Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
Matematik 3
/ Trigonometri
När sinussatsen ger två fall (lösningar)
Innehåll
Introduktion till sinussatsens två fall
En triangel där vi känner till en vinkel och två sidor kan i vassa fall konstrueras på två olika vis. När så är fallet så kan även sinussatsen ge två fall när man söker en sida eller en vinkel av satsen.
Sinussatsen
$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$sinAa =sinBb =sinCc
och går även att skriva som
$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$asinA =bsinB =csinC
När ger sinussatsen två fall?
Som nämns ovan så kan sinussatsen ge två fall (lösningar) när vi känner till en vinkel och två av sidorna. Om vi exempelvis har triangeln ABC där vi känner till vinkeln A och sidorna a och b så kan denna triangel ritas ut på följande två vis.
Det som gäller här är att vi har en spetsig vinkel A och den motstående sidan a som är mindre än sidan b och större än höjden h. Notera i figuren här ovan att det är sidan a som har flyttats (pendlats) så att ändpunkten längst ned är närmre vinkeln A. Längden på a har dock inte förändrats.
Alltså följande tre kriterier måste gälla för att vi skall få två lösningar:
- Vinkeln A är bestämd samt sidorna a och b. Däremot vet vi ingen annan vinkel eller sida.
- Vinkeln A är spetsig.
- h < a < b
Sinussatsen kan ge två fall
Nedan följer exempel där vi måste undersöka om sinussatsen kan ge två fall.
Exempel 1
Vi känner till följande om triangeln ABC:
Vinkeln $A=35°$A=35° och sidorna $a=4$a=4 och $b=6$b=6. Bestäm vinkeln $B$B.
Lösning
Vi kan skissa ut triangeln på följande två sätt
Vi tar då reda på $B_1$B1 och $B_2$B2 med hjälp av sinussatsen.
$\frac{\sin35\text{°}}{4}=\frac{\sin B}{6}$sin35°4 =sinB6
$6\cdot\sin35\text{°}=4\cdot\sin B$6·sin35°=4·sinB
$\sin B=$sinB= $\frac{6\cdot\sin35\text{°}}{4}$6·sin35°4
$\sin B\approx0,86$sinB≈0,86
Vi kan nu ta reda på vinkeln $B$B och de två fall som $B$B kan vara.
$B_1=\sin^{-1}\left(0,86\right)\approx59,3\text{°}$B1=sin−1(0,86)≈59,3°
$B_2=180^{\circ}-59,3\text{°}=120,7^{\circ}$B2=180∘−59,3°=120,7∘
Olika typer av trianglar och antalet fall för dem
Nedan samlar vi i tabellform ett antal olika fall av trianglar som kan vara bra att kunna ta fram när du undersöker om en triangel kan ritas på inget, ett eller två sätt.
| $A$A är spetsig (mindre än $90°$90° | är trubbig (över $90°$90° ) | ||
 |  |  |  |
| $a=h$a=h | $a\ge b$a≥b | $h$h < $a$a < $b$b | $a$a > $b$b |
Kommentarer
e-uppgifter (6)
1. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Gabriella försöker rita en triangel med sidorna $100\text{ }cm$100 cm, $95\text{ }cm$95 cm och $4\text{ }cm$4 cm men tycker att det är något som inte riktigt stämmer. Går det att rita en sådan triangel?
(Svara Ja eller Nej)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...2. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K 
Vilket samband stämmer för triangeln?
Rättar...3. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vad krävs för att sinussatsen skall ge 2 fall (lösningar)?
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel (1/1/0)E C A B P 1 1 PL M R K 
I triangeln ABC känner vi till att $A=28^{\circ}$A=28∘ och att $AC=8$AC=8 och $BC=7$BC=7.
Vilket är ett korrekt fall av vinkeln B?
Rättar...5. Premium
Rapportera fel (1/2/0)E C A B P 1 1 PL 1 M R K I triangeln ABC är $A=28^{\circ}$A=28∘ , $AB=12,0\text{ }cm$AB=12,0 cm och $BC=10,0\text{ }cm$BC=10,0 cm.
Bestäm den största möjliga vinkel som triangeln kan ha.
Rättar...6. Premium
Rapportera fel (1/2/0)E C A B P 1 1 PL 1 M R K 
Peder och Viveka skall sätta upp en flaggstång på sin husvägg med hjälp av ett blått stag. Flaggstången skall vara vinklad uppåt så att vinkeln vid B är trubbig (se figur). Avståndet A och B skall vara $1,5\text{ }m$1,5 m och avståndet mellan B och C skall vara $1,0\text{ }m$1,0 m.
Hur långt skall det blåa staget vara?
Rättar...a-uppgifter (1)
7. Premium
Rapportera fel (0/0/3)E C A B P 1 PL 1 M R K 1 I triangeln $T_1$T1 gäller att $AC=4$AC=4 och $BC=3$BC=3 samt att vinkeln $A=30^{\circ}$A=30∘.
I triangeln $T_2$T2 gäller att $AC=9$AC=9 och $BC=a$BC=a samt att vinkeln $B=30^{\circ}$B=30∘.
Bestäm vinkeln $A$A i $T_2$T2 så att $T_1$T1 och $T_2$T2 är likformiga.
Rättar...
Det finns inga befintliga prov.
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Abdullahi Mahamed
i första exemplet ska det va bc=8 inte 6 som ni löste det i lösningen.
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till om detta, vi fixar det.
Endast Premium-användare kan kommentera.