Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
Matematik 3
/ Trigonometri
När sinussatsen ger två fall (lösningar)
Innehåll
Introduktion till sinussatsens två fall
En triangel där vi känner till en vinkel och två sidor kan i vissa fall konstrueras på två olika vis. Det tittade vi kort på i lektionen om areasatsen. När så är fallet så kan även sinussatsen ge två fall när man söker en sida eller en vinkel av satsen.
Sinussatsen
I en godtycklig triangel gäller följande samband mellan vinklar och deras motstående sidor.
$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc
Som vi nämnde i lektionen om sinussatsen kan man skriva om kvoterna till
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$asinA =bsinB =csinC
beroende på vilket som passar bäst för uppgiften man ska lösa. Tipset är att välja det samband som ger att en eventuell variabel hamnar i täljaren. Då slipper du lite jobb när du ska lösa ut den.
När ger sinussatsen två fall?
Som nämns ovan så kan sinussatsen ge två fall (lösningar) när vi känner till en vinkel och två av sidorna. Om vi exempelvis har triangeln ABC där vi känner till vinkeln A och sidorna a och b så kan denna triangel ritas ut på följande två vis.
Det som gäller här är att vi har en spetsig vinkel A och den motstående sidan a som är mindre än sidan b och större än höjden h. Notera i figuren här ovan att det är sidan a som har flyttats (pendlats) så att ändpunkten längst ned är närmre vinkeln A. Längden på a har dock inte förändrats.
Alltså följande tre kriterier måste gälla för att vi skall få två lösningar:
- Vinkeln A är bestämd samt sidorna a och b. Däremot vet vi ingen annan vinkel eller sida.
- Vinkeln A är spetsig.
- h < a < b
Sinussatsen kan ge två fall
Nedan följer exempel där vi måste undersöka om sinussatsen kan ge två fall.
Exempel 1
Vi känner till följande om triangeln ABC:
Vinkeln $A=35°$A=35° och sidorna $a=4$a=4 och $b=6$b=6. Bestäm vinkeln $B$B.
Lösning
Vi kan skissa ut triangeln på följande två sätt
Vi tar då reda på $B_1$B1 och $B_2$B2 med hjälp av sinussatsen.
$\frac{\sin35\text{°}}{4}=\frac{\sin B}{6}$sin35°4 =sinB6
$6\cdot\sin35\text{°}=4\cdot\sin B$6·sin35°=4·sinB
$\sin B=$sinB= $\frac{6\cdot\sin35\text{°}}{4}$6·sin35°4
$\sin B\approx0,86$sinB≈0,86
Vi kan nu ta reda på vinkeln $B$B och de två fall som $B$B kan vara.
$B_1=\sin^{-1}\left(0,86\right)\approx59,3\text{°}$B1=sin−1(0,86)≈59,3°
$B_2=180^{\circ}-59,3\text{°}=120,7^{\circ}$B2=180∘−59,3°=120,7∘
Olika typer av trianglar och antalet fall för dem
Nedan samlar vi i tabellform ett antal olika fall av trianglar som kan vara bra att kunna ta fram när du undersöker om en triangel kan ritas på inget, ett eller två sätt. $h$h motsvarar triangelns höjd mot basen.
| Vinkeln $A$A är spetsig (mindre än $90°$90° ) | Vinkeln $A$A är trubbig (större än $90°$90° ) | ||
 |  |  |  |
| $a=h$a=h | $a\ge b$a≥b | $h$h < $a$a < $b$b | $a$a > $b$b |
Som följd av detta gäller att när $a\le$a≤$h$h kommer längderna inte kunna motsvara sidorna på en triangel.
Exempel 2
Undersök om det finns någon triangel $ABC$ABC som uppfyller villkoren
$AC=13$AC=13 cm, $BC=5$BC=5 cm och vinkeln $A=32^{\circ}$A=32∘
Lösning
Vi börjar med att ta reda på vinkeln vid $B$B och för att göra det så använder vi sinussatsen.
$\frac{\sin B}{13}=\frac{\sin32^{\circ}}{5}$sinB13 =sin32∘5
$\sin B=$sinB= $\frac{\sin32^{\circ}\cdot13}{5}$sin32∘·135
$\sin B=1,377…$sinB=1,377…
Eftersom att sinus bara är definierat för värden mindre eller lika med ett, är detta inte möjligt.
