Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
C och A uppgifter på rationella uttryck
Innehåll
Viktigt att tänka på när du jobbar med rationella uttryck
De uppgifter som vi går igenom i denna video kräver att du har sett och förstått regler och tankesätt som vi gått igenom i tidigare videos kring rationella uttryck. Så om du är osäker på addition eller subtraktion eller multiplikation och division av rationella uttryck, så kolla gärna igenom de videolektionerna först.
Videon förutsätter även att du känner till algebraiska regler som konjugatregeln, kvadreringsreglerna, nollproduktmetoden och pq – formeln. Repetera gärna dessa om du är osäker på dem.
Formler och begrepp som används
Rationellt uttryck
Ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).
$r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x) där $q(x)\ne0$q(x)≠0 .
Definierade värden
Ett rationellt uttryck är inte alltid definierat för alla $x$x och $y$y -värden. Eftersom att det inte är tillåtet att dividera med noll, så gäller att variabeln inte får anta värden så att nämnaren blir lika med noll. Uttrycket är inte definierade för dessa $x$x -värden och eventuellt inte heller till de tillhörande $y$y -värdena.
Regel för bråkräkning vid multiplikation
$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$ab ·cd =a·cb·d
Regel för bråkräkning vid division
$\frac{a}{b}$ab $\big/$$\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$cd =a·db·c
Konjugatregeln
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a−b)=a2−b2
Kvadreringsregler
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$(a−b)2=a2−2ab+b2
Tips när identiska faktorer saknas
När vi förenklar svårare rationella uttryck händer det ibland, att faktorerna i täljaren och nämnaren inte är helt identiska med ändå väldigt lika. Man kan då frestas att förkorta dessa. Men här måste man vara noga!
För att skapa likhet mellan faktorer i täljaren och nämnaren kan man bryta ut ett lämpligt värde för att skapa likhet. Till exempel är minus ett ett tal som är en bra faktor att bryta ut om man vill ”byta tecken” på sin faktor.
$a=\left(-1\right)\left(-a\right)$a=(−1)(−a) vilket även ger att $\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)$(a−b)=(−1)(b−a)
Detta gäller eftersom att $\left(a-b\right)=\left(-1\right)\left(-a\right)-\left(-1\right)\left(-b\right)$(a−b)=(−1)(−a)−(−1)(−b). Bryter vi nu ut minus ett får vi att $\left(-1\right)\left(\left(-a\right)-\left(-b\right)\right)=\left(-1\right)\left(-a+b\right)=\left(-1\right)\left(b-a\right)$(−1)((−a)−(−b))=(−1)(−a+b)=(−1)(b−a). För vi får byta plats på termer utan att förändra värdet på summan. Detta är väldigt användbart vid förenkling av rationella uttryck.
Exempel 1
Förenkla $\frac{x-4}{4-x}$x−44−x
Lösning:
Täljare och nämnare är lika, men inte identiska. Vi bryter ut minus ett för att få ombytta tecken i täljaren.
$\frac{x-4}{4-x}=\frac{\left(-1\right)\left(4-x\right)}{4-x}$x−44−x =(−1)(4−x)4−x
Nu kan vi förkorta i täljare och nämnare med $\left(4-x\right)$(4−x).
$\frac{\left(-1\right)\left(4-x\right)}{4-x}=-1$(−1)(4−x)4−x =−1
Här följer nu ett exempel av förenkling av ett rationellt uttryck på en svårare nivå.
Exempel 2
Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
$\frac{4-4a+a^2}{a-2}$4−4a+a2a−2
Lösning:
Vi börjar med att studera täljaren och nämnaren för att se om vi kan hitta något sätt att skriva om dem i faktorform för att kunna förkorta uttrycket. Vi ser att det finns en möjlighet att faktorisera täljaren med hjälp av kvadreringsreglerna.
$\frac{4-4a+a^2}{a-2}=$4−4a+a2a−2 = $\frac{2^2-2·a+a^2}{a-2}=$22−2·a+a2a−2 = $\frac{(2-a)^2}{(a-2)}$(2−a)2(a−2)
Vi jämför täljare och nämnare och ser en viss likhet med behöver ombytta tecken på termerna för att de ska bli identiska. Det kan vi ordna genom att bryta ut $(-1)$(−1) antigeni täljare eller nämnaren. Tänk på att om du gör det i täljaren är det bara en av faktorerna som får ombytt tecken. Inte båda.
$\frac{(2-a)^2)}{(a-2)}=$(2−a)2)(a−2) = $\frac{(2-a)(2-a)}{(a-2)}=$(2−a)(2−a)(a−2) = $\frac{(-1)(-2+a)(2-a)}{(a-2)}=$(−1)(−2+a)(2−a)(a−2) = $\frac{(-1)(a-2)(2-a)}{(a-2)}$(−1)(a−2)(2−a)(a−2)
Vi har nu en identisk faktor i täljaren och nämnaren och kan förkorta bort dem.
