...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Trigonometri

När sinussatsen ger två fall (lösningar)

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Introduktion till sinussatsens två fall

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

En triangel där vi känner till en vinkel och två sidor kan i vissa fall konstrueras på två olika vis. Det tittade vi kort på i lektionen om areasatsen. När så är fallet så kan även sinussatsen ge två fall när man söker en sida eller en vinkel av satsen.

Sinussatsen

I en godtycklig triangel gäller följande samband mellan vinklar och deras motstående sidor.

Bild till areasatsen

 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc  

Som vi nämnde i lektionen om sinussatsen kan man skriva om kvoterna till

 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$asinA =bsinB =csinC  

beroende på vilket som passar bäst för uppgiften man ska lösa. Tipset är att välja det samband som ger att en eventuell variabel hamnar i täljaren. Då slipper du lite jobb när du ska lösa ut den.

När ger sinussatsen två fall?

Som nämns ovan så kan sinussatsen ge två fall (lösningar) när vi känner till en vinkel och två av sidorna. Om vi exempelvis har triangeln ABC där vi känner till vinkeln A och sidorna a och b så kan denna triangel ritas ut på följande två vis.

Sinussatsens två fall

Det som gäller här är att vi har en spetsig vinkel A och den motstående sidan a som är mindre än sidan b och större än höjden h. Notera i figuren här ovan att det är sidan a som har flyttats (pendlats) så att ändpunkten längst ned är närmre vinkeln A. Längden på a har dock inte förändrats.

Alltså följande tre kriterier måste gälla för att vi skall få två lösningar:

  • Vinkeln A är bestämd samt sidorna a och b. Däremot vet vi ingen annan vinkel eller sida.
  • Vinkeln A är spetsig.
  • h < a < b

Sinussatsen kan ge två fall

Nedan följer exempel där vi måste undersöka om sinussatsen kan ge två fall.

Exempel 1

Vi känner till följande om triangeln ABC:

Vinkeln  $A=35°$A=35°  och sidorna  $a=4$a=4  och  $b=6$b=6. Bestäm vinkeln $B$B.

Lösning

Vi kan skissa ut triangeln på följande två sätt

exempel på två fall av trianglar

Vi tar då reda på $B_1$B1 och $B_2$B2 med hjälp av sinussatsen.

 $\frac{\sin35\text{°}}{4}=\frac{\sin B}{6}$sin35°4 =sinB6  

 $6\cdot\sin35\text{°}=4\cdot\sin B$6·sin35°=4·sinB 

 $\sin B=$sinB= $\frac{6\cdot\sin35\text{°}}{4}$6·sin35°4   

 $\sin B\approx0,86$sinB0,86 

Vi kan nu ta reda på vinkeln $B$B och de två fall som $B$B kan vara.

 $B_1=\sin^{-1}\left(0,86\right)\approx59,3\text{°}$B1=sin1(0,86)59,3° 

$B_2=180^{\circ}-59,3\text{°}=120,7^{\circ}$B2=18059,3°=120,7

Olika typer av trianglar och antalet fall för dem

Nedan samlar vi i tabellform ett antal olika fall av trianglar som kan vara bra att kunna ta fram när du undersöker om en triangel kan ritas på inget, ett eller två sätt.  $h$h  motsvarar triangelns höjd mot basen.

 Vinkeln $A$A är spetsig (mindre än  $90°$90° )Vinkeln $A$A är trubbig (större än  $90°$90° )
 $a=h$a=h $a\ge b$ab  $h$h  <  $a$a  <  $b$b  $a$a  > $b$b 

Som följd av detta gäller att när $a\le$a$h$h kommer längderna inte kunna motsvara sidorna på en triangel. 

Exempel 2

Undersök om det finns någon triangel  $ABC$ABC som uppfyller villkoren

 $AC=13$AC=13  cm,  $BC=5$BC=5 cm och vinkeln  $A=32^{\circ}$A=32 

Lösning

Vi börjar med att ta reda på vinkeln vid $B$B och för att göra det så använder vi sinussatsen. 

 $\frac{\sin B}{13}=\frac{\sin32^{\circ}}{5}$sinB13 =sin325  

 $\sin B=$sinB= $\frac{\sin32^{\circ}\cdot13}{5}$sin32·135   

 $\sin B=1,377…$sinB=1,377…   

Eftersom att sinus bara är definierat för värden mindre eller lika med ett, är detta inte möjligt.

Sinussatsen

De givna värdena kommer ge att antingen är sidan  $BC$BC för kort eller vinkeln  $A$A  för stor.

Genom att sätta in kända vinklar och längde i sinussatsen kan du nu bestämma okända sidor och vinklar även på trianglar som inte är rätvinkliga!

Kommentarer

Abdullahi Mahamed

i första exemplet ska det va bc=8 inte 6 som ni löste det i lösningen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till om detta, vi fixar det.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Gabriella försöker rita en triangel med sidorna $100$100 cm, $95$95 cm och $4$4 cm men tycker att det är något som inte riktigt stämmer.

    Går det att rita en sådan triangel?

    Ange svaret med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket samband stämmer för triangeln?

    triangel

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad krävs för att sinussatsen skall ge 2 fall/lösningar i följande triangel?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P11
    PL
    M
    R
    K

    I triangeln ABC känner vi till att $A=28^{\circ}$A=28 och att $AC=8$AC=8 och $BC=7$BC=7.

    Vilket är ett korrekt fall av vinkeln B?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/2/0)
    ECA
    B
    P11
    PL1
    M
    R
    K

    I triangeln ABC är $A=28^{\circ}$A=28 ,  $AB=12,0\text{ }$AB=12,0 cm och $BC=10,0\text{ }$BC=10,0 cm.

    Bestäm den största möjliga vinkel som triangeln kan ha.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/2/2)
    ECA
    B
    P
    PL12
    M
    R1
    K1

    Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en  $9,0$9,0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa.

    Armand betecknar triangeln $ABC$ABC och bestämmer sig för att vinkeln $A$A ska vara $30^{\circ}$30, sidan $AB$AB  $4,2$4,2 cm och sidan $BC$BC $3,2$3,2 cm.

    Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.

    Vilka möjliga längder kan sidan $BC$BC anta?

    Avrunda till en decimals noggrannhet.

    (NP Ma D vt11)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Undersök om det finns någon triangel  $ABC$ABC som uppfyller villkoren

     $AC=11$AC=11  cm,  $BC=4$BC=4 cm och vinkeln  $A=43^{\circ}$A=43

    Träna på att motivera ditt svar, men ange här Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Peder och Viveka skall sätta upp en flaggstång på sin husvägg med hjälp av ett blått stag. Flaggstången skall vara vinklad uppåt så att vinkeln vid B är trubbig (se figur).

    Avståndet A och B skall vara $1,5\text{ }$1,5 m och avståndet mellan B och C skall vara $1,0$1,0 m.

    Hur långt skall det blåa staget vara?

    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    I triangeln $T_1$T1 gäller att $AC=4$AC=4 och $BC=3$BC=3 samt att vinkeln $A=30^{\circ}$A=30.

    I triangeln $T_2$T2 gäller att $AC=9$AC=9 och $BC=a$BC=a  samt att vinkeln $B=30^{\circ}$B=30.

    Bestäm vinkeln $A$A$T_2$T2 så att $T_1$T1 och $T_2$T2 är likformiga.

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se