...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Trigonometri

Sinussatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Sinussatsen kan användas för att bestämma okända vinklar och sidor i en triangel. För att kunna använda den så behöver du känna till följande

  1. En sidas längd och motstående vinkels storlek
  2. Någon annan sida eller vinkel i triangeln

Sinussatsens formel

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Sinussatsen

För en triangel $ABC$ABC gäller att

Sinussatsen

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc 

där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan  $b$b motstående vinkeln  $B$B  och sidan $c$c  motstående vinkel  $C$C.

I likhet med tillämpningen av areasatsen, så väljer man att använda den eller de kvoter som lämnar sig bäst för tillfället.

Likheten ovan kan skrivas om till

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$asinA =bsinB =csinC 

och man kan välja att använda de sambanden i stället om man hellre vill, beroende på vilket som passar bäst för uppgiften man ska lösa. Tipset är att välja det samband som ger att en eventuell variabel hamnar i täljaren. Då slipper du lite jobb när du ska lösa ut den.

Metoder att bestämma sidor och vinklar i trianglar kallas för triangelsolvering. Och sinussatsen är en av tre triangelsatser, tillsammans med areasatsen och cosinussatsen, som vi kommer att introducera i denna kurs.. Se även lektionen om när sinussatsen ger två fall.

Triangulering

Triangulering  kallas den metod man använder för att bestämma avstånd som är svåra, eller till och med omöjliga, att mäta.

Metoden går ut på att symmetri och likformighet ger möjlighet att med hjälp av trigonometri mäta vinklar och sidor som är enkla att bestämma, för att sedan med triangelsatserna beräkna vinklar och avstånd som inte är så mätbara.

Triangulering används exempelvis för att mäta avstånd i rymden, höjder på berg och byggnader eller för att ange GPS-positioner.

Men innan vi tar oss an dessa tillämpningar kollar vi på ett mer mätbart exempel. Vi börja med att bestämma en okänd vinkel.

Exempel 1

Ta reda på vinkeln $x$x i figuren nedan.

exempel 1 sinussatsen - bestäm vinkeln x

Lösning

Vi använder sinussatsen för att ställa upp ekvationen

$\frac{\sin x}{5,3}=\frac{\sin38^{\circ}}{3,4}$sinx5,3 =sin383,4 

Vi multiplicerar bägge leden med $5,3$5,3 och får

$\sin x$sinx $\frac{5,3\cdot\sin38^{\circ}}{3,4}$5,3·sin383,4 

Därefter tar vi sinusinvers ( $\arcsin$arcsin eller $\sin^{-1}$sin1 ) i bägge leden. Då får vi

$x=\sin^{-1}$x=sin1 $\left(\frac{5,3\cdot\sin38^{\circ}}{3,4}\right)$(5,3·sin383,4 )

$x\approx73,68^{\circ}$x73,68

Vinkeln är alltså ca $73,68^{\circ}$73,68.

Om nu tittar vi på hur men kan använda sinusstasen för att bestämma en okänd längd.

Exempel 2

Bestäm längden på sidan $x$x i triangeln. Avrunda till två decimaler.

Exempel 2 sinussatsen - bestäm sidan x

Lösning

Nu skall vi bestämma längden på sidan $x$x. Därför använder vi sinussatsen på följande vis.

$\frac{x}{sin35^{\circ}}=\frac{6,2}{sin70^{\circ}}$xsin35 =6,2sin70 

Nu multiplicerar vi bägge leden med $sin35^{\circ}$sin35 och får

$x=\frac{sin35^{\circ}\cdot6,2}{sin70^{\circ}}\approx3,78\text{ }cm$x=sin35·6,2sin70 3,78 cm

Därför är längden på sidan $3,78\text{ }cm$3,78 cm

Bevis av sinussatsen

Vi ritar ut en godtycklig triangel.

Sinussatsen

När vi bevisar sinussatsen så kan vi utgå från areasatsen som beskriver ett sätt att beräkna en triangels area. Arean kan beskrivas på tre olika vis.

$\text{Area}=$Area= $\frac{ab\text{ }\sin C}{2}=\frac{bc\text{ }\sin A}{2}=\frac{ac\text{ }\sin B}{2}$ab sinC2 =bc sinA2 =ac sinB2 

Utifrån detta samband kan vi skriva om kvoterna på följande vis

$\frac{ab\text{ }\sin C}{2}=\frac{bc\text{ }\sin A}{2}=\frac{ac\text{ }\sin B}{2}$ab sinC2 =bc sinA2 =ac sinB2 

Förläng varje led med  $2$2

$ab\text{ }\sin C=bc\text{ }\sin A=ac\text{ }\sin B$ab sinC=bc sinA=ac sinB

Dividera alla led med $abc$abc

$\frac{ab\text{ }\sin C}{abc}=\frac{bc\text{ }\sin A}{abc}=\frac{ac\text{ }\sin B}{abc}$ab sinCabc =bc sinAabc =ac sinBabc 

Därefter kan vi förkorta varje led. Exempelvis kan vi förkorta det första ledet (det längst till vänster) med $ab$ab. Efter förenkling får vi då

$\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$sinCc =sinAa =sinBb 

Vilket är sinussatsen!

Exempel i videon

  • Bestäm vinkeln v (Se bild i video)
  • Bestäm sidan x. (Se bild i video)
  • Johanna vill veta avståndet till sin sommarstuga vid C. Hon vet att vinkeln B är 23°, AC är 500 meter och AB är 210 meter. Hur långt är avståndet?