$\frac{(-1)(a-2)(2-a)}{(a-2)}=$(−1)(a−2)(2−a)(a−2) = $(-1)(2-a)=-2+a=a-2$(−1)(2−a)=−2+a=a−2
Kom i håg att det bara är faktorer du kan förkorta bort. Aldrig termer!
Exempel i videon
- Förenkla $\frac{(8-2x)^3}{(4-x)^4}$(8−2x)3(4−x)4
- Bestäm konstanten $a$a så att $Q(-10)=5$Q(−10)=5 då $Q(x)=$Q(x)=$\frac{ax}{3}-\frac{2ax}{4}$ax3 −2ax4
- Förenkla $\frac{x^2+8x-16}{2x^2-32}$x2+8x−162x2−32 så långt som möjligt.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
$\frac{4y^3z}{16y^5z^2}$4y3z16y5z2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K För vilket $x$x-värde är det rationella uttrycket inte definierat?
$\frac{x^3-3}{x-1}$x3−3x−1
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
$\frac{(x-7)(x-7)}{x^2-49}$(x−7)(x−7)x2−49
Öva på att redovisa din förenkling steg för steg.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 2 PL M R K Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
$\frac{x^2-1}{6x-6}$x2−16x−6
Öva på att redovisa din förenkling steg för steg.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/3/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL 1 M R 1 K 
Ett företag säljer veckotidningar och beräknar sin vinst $V(x)$V(x) från en upplaga med hjälp av uttrycket
$V(x)=45x-$V(x)=45x− $\big ($$\frac{15\text{ }000}{x}+\frac{x}{4}$15 000x +x4 $+10\text{ }000$+10 000$\big )$ där $x$x motsvarar antalet sålda veckotidningar.
Hur många tidningar måste företaget sälja för att inte gå back på denna upplaga?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NP INGÅR EJE C A B P 2 PL M R K Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
$\frac{4x^2-12x+9}{6x-9}$4x2−12x+96x−9
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL 1 M R K Bestäm konstanten $b$b så att $p(5)=17$p(5)=17 då $p(x)=$p(x)= $\frac{2bx}{2}+\frac{\left(b+x\right)}{4}$2bx2 +(b+x)4
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (4)
-
8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/2)M NP INGÅR EJE C A B P 2 PL M R K Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
$\frac{16-16a+4a^2}{4a-8}$16−16a+4a24a−8
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/2)M NP INGÅR EJE C A B P 2 PL M R K Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
$\frac{2a+4}{a+3}+\frac{6-2a}{9-a^2}$2a+4a+3 +6−2a9−a2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/0/2)M NP INGÅR EJE C A B P 2 PL M R K Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
$\frac{x^3+x^2-6x}{x^2-2x}$x3+x2−6xx2−2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...11. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/2)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL 1 M 1 R 1 K 
Ett företag säljer veckotidningar och beräknar sin inkomst $I(x)$I(x) under ett år med hjälp av uttrycket
$I(x)=45x-$I(x)=45x−$\big ($$\frac{15\text{ }000}{x}+\frac{x}{4}$15 000x +x4 $+10\text{ }000$+10 000$\big )$ där $x$x motsvarar antalet sålda veckotidningar.
Styrelsen överväger att lägga ner tidningen om den inte känns tillräckligt lönsam och ger därför chefen ultimatumet att han måste gå en halv miljon i vinst det kommande året om tidningen ska få fortsätta.
Hur många tidningar måste företaget sälja i snitt per månad kommande år för att uppnå målet och undvika nedläggning, om de har $5$5 heltidsanställda med en snittlön på $27000$27000 kronor i månaden?
Svara i hela tusental.
Du behöver inte räkna med ev arbetsgivaravgifter med mera, då de utgifterna för företaget går på en annan pott, utan bara den angivna månadslönen.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Daniel Jönsson
”a=(1)(-a) vilket även ger att (a−b)=(−1)(b−a) ”
Här måste ni väl ha skrivit fel?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Daniel,
du har helt rätt i att $a≠(-1)(a)$ utan $a=(-1)(-a)$. Fixar till det.
Det ska vara så här. ”a=(-1)(-a) vilket även ger att (a−b)=(−1)(b−a) ”
Tänk så här.
$a-b=(-1)(-a)-(-1)(-b)$
eftersom att $(-1)(-a)= a$ och $(-1)(-b)=b$
Bryter vi sedan ut $(-1)$ ur båda termerna får vi att
$(-1)(-a-(-b))=(-1)(-a+b)=$$(-1)(b-a)$
eftersom att termer kan byta plats utan att ändra värdet på uttrycket.
Gick det att hänga med på?
Filmon Yebiyo
Hej! fråga 7, hur 4b*5+b+5/4=17 blir 21b+5/4=17 när jag löste jag fick 20b+5/4=17
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Vi tittar bara på täljaren
$ 4b\cdot 5+b+5=20b+b+5=21b+5$
gick det att hänga med på?
Elin Kristina Ångman
Hejsan! Behöver lite hjälp. Jag förstår inte hur du löste upp problemet på en av övningsuppgifter exempel (5) Kan jag få en bättre förklaring tack…
Simon Rybrand (Moderator)
Har ändrat fråga och förklaring något där, hoppas att det nu blir tydligare.
Felix GA
hej, vore enklare att hänga med på era genomgångar om pause knappen inte va i vägen för era genomgångar när man pausar.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
En uppdatering på det kommer snart!
Lukas Fräki
Hej, lösningen för fråga 9 är felprogrammerad och ser inte rätt ut.
David Admin (Moderator)
Jag har kollat igenom den och ser inget fel på den. Kan du precisera felet? Anser du att det är felräknat eller är det typsnittet/texten som ser konstig ut? Vilken webbläsare är du i? VI rekommenderar alltid Chrome.
Komvux Sundsvall Elev
Vill att ni kollar på 5) det blev fel ändå, fast man redan svar rätt som facit.
och 9).
Stämmer det riktigt på svaret NR 9)
Emil Joelsson
Hejsan. Har skrivit rätt svar men visar att jag får fel på uppgift 4 och 5. Har fått samma som ert svar.
Mattefreak
I det rationella uttrycket nedan är A och B konstanter.
(+)/(−2)
Bestäm konstanterna A och B så att uttrycket är lika med 5 då x = 4 och uttrycket inte är definierat då x = 3 eller x = -3.
Hur ska man tänka här?
Simon Rybrand (Moderator)
Saknar A och B i det uttryck som du har skrivit upp. Kan du skriva i dessa också?
Ann Kristin Frost
Hejsan.
Hur gör man med en uppgift som i exponent 3c uppgift 1113a
x^2-6x+5 / 2-2x förenkla så mycket som möjligt.
Jag hittar inget ställe som förklara hur man gör dessa..
Sen har jag I uppgift 3015b fått fram g'(x)=6x^2-30x+24 det enda jag ser tydligt att bryta ut är 6 men vet inte hur jag ska gå vidare sen för att få fram Nollställen och som den andra uppgiften vet jag inte hur jag ska bära mig åt.
Simon Rybrand (Moderator)
Nu vet jag inte exakt frågorna ställs i dessa uppgifter då jag inte har boken framför mig. Dock skulle jag tro att du kan göra följande vis:
I den första uppgiften så får du faktorisera genom att lösa ekvationen
$x^2-6x+5=0$. Här kan du använda dig av PQ-formeln och du får då lösningarna $x_1=1$ och $x_2=5$ vilket gör att du kan faktorisera täljaren som $(x-1)(x-5)$. I nämnaren kan du bryta (-2) så då kan du skriva det rationella uttrycket som
$ \frac{(x-1)(x-5)}{-2(x-1)} $
I den andra uppgiften så kan du lösa ekvationen med PQ-formeln.
RedEagle
Hej,
Ett skrivfel har skett på förklaringen till uppgift 5. Det står 21b=63⇔ (/17)
Det ska vara (/21)
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till, vi har korrigerat detta skrivfel!
BotenAnnie
tack så mycket ! kan man inte ta 8/4-x och förkorta med 4 i täljare o nämnare så det blir 4/ -x ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, nej det går inte då du då måste förkorta alla termer med detta. Du skulle då få
$ \frac{8}{4-x}= \frac{2}{1-\frac{x}{4}}$
vilket kanske inte gör uttrycket mer förenklat än tidigare.
nti_ma3
Tack för fantastiskt bra lektioner.
viktorrydberg
Hej! 6 minuter in, där går det att bryta ut (x^2-8x-9) till (x-9)(x+1) och använda nollfaktorlagen igen. Det blir då x(x-9)(x+1), alltså x1=0, x2=9 & x3=-1.
ksmiles
Hej,
i testfråga nr 3.
Hur kan -1 i täljaren plötsligt vara upphöjt med 2 utan andra ändringar i täljaren ?
Tack på förhand,
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan!
Jo det fungerar så att vi skriver om 1 så att det blir tydligare att vi skall använda konjugatregeln här. Vi kan göra detta för att
$ 1 = 1 \cdot 1 = 1^2 $
Vi skriver alltså om endast 1 och ingenting annat, det är framförallt för att tydligare se att konjugatregeln kan användas.
Så här skriver vi om $ x^2 – 1 $ som
$ x^2 – 1 = x^2 – 1^2 = (x + 1)(x – 1) $
Fråga gärna vidare om jag är otydligt på något vis eller om du behöver mer förklaring på detta!
Mpers
Hej! Hur funkar det egentligen när man bryter ut? Om man bryter ut tex 2 ur 2x och har 18-2x ska man då dividera 18 med 2 då? Alltså dividerar man alltid med det man bryter ut?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej och tack för en bra kommentar. Det du gör när du faktoriserar ett algebraiskt uttryck är att bryter ut en så kallad faktor.
Så om du har tex 18-2x och och bryter ut 2 så får du: 2(9-x). Precis som du säger så gäller ju också att 18/2=9 och 2x/2=x.
Endast Premium-användare kan kommentera.