Nationellt prov Matematik 3c vt 2016 del B och C

Bestäm alla primitiva funktioner till  $f\left(x\right)=x^2+8$ƒ (x)=x²+8 

Ayse kastar en boll rakt upp i luften. Bollens höjd ges av sambandet 

$s\left(t\right)=1,5+12t-5t^2$s(t)=1,5+12t−5t² 

där $s\left(t\right)$s(t) är höjden över marken i meter och $t$t är tiden i sekunder efter uppkastet.

Bestäm bollens hastighet vid tiden $t=1$t=1 sekund.

Mattias säljer varmkorv på en fotbollsmatch. Korvarna kostar $20$20 kronor per styck. Mattias intäkt i kronor är en funktion av antalet sålda korvar.

Vilket av alternativen A–E är korrekt?

Funktionen är en …

A. andragradsfunktion.

B. diskret funktion.

C. exponentialfunktion.

D. konstant funktion.

E. kontinuerlig funktion.

Ett av alternativen A–H visar ekvationen för cirkeln i figuren. Vilket?

Bestäm  $f'(x)$ƒ ’(x).

a)  $f(x)=5x^5+x^2-2$ƒ (x)=5x⁵+x²−2 

b)  $f(x)=$ƒ (x)=  $\frac{e^{4x}-e}{3}$e^4x−e3  

c)  $f(x)=$ƒ (x)=  $-\frac{2}{\sqrt{x}}$−2√x  

I uttrycket  $\frac{x-A}{2B-x^2}$x−A2B−x²   är $A$A och $B$B konstanter.

Bestäm $A$A och $B$B så att följande två villkor gäller:

• Uttrycket har värdet $0$0 då $x=-5$x=−5 

• Uttrycket är inte definierat för $x=10$x=10 och $x=-10$x=−10 

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ .

Ett av alternativen A–F visar grafen till funktionens derivata $f’$ƒ ’. Vilket?

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a)  $\frac{2x-10}{2x^2-20x+50}$2x−102x²−20x+50  

b)  $-x^4-\left(-2x\right)^4$−x⁴−(−2x)⁴ 

c)  $\frac{-A+\left(A+5\right)^{10}-5}{A+5}$−A+(A+5)¹⁰−5A+5  

Bestäm det exakta värdet för $\sin300^{\circ}$sin300^∘ 

Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ  i intervallet  $-2\le x\le15$−2≤x≤15 

För vilket värde på $p$p antar  $\int_{_p}^{^{^{p+2}}}$∫_p^p+2 sitt största värde?

Funktionen $g$g är en tredjegradsfunktion. Tabellen visar derivatans tecken för några olika värden på $x$x .

För vilket värde på $x$x gäller att $g´´(x)=0$g´´(x)=0 ?

Beräkna $\int_{_1}^{^2}6x^2\text{ }dx$∫₁²6x² dx algebraiskt.

En flaska med vatten ställs in i ett kylskåp kl. 12.00. Vattnets temperatur beskrivs av exponentialfunktionen  $T\left(x\right)=17e^{-0,7x}+5$T(x)=17e^−0,7x+5 
där $T\left(x\right)$T(x) är vattentemperaturen i °C och $x$x är tiden i timmar efter kl. 12.00.
I figuren visas grafen till funktionen $T$T och tangenten i den punkt där $x=2$x=2 

a) Avläs i figuren och beräkna vattnets genomsnittliga temperaturändring per timme under de första $4$4 timmarna.

b) Använd figuren och beräkna tangentens riktningskoefficient. Tolka denna riktningskoefficients betydelse i detta sammanhang.

c) Kan vattnets temperatur bli $3$3 °C ?

Utgå från exponentialfunktionen $T\left(x\right)=17e^{-0,7x}+5$T(x)=17e^−0,7x+5 och motivera ditt svar.

För funktionen $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x$ƒ (x)=x³−6x²+9x 
Använd derivata för att bestämma koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf.

Bestäm också karaktär för respektive punkt, det vill säga om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Beräkna värdet av uttrycket $\sqrt{4x^2}-\left|2x\right|$√4x²−|2x| för två positiva och två negativa värden på $x$x. Formulera sedan en hypotes om uttrycket $\sqrt{4x^2}-\left|2x\right|$√4x²−|2x| baserad på de värden på $x$x som du valt.

För en funktion $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=kx+m$ƒ (x)=kx+m

Undersök vad som ska gälla för $k$k och $m$m om  $\int_{_{-2}}^{^2}f\left(x\right)dx=4$∫₋₂²ƒ (x)dx=4

Motivera dina slutsatser.

I en sjö planterar man in fiskar av en art som inte funnits där tidigare. Fiskpopulationen kan beskrivas med sambandet

 $N\left(t\right)=$N(t)=$\frac{15000}{3+2e^{-0,5\cdot t}}$150003+2e^−0,5·t  där $N$N är antalet fiskar och $t$t är tiden i år efter inplanteringen. 

a) Bestäm hur många fiskar som planterades in i sjön från början.

b) På grund av olika miljöfaktorer kan antalet fiskar inte bli hur stort som helst. Bestäm den övre gränsen för antalet fiskar med hjälp av sambandet