Name: Derivatans nollställen och teckentabell - Derivata (Ma 3b, 3c) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4.69 (36 reviews)

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Bestäm extrempunktens karaktär
Strategi
Skissa funktioner med hjälp av en teckentabell
Exempel i videon
Kommentarer

Bestäm extrempunktens karaktär

I den här lektionen tittar vi på en metod/strategi för hur du metodiskt kan undersöka hur en funktion växer och avtar i olika intervall och punkter.

Där funktionens derivata har ett nollställe har funktionen en extrempunkt. Det vill säga en maximipunkt, minimipunkt eller en terrasspunkt. Vi avgör karaktären på extrempunkten, det vill säga vilken av dessa tre extrempunkten är, på följande vis.

Om det är en maximipunkt så växer funktionen innan punkten och avtar efter punkten. Vi har teckenväxlingen $+0-$ +0−
Om det är en minimipunkt så avtar funktionen innan och växer efter punkten. Vi har teckenväxlingen $-0+$ −0+
Om det är en terrasspunkt så växer funktionen innan och efter alternativt avtar innan och efter punkten. Vi har teckenväxlingen $+0+$ +0+ eller $-0-$ −0−

Strategi

Den strategi som presenteras i videon är följande.

Derivera funktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x).
Lös ekvationen $f ’(x) = 0$ för att bestämma de $x$ x-värden som motsvarar derivatans nollställen. Dessa nollställen motsvarar funktionens extrempunkter.
Bestäm $f(x)$ för derivatans nollställen.
Undersök derivatan mellan nollställena för att se om funktionen är avtagande eller växande i intervallet mellan nollställena. Det räcker att du beräknar derivatans värde för ett $x$ x-värde i intervallet, då det inte kan ske en så kallas teckenväxling mellan derivatans nollställen. Om derivatan är positiv är funktionen växande i punkten, är den negativ är den avtagande.
Skissa kurvan. Det sista steget är att skissa grafen till funktionen. Allt som vi undersökt hittills har vi nu fyllt i vårt teckenschema med så detta sista steg brukar vara ganska enkelt. Men det är ändå viktigt för att förstå hur funktionen ser ut.

Skissa funktioner med hjälp av en teckentabell

Genom att föra in dina resultat i en teckentabell får du en tydlig blid över grafens utseende. Det leder till att det blir enklare att göra en korrekt skiss av kurvan och dra korrekta slutsatser.

Exempel 1

Skissa kurvan $f\left(x\right)=x^3-1,5x^2-6x$ ƒ (x)=x³−1,5x²−6x med hjälp av en teckentabell.

Lösning

En teckentabell kan se lite olika ut, men ett sätt är så här. Vi skriver till höger en kolumn med några värden vi vill undersöka.

Börja med att beräkna derivatans nollställen. $f\left(x\right)=x^3-1,5x^2-6x$ ƒ (x)=x³−1,5x²−6x har derivatan $f'(x)=3x^2-3x-6$ ƒ ’(x)=3x²−3x−6. Vi sätter derivatan lika med noll får att bestämma extrempunkterna.

$3x^2-3x-6=0$ 3x²−3x−6=0

$x^2-x-2=0$ x²−x−2=0

$x_{1,2}=$ x_1,2= $\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(-2\right)}$ 12 ±√(12 )²−(−2)

$x_{1,2}=$ x_1,2= $\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}$ 12 ±√94

$x_{1,2}=$ x_1,2= $\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}$ 12 ±32

$x_1=-1$ x₁=−1 och $x_2=2$ x₂=2

Vi fyller i derivatans nollställen i tabellen enligt nedan. Vi vet nämligen att $f'(x)=0$ ƒ ’(x)=0 då $x=-1$ x=−1 och $x=2$ x=2.

Därefter väljer vi ett värde på $x$ x som är mindre, ett mellan och ett större än nollställena och beräknar derivatan för dessa. Det gör vi för att avgöra om funktioner är växande eller avtagande före, mellan och efter nollställena. Vi kan välja precis vilket $x$ x -värde som helst, men har här valt $x=-2$ x=−2 vilket är ett värde mindre än det minsta nollstället $x=-1$ x=−1.

