Kontinuerliga och Diskreta Funktioner

Ett förenklat sätt att beskriva en kontinuerlig funktion är att säga, att det är en funktion vars graf går att rita, utan att lyfta pennan från papperet. Det vill säga en funktion som är sammanhängande både i sin definitionsmängd och sin värdemängd.

Nedan ser vi ett typiskt exempel på hur en kontinuerlig funktion se ut.

Alla polynomfunktioner, så som till exempel linjära-, andragrads- och tredjegradsfunktioner, är kontinuerliga. Det samma gäller för alla exponentialfunktioner.

Som en förenklad förklaring av de kontinuerliga funktionerna kan detta vara till hjälp, då vi i denna kurs kommer koncentrera arbetet kring polynomfunktioner och exponentialfunktioner. Men det kan lura oss lite, då även en funktion som vi måste lyfta pennan för att rita, kan vara kontinuerlig. Exempelvis är även de rationella funktionerna kontinuerliga, även om man behöver lyfta pennan för att rita deras graf. Mer om detta i kommande lektion.

Ordet kontinuitet kommer av latinets con­ti­nuʹitas, eller contiʹnuus och betyder ’sammanhängande’ eller ’ständig’. I en kontinuerlig funktion är värdemängden sammanhängande för hela funktionens definitionsmängd.

Motsatsen till en kontinuerlig funktion är en diskontinuerlig funktion. 

Så här kan en typisk diskontinuerlig funktion se ut.

Vi fördjupar denna definition och vad det innebär att vara kontinuerlig i varje punkt i lektionen Kontinuerliga Funktioner – Fördjupning.

Den finns en särskild grupp funktioner som inte är sammanhängande i sin definitionsmängd. Nämligen de funktioner vars definitionsmängd är diskret.

Ordet diskret har betydelsen ’åtskild’ eller ’separat’ och i diskreta mängder antar alla $x$x åtskilda värden, värden som har ”glapp” mellan sig, värden som är isolerade. Vi kan definiera en isolerad punkt på följande vis.

Två kända exempel på diskreta mängder är de naturliga talen, som skrivs som mängden $N=\left\{0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4…\right\}$N={0, 1, 2, 3, 4…} och de hela talen  $Z=\left\{…-1,\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2…\right\}$Z={…−1, 0, 1, 2…}. Mängderna är diskreta eftersom att det saknas angränsande tal i intervall kring de definierade $x$x -värdena i mängderna. Alla $x$x i definitionsmängden är isolerade tal.

Till skillnad från heltalen och de naturliga talen är exempelvis talmängden reella tal $R$R   inte diskret. För varje tal som finns på tallinjen är med och inga tal i mängden saknar angränsade tal. De reella talen är inte isolerade tal, mellan två tal i mängden finns inga ”glapp” eller intervall där de är ”ensamma”.

Ytterligare ett exempel på en diskret mängd är de rationella talen (bråktalen) $Q=\left\{\frac{a}{b}\right\}$Q={ab } där  $b\ne0$b≠0  och $a$a och $b$b är heltal. Även definitionsmängder som ges av talföljder kommer ge diskreta mängder. Dessa studerar vi lite mer i Ma3b. Deras definitionsmängd och därmed även värdemängd kan listas i en naturlig ordning  $a_1,\text{ }a_2,\text{ }…$a₁, a₂, …  och  $f\left(a_1\right),\text{ }f\left(a_2\right),\text{ }…$ƒ (a₁), ƒ (a₂), …  Detta var några exempel på diskreta mängder. Men det finns många fler.

Det man menar med diskreta funktioner är funktioner vars definitionsmängd är diskret, åtskild. Funktionens $x$x-värden är då åtskilda från varandra, till skillnad från en funktion där definitionsmängden är sammanhängande. Att definitionsmängden är åtskild visar sig genom att grafen består av isolerade punkter. 

Så här kan grafen till en typisk diskret funktion se ut. Just denna har en definitionsmängd som tillhör de naturliga talen  $N=\left\{0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4…\right\}$N={0, 1, 2, 3, 4…}.

Faktum är att varje diskret funktion är kontinuerlig. Detta trots att man inte kan rita den utan att lyfta pennan. Det beror på att funktionen är kontinuerlig i sin definitionsmängd. Men mer om det i nästa lektion som fördjupar begreppen.

Sammanfattningsvis är det alltså definitionsmängden som avgör om en funktion är diskret, medan det är värdemängden som avgör om en funktion är kontinuerlig. De två egenskaperna är alltså inte vara varandras motsatser.

En isolerad punkt $a$a i en definitionsmängd definieras som en punkt som uppfyller att den är den enda punkten som tillhör definitionsmängden i ett visst intervall i definitionsmängden.

Funktionen är en polynomfunktion och grafen är sammanhängande i hela sin definitionsmängd.

Gränsvärdet kring $x=2$x=2 ger olika funktionsvärden  $f\left(2\right)$ƒ (2) om du närmar dig $x=2$x=2  från höger eller vänster. Funktionen är därför inte kontinuerlig i hela sin definitionsmängd.

Trots att punkterna ligger på en sammanhängande rät linje med ekvationen  $f\left(x\right)=3x$ƒ (x)=3x för  $x\ge0$x≥0 består funktionen endast av punkterna. Den sammanhängande linjen motsvarar alltså inte grafen till $f\left(x\right)$ƒ (x). Utan det är punkterna som representerar den.  

• Avståndet i km du har åkt med en bil beskrivs av funktionen  $f\left(t\right)$ƒ (t) där t är tiden i minuter efter start.
• Priset att parkera på en parkeringsplats är $5$5 kr per påbörjad timme. Funktionen  $p\left(h\right)$p(h)  där h är den påbörjade timmen ger priset.
• I en mataffär kan du köpa apelsiner för $7$7 kr styck och potatis för 9 kr kilot. Beskriv inköp av apelsinerna och potatisen med var sin funktion och avgör om de är kontinuerliga.