Kommentarer

Hamid Zamanfar

Hej!
Exempel 3 i videon stämmer inte! du har räknat 20 grader istället 23 grader.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja det var fel där, det är korrigerat, tack för att du sade till!

A.

Hej,
jag förstår inte i testfrågan 3, varför man tar a/sin85 = 8/sin80 Borde det inte vara a/sin15 = 8/sin80?

Alltså, a/sinA = c/sinC

a/sin85 är väl som att ta a/sinB?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Förklaringen till den uppgiften kan nog definitivt missuppfattas då bisektrisen kallas för a. Jag gör så att att vi döper om den till bokstaven b som är mycket mer logiskt i det här fallet. Då tror jag att det blir mer förståeligt.

mariam.safia

Hej
Jag löste andra övningen (exemplet) i videon och gjorde exakt samma steg men fick 78,32 m istället för 78,7. Kan det beror på räknaren? Eller är det räknefel? Min räknare är Texas 82.

Marima

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Skillnaden mellan våra svar är inte att du har räknat fel utan det beror på att det görs avrundningar på vägen i vår uträkning. Ditt svar är egentligen mer exakt.

hjorten_911

Fråga 3 är lite knasig.

Jag räknade ut den ljusa triangelns area (ABc) och fick likadant svar som er, men sedan när jag räknade ut arean på den stora triangeln (ABC) stämde det inte överens med svaret på frågan.

NI får vinkel A att bli 30 grader. Sedan vet man att vinkel B är 85 grader. Med hjälp av det vet man att vinkel C är 65 grader.
KOntrollerar man sedan med sinussatsen (sin 65/8 = sin 85/10) får man olika svar.

Är det fel i uppgiften eller har jag räknat fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, felet i uppgiften var att längden 10 är felaktig, det skall istället vara (ungefär) 8,79 cm. Uppgiften är uppdaterad och tack för att du kommenterade detta!

nti_mad

hej! när ger sinussatsen två fall?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, detta kan ske när du vet två sidor och en motstående vinkel v samt att denna vinkel v är spetsig.

    Grundförutsättningen för att vi skall få två fall är att en höjden i triangeln är mindre än de bägge längderna som i sin tur är olika långa. För tillfället har vi ingen video på dessa specifika fall av sinussatsen och jag tror att det blir enklare att förstå om man visar det visuellt så vi skall förstås göra en sådan.

      Laxhilding

      Finns det någon genomgång för när sinussatsen ger två fall än? har kollat runt lite men kan inte hitta någon.

Goeran Hoegosta

Kanske har gjort fel nu men om man tar sin C/c och sin A/a så blir det ju väl sin100/120 = sin40/x vilket gör att x =78,3m. Testade att göra omvänt som du men ser att du skrev;

x= 120xsin40/sin100 men det borde ju vara 120xsin100xsin40. Eller hur?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej och tack för din kommentar
    Båda sätten fungerar att göra på, i det här fallet blir det lite enklare att börja med x i täljaren då ekvationen går aningen snabbare att lösa då. Felet i videon är att $ 120 * sin 40 = 77,1 $ och inte 71,1. Detta uppdateras snarast i genomgången.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $\frac{x}{10}=\frac{2}{3}$x10 =23  

    Svara i bråkform eller avrunda till två decimaler

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen   $\frac{\sin90^{\circ}}{x}=\frac{\sin30^{\circ}}{2}$sin90x =sin302  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    bestäm x

    Daniel skall bestämma vinkeln $x$x och har fått fel svar. I vilket steg i hans uträkningen har det blivit fel?

    Steg 1: $\frac{\sin x}{5,3}=\frac{\sin38^{\circ}}{3,4}$sinx5,3 =sin383,4  

    Steg 2:  $\sin x\cdot3,4=\sin38^{\circ}\cdot5,3$sinx·3,4=sin38·5,3 

    Steg 3:  $x\cdot3,4\approx0,62\cdot5,3$x·3,40,62·5,3 

    Steg 4:  $x\approx$x $\frac{0,62\cdot5,3}{3,4}\approx$0,62·5,33,4 $0,96^{\circ}$0,96  

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm längden $x$ i figuren.

    Bestäm längden x i figuren

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm vinkeln v i figuren.

    Bestäm vinkeln v i figuren

    Avrunda ditt svar till en decimal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    I triangeln ABC finns en inskriven blåmarkerad triangel ACD. Bestäm hur stor andel ACD:s area är av ABC:s area.

    övningsuppgift sinussatsen

    Avrunda ditt svar till heltal

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Johanna skall beräkna avståndet från sig till en mobilmast (vid B). AC är 220 m och BC är 340 m. Vinkeln vid A är $63^{\circ}$63. Hur långt är avståndet?

    Avrunda ditt svar till heltal och svara med enheten meter.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Är  en triangeln $ABC$ABC möjlig om  $AB=10$AB=10,  $AC=6$AC=6 och vinkeln  $B=45^{\circ}$B=45?

    Motivera ditt svar med sinussatsen, men svara med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    I triangeln ABC är  $AB=22\text{ }cm$AB=22 cm och vinkeln B är rät. Vinkeln  $A=40^{\circ}$A=40.  En punkt $D$D ligger på $AB$AB så att vinkeln $BCD=6^{\circ}$BCD=6.

    Bestäm längden $BD.$BD. 

    Avrunda ditt svar till en decimal och svara med enheten cm.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se