$f'(-2)=3\cdot\left(-2\right)^2-3\cdot\left(-2\right)-6=12>0$ ƒ ’(−2)=3·(−2)²−3·(−2)−6=12>0 vilket anges med ett $+$ + i tabellen. Derivatan är alltså positiv i intervallet $x<-1$ x<−1.

Därefter beräknar vi derivatan för $x=0$ x=0 för att ge derivatan i intervallen mellan nollställen.

$f'(0)=3\cdot0^2-3\cdot0-6=-6<0$ ƒ ’(0)=3·0²−3·0−6=−6<0 vilket anges med ett $-$ − i tabellen. Derivatan är alltså negativ i intervallet $-1$ −1 $x<2$ x<2 .

Till sist väljer vi $x=3$ x=3.

$f'(3)=3\cdot3^2-3\cdot3-6=12>0$ ƒ ’(3)=3·3²−3·3−6=12>0 vilket anges med ett $+$ + i tabellen. Derivatan är alltså positiv i intervallet $x>2$ x>2 .

Genom att rita pilar i positiv och negativ riktning på raden för $f\left(x\right)$ ƒ (x) ges en ”bild” av hur funktionen $f\left(x\right)$ ƒ (x).

Är derivatan positiv är funktionen växande vilket motsvara en pil uppåt, positiv riktning.
Är derivatan negativ är funktionen avtagande vilket motsvara en pil nedåt, negativ riktning.

Teckenväxlingen $+0-$ +0− ger en maximipunkt.
Teckenväxlingen $-0+$ −0+ ger en minimipunkt.

Vi kan också använda andraderivatan för att bestämma extrempunktens karaktär.

$f”(x)=6x^2-3$ ƒ ”(x)=6x²−3 ger att

$f”(-1)=6\cdot\left(-1\right)-3=-9<0$ ƒ ”(−1)=6·(−1)−3=−9<0 vilket ger en maximipunkt.
$f”(2)=6\cdot2-3=9>0$ ƒ ”(2)=6·2−3=9>0 vilket ger en minimipunkt.

Genom att beräkna $f\left(-1\right)$ ƒ (−1) och $f\left(2\right)$ ƒ (2) får vi även $y$ y-koordinaten tillhörande extrempunkterna.

Vi vet att $f\left(x\right)$ ƒ (x) är en positiv tredjegradsfunktion. Vi markera maximi- och minimipunkterna och sammanbinder till en skiss.

Med lite övning så kommer du förhoppningsvis kunna skissa i stort sätt vilken funktion som helst.

Exempel i videon

Använd teckentabell för att skissa grafen till funktionen $f\left(x\right)=2x^2-4x$ ƒ (x)=2x²−4x
Använd teckentabell för att skissa grafen till funktionen $f\left(x\right)=2x^3-3x^2$ ƒ (x)=2x³−3x²

Nästa lektion: Andraderivata

Kommentarer

John B

2023-01-19

Hej, jag förstår inte varför koordinaterna blir (0,0) i fråga 7. Mvh

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2023-01-24

Hej John,

jag har försökt förtydliga förklaringen. Se om det hjälper. Hör av dig igen annars.

Daniel Jönsson

2022-03-09

”Med lite övning så kommer du förhoppningsvis kunna skissa i stort sätt vilken funktion som helst”

Ni menar att man kan skissa den grovt för att få en överblick över hur den ter sig?

Alexander Y

2020-11-17

istället för att skriva
f´(x)=4x-4
f'(x)=0
4x-4=0
…
kan man skriva
f´(x)=4x-4
4x-4=0
4x=4
…

för anledningen är den att jag skrivit så i början och vet inte om det kommer till att bli någon konstighet sen på provet. Håller mig gärna till det allmänna sättet 🙂

Anna Admin (Moderator)

2020-12-08

Hej Alexander,

du måste stämma av med den som ska bedöma dina kunskaper om det har någon särskild åsikt om hur du ska skriva, men jag skulle tycka båda sätten är likvärdiga.

Jag önskar dock alltid en kort kommentar från mina elever kring anledningen till att derivatans sätts till noll. Något i stil med

”Bestämmer extrempunkter genom att sätta $f'(x)=0$ ”

Lycka till!

