b$196=81+100−280·cosb
$15=-280\cdot\cos b$15=−280·cosb
$\cos b=\frac{15}{-280}$cosb=15−280
$b=\cos^{-1}$b=cos−1 $\left(\frac{15}{-280}\right)$(15−280 ) $\approx93,07...^{\circ}$≈93,07...∘
Slutligen får vi den sista vinkeln genom $c=180^{\circ}-45,38...^{\circ}-93,07...^{\circ}\approx42^{\circ}$c=180∘−45,38...∘−93,07...∘≈42∘
Därför gäller att
$a\approx45^{\circ},\text{ }\text{ }b\approx93^{\circ},\text{ }\text{ }c\approx42^{\circ}$a≈45∘, b≈93∘, c≈42∘
Bevis av cosinussatsen
Cosinussatsen kan bevisas för fall både med spetsig och trubbig vinkel. Här nedan görs ett bevis för när triangeln är spetsig. Med andra ord när vinkeln som används är mindre än $90^{\circ}$90∘.
Beviset
Därefter använder vi Pythagoras sats och ställer upp följande samband för den vänstra och den högra triangeln.
- Vänstra triangeln: $c^2=h^2+m^2\text{ }\Leftrightarrow\text{ }h^2=c^2-m^2$c2=h2+m2 ⇔ h2=c2−m2
- Högra triangeln: $a^2=h^2+\left(b-m\right)^2\text{ }\Leftrightarrow\text{ }h^2=a^2-\left(b-m\right)^2$a2=h2+(b−m)2 ⇔ h2=a2−(b−m)2
Då bägge sambanden innehåller $h^2$h2 kan vi sätta dem lika med varandra.
$c^2-m^2=a^2-\left(b-m\right)^2$c2−m2=a2−(b−m)2
Vi utvecklar parentesen
$c^2-m^2=a^2-\left(b^2-2bm+m^2\right)$c2−m2=a2−(b2−2bm+m2)
$c^2-m^2=a^2-b^2+2bm-m^2$c2−m2=a2−b2+2bm−m2
Vi adderar $m^2$m2 till bägge leden
$c^2=a^2-b^2+2bm$c2=a2−b2+2bm
Vi löser ut $a^2$a2
$a^2=b^2+c^2-2bm$a2=b2+c2−2bm
Nu är vi nästan klara. Det sista steget blir att skriva om $m$m med hjälp av cosinus. Från figuren ser vi att
$\cos A=\frac{m}{c}\Leftrightarrow m=c\cdot\cos A$cosA=mc ⇔m=c·cosA
Detta sätter vi in i sambandet
$a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot\cos A$a2=b2+c2−2b·c·cosA
Nu är vi klara och har visat var cosinussatsen kommer ifrån. Vi kan dessutom bevisa sambandet för de övriga vinklarna på samma sätt som visades här ovan.
Exempel i videon
- Beräkna längden $a$ i en triangel med cosinussatsen med ett antal kända sidor och vinklar (se bild i video).
- Över dörren till en butik sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med längden $1,0$ m. Butiksägaren ska flytta stagets väggfäste så att flaggstången bildar vinkeln $v=30°$ med väggen. Väggfästen placeras rakt ovanför punkten $P$ (se bild i video). Bestäm avståndet mellan $P$ och väggfästets nya läge.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Bestäm vinkeln $x$x i figuren.
Avrunda svaret till en decimal
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Cosinussatsen Matematik 3 trigonometriRättar...2. Premium
Bestäm sidan $x$x i figuren
Avrunda svaret till en decimal
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: CosinussatsenRättar...3. Premium
Ludwig använder cosinussatsen för att bestämma sidan $x$x i triangeln i figuren.
När han kollar facit har det blivit fel. I vilket steg i uträkningen har han gjort fel?
Steg 1: $3^2=x^2+6^2-2\cdot3\cdot6\cdot\cos121,86^{\circ}$32=x2+62−2·3·6·cos121,86∘
Steg 2: $9=x^2+36-36\cdot\cos121,86^{\circ}$9=x2+36−36·cos121,86∘
Steg 3: $x^2=9-36+36\cdot\cos121,86^{\circ}$x2=9−36+36·cos121,86∘
Steg 4: $\sqrt{x^2}=\sqrt{9-36+36\cdot\cos121,86^{\circ}}$√x2=√9−36+36·cos121,86∘
Steg 5: $x\approx6,78$x≈6,78
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: CosinussatsenRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
En triangel har sidorna $13$13 cm , $14$14 cm och $15$15 cm . Bestäm den största vinkeln i triangeln.
