00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3c
/  Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Rationella uttryck

C och A uppgifter på rationella uttryck

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Viktigt att tänka på när du jobbar med rationella uttryck

De uppgifter som vi går igenom i denna video kräver att du har sett och förstått regler och tankesätt som vi gått igenom i tidigare videos kring rationella uttryck. Så om du är osäker på addition eller subtraktion eller multiplikation och division av rationella uttryck, så kolla gärna igenom de videolektionerna först.

Videon förutsätter även att du känner till algebraiska regler som konjugatregeln, kvadreringsreglerna, nollproduktmetoden och pq – formeln. Repetera gärna dessa om du är osäker på dem.

Formler och begrepp som används

Rationellt uttryck

Ett rationellt uttryck r(x)r\left(x\right)r(x) är en kvot av två polynom p(x)p(x)p(x) och q(x)q(x)q(x).

 r(x)=r\left(x\right)=r(x)= p(x)q(x)\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}p(x)q(x)      där  q(x)≠0q(x)\ne0q(x)≠0 .

Definierade värden

Ett rationellt uttryck är inte alltid definierat för alla  xxx och  yyy -värden. Eftersom att det inte är tillåtet att dividera med noll, så gäller att variabeln inte får anta värden så att nämnaren blir lika med noll. Uttrycket är inte definierade för dessa  xxx  -värden och eventuellt inte heller till de tillhörande yyy -värdena.

Regel för bråkräkning vid multiplikation

  ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}ab ·cd =a·cb·d  

Regel för bråkräkning vid division

 ab\frac{a}{b}ab  /\big/cd=a⋅db⋅c\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}cd =a·db·c  

Konjugatregeln

 (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2(a+b)(a−b)=a2−b2 

Kvadreringsregler

 (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a+b)2=a2+2ab+b2 

 (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2 

Tips när identiska faktorer saknas

När vi förenklar svårare rationella uttryck händer det ibland, att faktorerna i täljaren och nämnaren inte är helt identiska med ändå väldigt lika. Man kan då frestas att förkorta dessa. Men här måste man vara noga!

För att skapa likhet mellan faktorer i täljaren och nämnaren kan man bryta ut ett lämpligt värde för att skapa likhet. Till exempel är minus ett ett tal som är en bra faktor att bryta ut om man vill ”byta tecken” på sin faktor.

 a=(−1)(−a)a=\left(-1\right)\left(-a\right)a=(−1)(−a)  vilket även ger att   (a−b)=(−1)(b−a)\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)(a−b)=(−1)(b−a) 

Detta gäller eftersom att  (a−b)=(−1)(−a)−(−1)(−b)\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(-a\right)-\left(-1\right)\left(-b\right)(a−b)=(−1)(−a)−(−1)(−b). Bryter vi nu ut minus ett får vi att  (−1)((−a)−(−b))=(−1)(−a+b)=(−1)(b−a)\left(-1\right)\left(\left(-a\right)-\left(-b\right)\right)=\left(-1\right)\left(-a+b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)(−1)((−a)−(−b))=(−1)(−a+b)=(−1)(b−a).  För vi får byta plats på termer utan att förändra värdet på summan. Detta är väldigt användbart vid förenkling av rationella uttryck. 

Exempel 1

Förenkla  x−44−x\frac{x-4}{4-x}x−44−x  

Lösning:

Täljare och nämnare är lika, men inte identiska. Vi bryter ut minus ett för att få ombytta tecken i täljaren.

 x−44−x=(−1)(4−x)4−x\frac{x-4}{4-x}=\frac{\left(-1\right)\left(4-x\right)}{4-x}x−44−x =(−1)(4−x)4−x  

Nu kan vi förkorta i täljare och nämnare med  (4−x)\left(4-x\right)(4−x).

 (−1)(4−x)4−x=−1\frac{\left(-1\right)\left(4-x\right)}{4-x}=-1(−1)(4−x)4−x =−1 

Här följer nu ett exempel av förenkling av ett rationellt uttryck på en svårare nivå.

Exempel 2

Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

 4−4a+a2a−2\frac{4-4a+a^2}{a-2}4−4a+a2a−2  

Lösning:

Vi börjar med att studera täljaren och nämnaren för att se om vi kan hitta något sätt att skriva om dem i faktorform för att kunna förkorta uttrycket. Vi ser att det finns en möjlighet att faktorisera täljaren med hjälp av kvadreringsreglerna.

 4−4a+a2a−2=\frac{4-4a+a^2}{a-2}=4−4a+a2a−2 =  22−2⋅a+a2a−2=\frac{2^2-2·a+a^2}{a-2}=22−2·a+a2a−2 =  (2−a)2(a−2)\frac{(2-a)^2}{(a-2)}(2−a)2(a−2)  

Vi jämför täljare och nämnare och ser en viss likhet med behöver ombytta tecken på termerna för att de ska bli identiska. Det kan vi ordna genom att bryta ut (−1)(-1)(−1) antigeni täljare eller nämnaren. Tänk på att om du gör det i täljaren är det bara en av faktorerna som får ombytt tecken. Inte båda. 

 (2−a)2)(a−2)=\frac{(2-a)^2)}{(a-2)}=(2−a)2)(a−2) =   (2−a)(2−a)(a−2)=\frac{(2-a)(2-a)}{(a-2)}=(2−a)(2−a)(a−2) =   (−1)(−2+a)(2−a)(a−2)=\frac{(-1)(-2+a)(2-a)}{(a-2)}=(−1)(−2+a)(2−a)(a−2) =   (−1)(a−2)(2−a)(a−2)\frac{(-1)(a-2)(2-a)}{(a-2)}(−1)(a−2)(2−a)(a−2)  

Vi har nu en identisk faktor i täljaren och nämnaren och kan förkorta bort dem.

 (−1)(a−2)(2−a)(a−2)=\frac{(-1)(a-2)(2-a)}{(a-2)}=(−1)(a−2)(2−a)(a−2) =  (−1)(2−a)=−2+a=a−2(-1)(2-a)=-2+a=a-2(−1)(2−a)=−2+a=a−2 

Kom i håg att det bara är faktorer du kan förkorta bort. Aldrig termer!

Exempel i videon

  • Förenkla  (8−2x)3(4−x)4\frac{(8-2x)^3}{(4-x)^4}(8−2x)3(4−x)4  
  • Bestäm konstanten aaa så att  Q(−10)=5Q(-10)=5Q(−10)=5   då  Q(x)=Q(x)=Q(x)=ax3−2ax4\frac{ax}{3}-\frac{2ax}{4}ax3 −2ax4  
  • Förenkla  x2+8x−162x2−32\frac{x^2+8x-16}{2x^2-32}x2+8x−162x2−32   så långt som möjligt.
Nästa lektion: Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server