Lisa Rahmani

2016-12-11

Borde inte funktionen vid 04:13 ha två nollställen eftersom det är en andragradsfunktion? Vet att funktionerna inte måste ha detta utan kan ha UPP till två men hur vet man det? Varför svarade du inte t.ex. x = +-1 istället för bara 1?

Simon Rybrand (Moderator)

2016-12-11

Hej
När vi har deriverat denna funktion så har vi en linjär funktion (derivata) som endast har ett nollställe.
Dvs ekvationen $4x-4=0$ har en lösning $x=1$ och inte två.
Hoppas att detta hjälper dig vidare!

Lisa Rahmani

2016-12-12

Ok, så man kollar på derivatans funktion när man gör tabellen, inte funktionens. Tack!

Jonatan Wennberg

2016-12-08

Ange koordinaterna för extrempunkterna till funktionen

f(x) = x^5 – 5x

Behöver hjälp med denna då jag hade prov idag och blev osäker på om jag svarade rätt..

Simon Rybrand (Moderator)

2016-12-08

Hej
Där har du derivatan $f'(x)=5x^4-5$ och du söker då
$5x^4-5=0$
Addera med 5
$5x^4=5$
Dela med 5
$x^4=1$
Här har du de reella lösningarna $x_1=-1$ och $x_2=1$
Sedan får du ta reda på y-värdena.
Hjälper detta dig vidare?

Mattefreak

2016-11-07

Jag försöker bestämma algebraisk lokala/globala extrempunkter till funktionen

f(x)=6x-x^3 på intervallet (-2 < x < 4)
Deriverar funktionen och får ut
6x-3x^2
x1= roten ur 2 & x2= negativ roten ur 2 är dessa lokala extrempunkter?

Får även fram att globala extrempunkterna bör vara 4;-40 och 1,5 stämmer detta? Vad är de lokala globala hur ska jag ställa upp detta korrekt?

Simon Rybrand (Moderator)

2016-11-07

Hej
Din derivata är fel där, tänk på att derivatan av $6x$ är $6$ , blir det enklare att lösa då?

Mattefreak

2016-11-07

skrev bara fel 6-3x^2 ska det vara, får ändå inte ihop det

Simon Rybrand (Moderator)

2016-11-08

Här ingår inte intervallets ändpunkter i intervallet så dessa kan inte vara extrempunkter. Därmed har du de globala där derivatan är 0. Dvs det är både lokala och globala. Om ändpunkterna hade ingått så hade x=4 gett ett globalt minimum.

Elna Cornelia Karlsson

2015-11-24

I filmen står det (4:36) att det är ett nollställe när x=1. Detta måste ju vara fel, y ska ju vid ett nolställe vara lika med noll och i detta fallet är jui y= -2. Det är väl snarare en extrempunkt i x=1 eller är det jag som är ute och cyklar?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-11-25

Hej
Vi kan kalla detta för ett nollställe men vad som kanske borde vara tydligare är att det är ett nollställe för derivatan. Dvs i denna punkt gäller att derivatan noll. Hoppas att detta blir tydligare för dig nu, vi skall ta med oss denna fråga när vi uppdaterar och utvecklar denna och andra videos.

Lovisa Ekegren Scheffer

2015-10-16

Hej! Tack för bra genomgångar, känner att jag förstår mycket mer än innan! Men har väldigt svårt för funktioner som har mer än en extrem/terasspunkt. Jag förstår att det är då derivatan = 0 som det är en sån punkt, men tycker det är svårt att räkna ut i uppgifterna. Ex:

f(x) = x^3 + 6x^2 – 10

f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x

Simon Rybrand (Moderator)

2015-10-18

Hej,
Ett tips kan vara att först rita ut funktionerna i en grafritare eller i ett program. På det viset har du ju lite ”föraning” om var du kan hitta extrempunkterna.
Jag kan visa den första funktionen och hur jag tänker kring den, kanske att det hjälper dig vidare.
Här är derivatan $f'(x) = 3x^2+12x$ . Nu löser vi ekvationen
$f'(x)= 0 ⇔$
$3x^2+12x= 0 ⇔$ (Bryt ut 3x i varje term i VL)
$3x(x+4)= 0 ⇔$ (Nollproduktmetoden)
$x_1=0$ och $x_2=-4$
Nu vet vi att vi har extrempunkter i $x_1=0$ och $x_2=-4$ så då återstår det att ta reda på om dessa är max eller minpunkter. Detta kan vi göra genom att göra ett teckenschema eller användning av andraderivatan. Här kan vi undersöka derivata innan, mellan och efter punkterna (dvs ett teckenschema).
Om $x < -4$ så är derivatan positiv (sätt exempelvis in x = -5) Om $-4 < x < 0$ så är derivatan negativ (sätt exempelvis in x = -2) Om $x > 0$ så är derivatan positiv (sätt exempelvis in x = 1)
Nu kan vi rita ut funktionen som bör se ut så här:

nti_ma3

2014-08-15

Hej, i sista exemplet i videon så räknar du ut derivatan mellan de två max-min-punkterna. Var inte det onödigt, man kan väl anta att funktionen måste avta eftersom f(x) går från 0 till -1?

Simon Rybrand (Moderator)

2014-08-18

I de allra flesta fall så är det så och i detta fall så måste ju funktionen som sagt ”ner” till nästa extrempunkt. Dock kan det vara bra att ha lite koll på om det är en terrasspunkt då derivatan beter sig lite annorlunda.

nti_ma3

2014-05-01

Hej! Jag undrar över tal 4018c i exponent3b, hur deriverar man 1-4x^2-2x^3-x^4/4 , jag måste deriverat fel för jag fick helt fel svar till slut. Tack på förhand

Simon Rybrand (Moderator)

2014-05-02

Hej
$f(x) = 1-4x^2-2x^3-\frac{x^4}{4}$
$f'(x) = -8x-6x^2-x^3$

Ida

2014-03-21

Hej!
I matematik C boken av Holström, uppgift 2120 så frågar dom efter i vilka punkter g'(x) är noll baserat på en bild på grafen g'(x).

Detta antar jag är när grafen visar k=0. Men de menar på att det är när kurvan skär i x-axeln. Jag trodde att det var fallet ifall dom skulle ha frågat efter g(x)=0, alltså inte derivatans nollställe utan funktionens. Vad är det jag inte förstått?

Vore väldigt tacksam ifall du hittar tid till detta. Tack på förhand!

Simon Rybrand (Moderator)

2014-03-21

Hej, kika gärna på den här videon där detta koncept behandlas:
/derivatans-graf-och-funktionens-graf/

Kortfattat så är det så att om du ritar ut funktionens graf f(x) så hittar du derivatans f´(x) nollställen i de punkter där derivatan (tangentens lutning) är noll. Om du däremot har derivatans graf f´(x) utritad så anger grafen där derivatan är noll där grafen skär x – axeln, dvs där y=0. Om du på denna graf tar reda på där lutningen är noll så är det istället andraderivatan som är noll där.

Ida

2014-03-22

Bra förklarat, nu förstår jag. Tack så mycket!

mikaelhagfeldt@gmail.com

2014-01-28

Jag blev lite förvirrad av genomgången. Är inte nollställen där funktionen skär x-axeln, dvs där y=0? Hur kan en extrempunkt vara samma sak som ett nollställe? Eller är det skillnad på ett nollställe för en vanlig funktion och ett nollställe för en derivata? Jag vet att om f'(x)=0 så har funktionen nått en extrempunkt av något slag, men har vi f(x)=0 så har vi stött på funktionens rötter? Kan rötterna till en funktion vara samma sak som funktionens extrempunkter? Förstår knappt vad jag själv skriver men det slår runt i huvudet på mig.

Tack på förhand!

Simon Rybrand (Moderator)

2014-01-28

Hej! Ja, det är skillnad på funktionens och derivaitans nollställe. För att klargöra:

Funktionens nollställe f(x) = 0 innebär att y-värdet är noll där och att funktionen där skär x-axeln.

Derivatans nollställe f´(x) = 0 innebär att funktionen har en max, min eller terraspunkt i den punkten.

Tänk på att en funktion kan ha derivatan noll i en punkt där den skär x-axeln och att både funktionens och derivatans värde då är noll.

Hoppas att det blir tydligare!

Grillska gymnasiet Uppsala

2018-01-08

Hej. Jo, du måste ändra teckentabellen så att det står maxpunkt och minpunkt där derivatans värde är noll. Det blir helt fel att kalla det för nollställen. Annars gör ni föredömliga genomgångar tycker jag.
/Anders.

