Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Trigonometri
När sinussatsen ger två fall (lösningar)
Innehåll
Introduktion till sinussatsens två fall
En triangel där vi känner till en vinkel och två sidor kan i vissa fall konstrueras på två olika vis. Det tittade vi kort på i lektionen om areasatsen. När så är fallet kan även sinussatsen ge två lösningar när vi söker en sida eller en vinkel med hjälp av satsen.
Sinussatsen
I en godtycklig triangel gäller följande samband mellan vinklar och deras motstående sidor.
$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc
Som vi nämnde i lektionen om sinussatsen kan vi skriva om kvoterna till
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$asinA =bsinB =csinC
beroende på vilket som passar bäst för uppgiften vi ska lösa. Tipset är att välja det samband som ger att en eventuell variabel hamnar i täljaren. Då slipper vi lite jobb när vi ska lösa ut den.
När ger sinussatsen två fall?
Som nämns ovan kan sinussatsen ge två fall (lösningar) när vi känner till en vinkel och två av sidorna. Om vi exempelvis har triangeln ABC där vi känner till vinkeln A och sidorna a och b så kan denna triangel ritas ut på följande två vis.
Det som gäller här är att vi har en spetsig vinkel A och den motstående sidan a som är mindre än sidan b och större än höjden h. Notera i figuren här ovan att det är sidan a som har flyttats (pendlats) så att ändpunkten längst ned är närmre vinkeln A. Längden på a har dock inte förändrats.
Följande tre kriterier måste alltså gälla för att vi ska få två lösningar:
- Vinkeln A är bestämd samt sidorna a och b. Däremot vet vi ingen annan vinkel eller sida.
- Vinkeln A är spetsig.
- h < a < b
Sinussatsen kan ge två fall
Nedan följer exempel där vi måste undersöka om sinussatsen kan ge två fall.
Exempel 1
Vi känner till följande om triangeln ABC:
Vinkeln $A=35°$A=35° och sidorna $a=4$a=4 och $b=6$b=6. Bestäm vinkeln $B$B.
Lösning
Vi kan skissa ut triangeln på följande två sätt
Vi tar då reda på $B_1$B1 och $B_2$B2 med hjälp av sinussatsen.
$\frac{\sin35\text{°}}{4}=\frac{\sin B}{6}$sin35°4 =sinB6
$6\cdot\sin35\text{°}=4\cdot\sin B$6·sin35°=4·sinB
$\sin B=$sinB= $\frac{6\cdot\sin35\text{°}}{4}$6·sin35°4
$\sin B\approx0,86$sinB≈0,86
Vi kan nu ta reda på vinkeln $B$B och de två fall som $B$B kan vara.
$B_1=\sin^{-1}\left(0,86\right)\approx59,3\text{°}$B1=sin−1(0,86)≈59,3°
$B_2=180^{\circ}-59,3\text{°}=120,7^{\circ}$B2=180∘−59,3°=120,7∘
Olika typer av trianglar och antalet fall för dem
Nedan samlar vi i tabellform ett antal olika fall av trianglar som kan vara bra att kunna ta fram när vi undersöker om en triangel kan ritas på inget, ett eller två sätt. $h$h motsvarar triangelns höjd mot basen.
| Vinkeln $A$A är spetsig (mindre än $90°$90° ) | Vinkeln $A$A är trubbig (större än $90°$90° ) | ||
 |
 |
 |
 |
| $a=h$a=h | $a\ge b$a≥b | $h$h < $a$a < $b$b | $a$a > $b$b |
Som följd av detta gäller att när $a<$a<$h$h kommer längderna inte att kunna motsvara sidorna i en triangel.
Exempel 2
Undersök om det finns någon triangel $ABC$ABC som uppfyller villkoren
$AC=13$AC=13 cm, $BC=5$BC=5 cm och vinkeln $A=32^{\circ}$A=32∘
Lösning
Vi börjar med att ta reda på vinkeln vid $B$B och för att göra det så använder vi sinussatsen.
$\frac{\sin B}{13}=\frac{\sin32^{\circ}}{5}$sinB13 =sin32∘5
$\sin B=$sinB= $\frac{\sin32^{\circ}\cdot13}{5}$sin32∘·135
$\sin B=1,377...$sinB=1,377...
Eftersom sinus bara antar värden mindre än eller lika med ett, är detta inte möjligt.
De givna värdena innebär att antingen är sidan $BC$BC för kort eller vinkeln $A$A för stor.
Genom att sätta in kända vinklar och längder i sinussatsen kan vi nu bestämma okända sidor och vinklar även på trianglar som inte är rätvinkliga!
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Gabriella försöker rita en triangel med sidorna $100$100 cm, $95$95 cm och $4$4 cm men tycker att det är något som inte riktigt stämmer.
Går det att rita en sådan triangel?
Ange svaret med Ja eller Nej.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri sinus ger två fall sinusstasen triangelsatserna trigonometriRättar...2. Premium
Vilket samband stämmer för triangeln?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsenRättar...3. Premium
Vad krävs för att sinussatsen ska ge två fall (lösningar) i följande triangel?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen två fall sinussatsen två lösningar sinussatsens två fallRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Bestäm vinkeln v i figuren.
Avrunda ditt svar till en decimal.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar...c-uppgifter (4)
-
5. Premium
I triangeln ABC känner vi till att $A=28^{\circ}$A=28∘ och att $AC=8$AC=8 och $BC=7$BC=7.
Vilket är ett korrekt närmevärde av vinkeln $B$B ?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri sinus ger två fall sinusstasen triangelsatserna trigonometriRättar... -
6. Premium
I triangeln ABC är $A=28^{\circ}$A=28∘ , $AB=12,0\text{ }$AB=12,0 cm och $BC=10,0\text{ }$BC=10,0 cm.
Bestäm den största möjliga vinkel som triangeln kan ha.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen två fall sinussatsen två lösningar sinussatsens två fallRättar... -
7. Premium
Undersök om det finns någon triangel $ABC$ABC som uppfyller villkoren
$AC=11$AC=11 cm, $BC=4$BC=4 cm och vinkeln $A=43^{\circ}$A=43∘
Träna på att motivera ditt svar, men ange här Ja eller Nej.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri sinussatsen två fall sinussatsen två lösningar trigonometriRättar...8. Premium
Peder och Viveka ska sätta upp en flaggstång på sin husvägg med hjälp av ett blått stag. Flaggstången ska vara vinklad uppåt så att vinkeln vid B är trubbig (se figur).
Avståndet mellan A och B ska vara $1,5\text{ }$1,5 m och avståndet mellan B och C ska vara $1,0$1,0 m.
Hur långt ska det blåa staget vara?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri sinussatsen två fall sinussatsen två lösningar trigonometriRättar...a-uppgifter (2)
-
9. Premium
I triangeln $T_1$T1 gäller att $AC=4$AC=4 och $BC=3$BC=3 samt att vinkeln $A=30^{\circ}$A=30∘.
I triangeln $T_2$T2 gäller att $AC=9$AC=9 och $BC=a$BC=a samt att vinkeln $B=30^{\circ}$B=30∘.
Bestäm vinkeln $A$A i $T_2$T2 så att $T_1$T1 och $T_2$T2 är likformiga.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri sinussatsen trigonometriRättar... -
10. Premium
Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en $9,0$9,0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa.
Armand betecknar triangeln $ABC$ABC och bestämmer sig för att vinkeln $A$A ska vara $30^{\circ}$30∘, sidan $AB$AB $4,2$4,2 cm och sidan $BC$BC $3,2$3,2 cm.
Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.
Vilka möjliga längder kan sidan $AC$AC anta?
Avrunda till en decimals noggrannhet.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Cosinussatsen Geometri sinussatsen trigonometriRättar... -
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Johan Ahlberg
Jag får ut ett annat svar på A-uppgiften än det som står i förklaring.
Jag får att A1 ≈ 41,81 och att A2 ≈ 138,19.
I förklaringen avrundas det flera gånger genom hela uträkningen medans jag avrundade inte före jag skrev ett svar.
Hur kommer det sig att det avrundas flera gånger genom hela uträkningen, det verkar ju som att det påverkar svaret avsevärt.
Abdullahi Mahamed
i första exemplet ska det va bc=8 inte 6 som ni löste det i lösningen.
Endast Premium-användare kan kommentera.