En triangel där vi känner till en vinkel och två sidor kan i vissa fall konstrueras på två olika vis. Det tittade vi kort på i lektionen om areasatsen. När så är fallet så kan även sinussatsen ge två fall när man söker en sida eller en vinkel av satsen.

Sinussatsen

I en godtycklig triangel gäller följande samband mellan vinklar och deras motstående sidor.

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ sinAa =sinBb =sinCc

Som vi nämnde i lektionen om sinussatsen kan man skriva om kvoterna till

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ asinA =bsinB =csinC

beroende på vilket som passar bäst för uppgiften man ska lösa. Tipset är att välja det samband som ger att en eventuell variabel hamnar i täljaren. Då slipper du lite jobb när du ska lösa ut den.

Som nämns ovan så kan sinussatsen ge två fall (lösningar) när vi känner till en vinkel och två av sidorna. Om vi exempelvis har triangeln ABC där vi känner till vinkeln A och sidorna a och b så kan denna triangel ritas ut på följande två vis.

Det som gäller här är att vi har en spetsig vinkel A och den motstående sidan a som är mindre än sidan b och större än höjden h. Notera i figuren här ovan att det är sidan a som har flyttats (pendlats) så att ändpunkten längst ned är närmre vinkeln A. Längden på a har dock inte förändrats.

Alltså följande tre kriterier måste gälla för att vi skall få två lösningar:

Vinkeln A är bestämd samt sidorna a och b. Däremot vet vi ingen annan vinkel eller sida.
Vinkeln A är spetsig.
h < a < b

Nedan följer exempel där vi måste undersöka om sinussatsen kan ge två fall.

Exempel 1

Vi känner till följande om triangeln ABC:

Vinkeln $A=35°$ A=35° och sidorna $a=4$ a=4 och $b=6$ b=6. Bestäm vinkeln $B$ B.

Lösning

Vi kan skissa ut triangeln på följande två sätt

Vi tar då reda på $B_1$ B₁ och $B_2$ B₂ med hjälp av sinussatsen.

$\frac{\sin35\text{°}}{4}=\frac{\sin B}{6}$ sin35°4 =sinB6

$6\cdot\sin35\text{°}=4\cdot\sin B$ 6·sin35°=4·sinB

$\sin B=$ sinB= $\frac{6\cdot\sin35\text{°}}{4}$ 6·sin35°4

$\sin B\approx0,86$ sinB≈0,86

Vi kan nu ta reda på vinkeln $B$ B och de två fall som $B$ B kan vara.

$B_1=\sin^{-1}\left(0,86\right)\approx59,3\text{°}$ B₁=sin⁻¹(0,86)≈59,3°

$B_2=180^{\circ}-59,3\text{°}=120,7^{\circ}$ B₂=180^∘−59,3°=120,7^∘

Nedan samlar vi i tabellform ett antal olika fall av trianglar som kan vara bra att kunna ta fram när du undersöker om en triangel kan ritas på inget, ett eller två sätt. $h$ h motsvarar triangelns höjd mot basen.

Vinkeln $A$ `A` är spetsig (mindre än $90°$ 90° )			Vinkeln $A$ `A` är trubbig (större än $90°$ 90° )

$a=h$ `a`=`h`	$a\ge b$ `a`≥`b`	$h$ `h` < $a$ `a` < $b$ `b`	$a$ `a` > $b$ `b`

Som följd av detta gäller att när $a\le$ a≤ $h$ h kommer längderna inte kunna motsvara sidorna på en triangel.

Exempel 2

Undersök om det finns någon triangel $ABC$ ABC som uppfyller villkoren

$AC=13$ AC‍=13 cm, $BC=5$ BC=5 cm och vinkeln $A=32^{\circ}$ A=32^∘

Lösning

Vi börjar med att ta reda på vinkeln vid $B$ B och för att göra det så använder vi sinussatsen.

$\frac{\sin B}{13}=\frac{\sin32^{\circ}}{5}$ sinB13 =sin32^∘5

$\sin B=$ sinB= $\frac{\sin32^{\circ}\cdot13}{5}$ sin32^∘·135

$\sin B=1,377…$ sinB=1,377…

Eftersom att sinus bara är definierat för värden mindre eller lika med ett, är detta inte möjligt.

De givna värdena kommer ge att antingen är sidan $BC$ BC för kort eller vinkeln $A$ A för stor.

Genom att sätta in kända vinklar och längde i sinussatsen kan du nu bestämma okända sidor och vinklar även på trianglar som inte är rätvinkliga!

Johan Ahlberg

2020-10-30

Jag får ut ett annat svar på A-uppgiften än det som står i förklaring.
Jag får att A1 ≈ 41,81 och att A2 ≈ 138,19.
I förklaringen avrundas det flera gånger genom hela uträkningen medans jag avrundade inte före jag skrev ett svar.
Hur kommer det sig att det avrundas flera gånger genom hela uträkningen, det verkar ju som att det påverkar svaret avsevärt.

Simon Rybrand (Moderator)

2021-04-13

Om du siktar på ett så exakt svar som möjligt så avvaktar du med att ”slå ut” tex sin30 så länge som möjligt.
Ibland kan det dock vara enklare att slå ut det i delstegen för att följa uträkningen och inte få stora och kompakta uttryck.
Bägge sätten är möjliga i skolsammanhang, rör det sig om beräkningar i industrin är det förstås viktigt att vara så exakt som möjligt.

Abdullahi Mahamed

2019-05-16

i första exemplet ska det va bc=8 inte 6 som ni löste det i lösningen.

Simon Rybrand (Moderator)

2019-05-17

Tack för att du sade till om detta, vi fixar det.

Matematik 3

Välj kurs

KURSER /

Matematik 3

/ Trigonometri

När sinussatsen ger två fall (lösningar)

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Sinussatsen

Exempel 1

Lösning

Exempel 2

Lösning

Johan Ahlberg

Simon Rybrand (Moderator)

Abdullahi Mahamed

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...