Simon Rybrand (Moderator)

2018-01-16

Hej
Vi fixar det framåt här, tack för att du sade till!

Denise 123

2013-11-24

Hej jag undrar hur man bestämmer koordinaterna för -3x^5+5x^3?
Har problem efter att jag har deriverat Y’=-15x^4 + 15x^2
Hur gör man om det är upphöjt till 4 ??

Simon Rybrand (Moderator)

2013-11-25

Hej, du kan göra så att du bryter ut $-15x^2$
$-15x^4 + 15x^2 = 0$
$-15x^2(x^2 – 1) = 0$
Här blir det enklare att se att din koordinater för nollställena kommer att vara:
$x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$

carlitav

2013-11-18

jag måste också säga att jag tycket videon vart helt genial! Super pedagogisk! Tack ska ni ha!!!

carlitav

2013-11-18

åhhhhhh.. haha det klart! 🙂 ! tack!!!

carlitav

2013-11-17

Hej!
Jag känner mig förvirrad på uppgift 3. Eftersom ekvationen har två x värden:
x₁=0 vilket ger y=f(0)=0
och
x₂=−2 vilket ger y=f(−2)=−8+12=4,
bör det inte finnas två minimi-eller maximipunkter?

Jag trodde nämligen att svaret var (0,0) (-2,4)
Jag förstår inte varför den bara en har minimipunkt som skär i (0.0).

Tack på förhand!

Simon Rybrand (Moderator)

2013-11-18

Hej, den har alltså endast en minimipunkt (0, 0) då punkten (-2, 4) är en maximipunkt. Bägge är extrempunkter men endast en är en minimipunkt.

fatima94

2013-05-06

Hej! kan du hjälpa med mig att lösa den här uppgiften:
bestäm funktionens extrempunkter mha teckenstudier.
funktionen är f(x)=x^3-12x

Simon Rybrand (Moderator)

2013-05-07

Här har du derivatan
$f'(x)=3x^2-12$

Du löser sedan ekvationen $f'(x)=0$ :
$3x^2-12=0$ (/3)
$x^2-4=0$ (+4)
$x^2=4$
$x_1 = 2$ och $x_2=-2$

Sedan gör du så att du undersöker derivatan innan, mellan och efter nollställena för att sedan kunna skissa upp kurvan. Du gör precis på samma vis som i testa dig själv uppgift 3 här ovan, fråga annars vidare om detta inte hjälper!

yaijamal

2013-04-05

hej!kan du hjälpa mig lösa funktionenf(x)=3x^2-4x^2 med derivatans definition.tack på förhand!

Simon Rybrand (Moderator)

2013-04-05

Hej, du har alltså funktionen f(x) som du kan förenkla enligt:
$f(x) = 3x^2 – 4x^2 = -x^2$
och så använder du derivatans definition:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Du kan då först bestämma
$f(x+h) = -(x+h)^2 = -x^2-2xh-h^2$
och sätter in i kvoten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ så att vi får:
$\frac{-x^2-2xh-h^2-(-x^2)}{h} = \frac{-2xh-h^2}{h} = -2x-h$
När h går mot noll ges derivatan f´(x) = -2x.

Hoppas att detta hjälper dig framåt!

Lina

2013-03-03

och denna
Vilken värdemängd har funktionen f(x) = 3 + x^2 ?
Tack på förhand!! 😀

Simon Rybrand (Moderator)

2013-03-04

Värdemängden för en funktion är alla de y – värden som funktionen kan anta. Så för den funktionen så är det minsta y – värdet som antas y = 3. Så alla y – värden, eller värdemängden är, y ≥ 3.

Lina

2013-03-04

Tacktacktack!!! 😀

Lina

2013-03-03

Hej! Kan jag få hjälp med denna?? 🙂
Du har funktionen y = x^2 + 14x +20
Ange symmetrilinjen

Simon Rybrand (Moderator)

2013-03-04

Hej, Symmetrilinjen för en andragradsfunktion går genom max/min punkten så här gäller det att hitta där derivatan är noll och sedan gäller det att symmetrilinjen är lika med x – värdet där.
Så om du har $y = x^2 + 14x +20$ ges
$y' = 2x + 14$
$y' = 0 \Leftrightarrow$
$0 = 2x + 14 \Leftrightarrow$
$2x = -14 \Leftrightarrow$
$x = -7$
Så symmetrilinjen är x = -7

DelToro

2013-01-27

Bestäm konstanten A i funktionen y = x2 -2Ax + A så att funktionen får endast ett nollställe. hur räknar jag ut denna?