Avrunda svaret till en decimal.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Cosinussatsen triangelsatserna trigonometiRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Bestäm arean för triangeln i figuren.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Cosinussatsen Matematik 3 trigonometriRättar...6. Premium
En bonde vill ta reda på arean för en triangulär fårhage där måtten på hagens sidor är $80$80 m, $36$36 m och $64$64 m.
Ange hagens area i hela kvadratmetrar.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Problemlösning Trigonometri trigonometriRättar...7. Premium
Anton och Anya vill veta avståndet mellan två platser, A och B, i skogen. Mellan dessa platser är det besvärligt att ta sig fram. Det är därför svårt för dem att mäta upp avståndet direkt.
Istället väljer de ut två platser C och D som tillsammans med B ligger längs samma linje. Sedan mäter Anton och Anya upp sträckorna AC, AD, BD och CD, se figur. Figuren är inte skalenlig.
Beräkna avståndet mellan A och B.
(NP Ma3 ht13)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: CosinussatsenLiknande uppgifter: Cosinussatsen problemlösning trigonometriRättar...a-uppgifter (2)
-
8. Premium
Bestäm ett $c$c så att $A=30^{\circ}$A=30∘ .
Avrunda ditt svar till två decimaler
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cosinusssatsenRättar...9. Premium
En kub har sidan $2$2 cm. Triangeln $ABC$ABC har hörn i mittpunkterna på tre av kubens kanter.
Bestäm vinkeln $A$A i triangeln $ABC$ABC.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: CosinussatsenRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Vivi Coco
Nu kom jag på felet jag gjorde 🙂
Vivi Coco
Hej 🙂 Jag har fastnat i uppgift 4
A= cos^-1( - 15^2-13^2-14^2)/ 2x13x14)=67,4 grader
Jag har bränt några hjärnceller, i över 40 minuter :/ jag räknar ihop kan inte få samma resultat kan ni snälla beskriva steg för steg just till den biten man ska använda casino räknaren. Mvh Vivi
Tayzo569
I fråga 7. Borde det en av längden vara 38 och inte 36 som det står på lösningsförslaget? Jag får då till ett inkorrekt svar pga det.
Myrrha Stenmark
Kan ej se uträkningar.
amal dawood
Hej!
Jag vet inte när man räknar en längden eller två i en sida av en triangel Tack
Elena Ardemo
Bortse min notering om Matematik 3 vs 4, för det var jag som tittade på fel ställe. Dock återstår frågan om additions- och substraktionsformler.
Tack.
Elena Ardemo
Hejsan,
Denna video ingår i Matematik 4 trots att cosinussatsen tillhör Matematik 3 om jag minns rätt? Finner dock varken bevis på additions- och substraktionsformler för sinus och cosinus eller någon video relaterat till dessa formler. Skulle ni kunna hjälpa till att hitta dessa (just med additions- och substraktionsformler, videon om de andra formlerna hittade jag).
Tack!
wtfvnh
Hej!
Flagstångsuppgiften borde väl ha svaret/svaren:
x1= 1.84
x2= 0.24 (1.04-0.8)
Eller är jag ute och cyklar?
Tack annars för grymma guides =)
Krille10
Hej, du har visat exempel där du vet 2 sidor av 3. Jag har fastnat på ett tal där jag bara vet höjden på en liksidig triangel och ska beräkna exakta värdet på arean.
Jag delar upp triangeln i 2 st rätvinkliga så jag har ena sidan som höjden. Men om jag bara vet "a" men inte varken "b" eller "c" hur går jag vidare då? Något tips?
Tack
jaalle
Tack! det hjälpte mycket. jag löste diagonalerna som 15 mm och 28 mm men kunde inte lösa den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.
Tack igen!
jaalle
Hej Simon!
jag har fasnat en fråga i boken M 3c (nr 1436) det handlar om alltså en parallellogram där två sidor är 12 mm, 19 mm och en mellanliggande vinkel som 52.
a) Beräkna vardera diagonalens länd.
b) Bestäm den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna.
Kan du ge ledtråd?
Tack!
oscar.bergman
Hej, jag förstår verkligen inte förklaringen för uppgift ett vid övningsexemplen. Vill du vara god och förklara?
Tack
backis
jag undrar en sak; i kapiteltestet grundläggande triginometri, fråga sju. Sista delen av uträkningen så skulle cosinussatsen enligt hur ni räknar där lyda : a^2=b^2+c^2+2*csinA ????? Har ni verkligen tittat på denna frågan och svaret?
robin@martinandersson.com
Jag undrar angående andrta exemplet i videon varför du inte sätter X^2= istället för 1^2? I första exemplet satte du den okända = och inte en konstant!
soulpat
Angående exemplet vid 05:00. När jag slår 2*6*7cos(52) får jag: 51,716. Väldigt nära ditt resultat, men fortfarande inte samma. vad kan detta bero på?
Endast Premium-användare kan kommentera.