De givna värdena kommer ge att antingen är sidan $BC$BC för kort eller vinkeln $A$A för stor.
Genom att sätta in kända vinklar och längde i sinussatsen kan du nu bestämma okända sidor och vinklar även på trianglar som inte är rätvinkliga!
Kommentarer
e-uppgifter (6)
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Gabriella försöker rita en triangel med sidorna $100$100 cm, $95$95 cm och $4$4 cm men tycker att det är något som inte riktigt stämmer.
Går det att rita en sådan triangel?
Ange svaret med Ja eller Nej.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilket samband stämmer för triangeln?
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vad krävs för att sinussatsen skall ge 2 fall/lösningar i följande triangel?
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/1/0)E C A B P 1 1 PL M R K 
I triangeln ABC känner vi till att $A=28^{\circ}$A=28∘ och att $AC=8$AC=8 och $BC=7$BC=7.
Vilket är ett korrekt närmevärde av vinkeln $B$B ?
Rättar...5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/2/0)E C A B P 1 1 PL 1 M R K I triangeln ABC är $A=28^{\circ}$A=28∘ , $AB=12,0\text{ }$AB=12,0 cm och $BC=10,0\text{ }$BC=10,0 cm.
Bestäm den största möjliga vinkel som triangeln kan ha.
Rättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/2/2)E C A B P PL 1 2 M R 1 K 1 Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en $9,0$9,0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa.
Armand betecknar triangeln $ABC$ABC och bestämmer sig för att vinkeln $A$A ska vara $30^{\circ}$30∘, sidan $AB$AB $4,2$4,2 cm och sidan $BC$BC $3,2$3,2 cm.
Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.
Vilka möjliga längder kan sidan $AC$AC anta?
Avrunda till en decimals noggrannhet.
(NP Ma D vt11)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...c-uppgifter (2)
7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/1/0)E C A B P PL M R 1 K Undersök om det finns någon triangel $ABC$ABC som uppfyller villkoren
$AC=11$AC=11 cm, $BC=4$BC=4 cm och vinkeln $A=43^{\circ}$A=43∘
Träna på att motivera ditt svar, men ange här Ja eller Nej.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)E C A B P 1 PL 1 M R K 
Peder och Viveka skall sätta upp en flaggstång på sin husvägg med hjälp av ett blått stag. Flaggstången skall vara vinklad uppåt så att vinkeln vid B är trubbig (se figur).
Avståndet A och B skall vara $1,5\text{ }$1,5 m och avståndet mellan B och C skall vara $1,0$1,0 m.
Hur långt skall det blåa staget vara?
Rättar...a-uppgifter (1)
9. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/3)E C A B P 1 PL 1 M R K 1 I triangeln $T_1$T1 gäller att $AC=4$AC=4 och $BC=3$BC=3 samt att vinkeln $A=30^{\circ}$A=30∘.
I triangeln $T_2$T2 gäller att $AC=9$AC=9 och $BC=a$BC=a samt att vinkeln $B=30^{\circ}$B=30∘.
Bestäm vinkeln $A$A i $T_2$T2 så att $T_1$T1 och $T_2$T2 är likformiga.
Rättar...
Det finns inga befintliga prov.
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Johan Ahlberg
Jag får ut ett annat svar på A-uppgiften än det som står i förklaring.
Jag får att A1 ≈ 41,81 och att A2 ≈ 138,19.
I förklaringen avrundas det flera gånger genom hela uträkningen medans jag avrundade inte före jag skrev ett svar.
Hur kommer det sig att det avrundas flera gånger genom hela uträkningen, det verkar ju som att det påverkar svaret avsevärt.
Simon Rybrand (Moderator)
Om du siktar på ett så exakt svar som möjligt så avvaktar du med att ”slå ut” tex sin30 så länge som möjligt.
Ibland kan det dock vara enklare att slå ut det i delstegen för att följa uträkningen och inte få stora och kompakta uttryck.
Bägge sätten är möjliga i skolsammanhang, rör det sig om beräkningar i industrin är det förstås viktigt att vara så exakt som möjligt.
Abdullahi Mahamed
i första exemplet ska det va bc=8 inte 6 som ni löste det i lösningen.
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till om detta, vi fixar det.
Endast Premium-användare kan kommentera.