Simon Rybrand (Moderator)

2013-01-28

Hej
Då söker du där ekvationen y = 0 endast har en lösning, dvs då
$x^2 -2ax + a = 0$ endast ger en lösning.
Här använder du pq formeln:
$x = 1 ± \sqrt{1 – a}$
Om a = 1 kommer du endast få en lösning.

Scaleform2012

2012-11-17

Hej har matte prov på måndag och har fastnat med ett tal: Undersök om punkten (0,0) är en maximi, minimi eller terrass punkt.
a) $y = 2x^4 -x^2$
b) $y= 3x^2$
Alltså ska jag derivera funktionen sen hitta noll ställerna och sedan göra ett teckenschema?
Kan visa hur jag ska räkna ut talet 🙂

Simon Rybrand (Moderator)

2012-11-18

Hej
På de uppgifterna gör du så att du deriverar och verifierar att (0, 0) är en extremvärdespunkt. Sedan undersöker du om derivatan är positiv eller negativ innan och efter den punkten. Du kommer du att veta om det är en maximi, minimi eller terrass punkt. Du kan självklart använda ett teckenschema för att strukturera detta tydligare eller om det tom står angivet i uppgiften att du skall göra det.

Scaleform2012

2012-11-18

Tack ! 🙂

Scaleform2012

2012-10-18

Sitter fast med ett tal.. Bestäm eventuella maxi,minimi och terrasspunkter till funktionerna. Funktionerna ska ej ritas.

a) $y = 4x – x^2$

b) $y = x^2/2 + 3$

Simon Rybrand (Moderator)

2012-10-19

Hej, här är det bra att känna till att om du har en $+x^2$ term så kommer kurvan se ut som en glad mun 🙂 och har du en $-x^2$ term som en ledsen mun 🙁

Det vill säga om du hittar där derivatan är noll så kommer du att veta om det är en max eller minpunkt.

Jag kan visa den första uppgiften så löser du säkert den andra själv:
$y = 4x – x^2$
Derivera:
$y’ = 4 – 2x$
När är derivatan = 0?
4 – 2x = 0
2x = 4
x = 2.

Här har vi alltså en maximipunkt (ledsen mun..) där x = 2.

Scaleform2012

2012-10-24

Tack så mycket ! 😀

Matematik 3b

Välj kurs

KURSER /

Matematik 3b

/ Derivatan och grafen

Derivatans nollställen och teckentabell

Författare:Simon Rybrand Anna Karp

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Exempel 1

Lösning

John B

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Daniel Jönsson

Alexander Y

Anna Admin (Moderator)

Lisa Rahmani

Simon Rybrand (Moderator)

Lisa Rahmani

Jonatan Wennberg

Simon Rybrand (Moderator)

Mattefreak

Simon Rybrand (Moderator)

Mattefreak

Simon Rybrand (Moderator)

Elna Cornelia Karlsson

Simon Rybrand (Moderator)

Lovisa Ekegren Scheffer

Simon Rybrand (Moderator)

nti_ma3

Simon Rybrand (Moderator)

nti_ma3

Simon Rybrand (Moderator)

Ida

Simon Rybrand (Moderator)

Ida

mikaelhagfeldt@gmail.com

Simon Rybrand (Moderator)

Grillska gymnasiet Uppsala

Simon Rybrand (Moderator)

Denise 123

Simon Rybrand (Moderator)

carlitav

carlitav

carlitav

Simon Rybrand (Moderator)

fatima94

Simon Rybrand (Moderator)

yaijamal

Simon Rybrand (Moderator)

Lina

Simon Rybrand (Moderator)

Lina

Lina

Simon Rybrand (Moderator)

DelToro

Simon Rybrand (Moderator)

Scaleform2012

Simon Rybrand (Moderator)

Scaleform2012

Scaleform2012

Simon Rybrand (Moderator)

Scaleform2012

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST