...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Derivata och deriveringsregler

Kontinuerliga Funktioner - Fördjupning

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Kontinuerliga funktioner

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

I introduktionslektionen om kontinuerliga funktioner sa vi att man förenklat kan säga, att den kontinuerlig funktionens graf går att rita utan att lyfta pennan från papperet. Som en grov förklaring av de kontinuerliga funktionerna kan detta var till hjälp. Men vi sa även att det kan lura oss lite. Även en funktion som vi måste lyfta på pennan för att kunna rita, kan vara kontinuerlig. Detta gäller exempelvis för alla diskreta- och rationella funktioner. Vi ska här ge en fördjupad definition av kontinuerliga funktioner.

Definition av kontinuerliga funktioner

En funktion $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är en kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Det innebär att en funktion kan vara kontinuerlig i sina olika definierade intervall, även om det finns avbrott i definitionsmängden, vilket kan ge upphov till ”glapp” i grafen. Ett exempel på detta är funktioner som rationella uttryck där nämnaren gör att funktionen inte är definierad för vissa värden för $x$x.

Vi har här funktionen  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{1}{\left(x-3\right)}$1(x3)  $+4$+4  

Kontinuerlig funktion

Vi ser att man måste lyfta penna då  $x=3$x=3  för att kunna rita grafen. Men efter som att funktionen inte är definierad för detta $x$x -värde, så är ändå funktionen kontinuerlig, sammanhängande, i sina definierade intervall,  $x>3$x>3 och $x$x$<3$<3. Funktionen uppfyller alltså definitionen för en kontinuerlig funktion.

Däremot är funktionen inte kontinuerlig i punkten $x=3$x=3 eftersom att den inte har samma funktionsvärde om man närmar sig punkten från höger eller vänster. Från höger går funktionens värde mot positiv oändlighet och från vänster mot den negativa oändligheten.

Vi definierar kontinuitet i en icke-isolerad punkt $a$a i en definitionsmängd på följande vis.

En funktion $f$ƒ  är kontinuerlig i $x = a$ om

$ \lim\limits_{x \to a^+} f(x) =\lim\limits_{x \to a^-} f(x) =f(a) $

Så man får tänka ett varv till, innan man lätt avfärdar alla funktioner med avbrott som diskontinuerliga.

Observera att det två egenskaperna kontinuerlig och diskret inte är varandras motsatser, utan motsatsen till kontinuerlig är diskontinuerlig. 

Värdemängden avgör om en funktion är kontinuerlig. Man säger följande.

En funktion $f$ƒ  är kontinuerlig då den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Grafen till en kontinuerlig funktion gör därmed inga”språng” eller ”glapp” för $x$x som tillhör definitionsmängden. Nedan ser vi grafen till en diskontinuerlig funktion med definitionsmängden $-3\le$3$x\le6$x6.

DIskontinuerlig

Däremot kan den ha ”språng” för  $x$x-värden som inte tillhör definitionsmängden utan att för den del vara diskontinuerlig. Nedan ser vi grafen till en kontinuerlig funktion med definitionsmängden  $x\ne3$x3 i intervallet $-3\le$3 $x\le6$x6.

Kontinuerlig

Vidare är det definitionsmängden som avgör om en funktion är diskret. Är definitionsmängden diskret, alltså endast bestående av isolerade punkter, leder det till grafen kommer innehålla ”glapp” och därmed inte är kontinuerlig.

Exempel 1

Grafen tillhör funktionen $y=floor\left(x\right)$y=ƒ loor(x) där $x$x tillhör det reella talen i intervallet  $0\le$0 $x<7$x<7.

Diskontinuerlig funktion y=floor (x)

a) Är funktionen med ovanstående graf kontinuerlig? 

b) Är funktionen med ovanstående graf diskret?

Lösning

a) Funktionen är inte kontinuerligt, eftersom att om vi rör oss mot exempelvis $x=2$x=2 från höger eller från vänster ges olika gränsvärden för $f\left(2\right)$ƒ (2). Vi får att 

$ \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) =1 $

och

$ \lim\limits_{x \to 2^+} f(x)  =2 $

vilket leder till att

$ \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) \ne \lim\limits_{x \to 2^-} f(x)  $

Liknande diskontinuitet uppstår för varje heltal i intervallet $1\le$1  $x\le6$x6.

b) Om definitionsmängden är diskret är den åtskild. Funktionen är därför inte diskret, eftersom definitionsmängden är sammanhängande. Funktionen är definierad för alla reella $x$x-värden från och med noll upptill sju och omfattar inte isolerade punkter.

Utvidgad kontinuitet

För att kunna motivera att en rationell funktion är kontinuerlig kan vi använda oss av en så kallad utvidgad kontinuitet. Det kan vi göra men hjälp av gränsvärdesberäkningar. Mer om detta i lektionen om gränsvärden.

Exempel i videon

  • Ange definitionsmängd, avgör om  $f\left(x\right)$ƒ (x) är kontinuerlig samt skissa kurvan till  $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ƒ (x)=1x  .

Kommentarer

Evelina Persson

Hej, i sista frågan blir det en bugg i formeln och vi förstår inte på grund av dollartecknet.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Evelina, tack för att du uppmärksammade oss på detta. Det är nu korrigerat.
    Lycka till med funktionerna!

Asha Ahmed

Jag skrev a=0,a=4 och det är rätt svar, så varför står det fel?


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är funktionen med följande graf kontinuerlig?

    Linjediagram

    Svara med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är funktionen med följande graf kontinuerlig?

    Grafen till en diskret funktion

    Svara med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är funktionen med följande graf kontinuerlig?

    Grafen till en rationell funktin

    Svara med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är värdemängden för funktionen  $y=x^2-9$y=x29  då definitionsmängden är alla reella tal $R$R ?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Frågan ingå i Ma3c.

    Är funktionen $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|$ƒ (x)=|2x1| deriverbar för alla $x$x ? 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Fråga ingår i Ma3c.

    Figuren visar grafen till en funktion. Är funktionen deriverbar för alla $x$x?

    Grafen till en diskontinuerlig funktion
    Välj det alternativ du anser stämmer bäst.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Fråga ingår i Ma3c.

    Figuren visar grafen till en funktion. Är funktionen deriverbar för alla $x$x?

    Grafen till en rationell funktion

    Välj det alternativ du anser stämmer bäst.

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är defintionsmängden för  $f\left(x\right)=\sqrt{4-x}$ƒ (x)=4x ?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R1
    K

    Skissa grafen till funktionen  $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{1}{2-x}$12x   för hand, genom att först beräkna funktionsvärdet för väldigt stora och små  $x$x -värden.

    Är funktionen kontinuerlig?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K1

    För vilket värde på $a$a är funktionen $f(x)$ƒ (x) inte kontinuerlig?

     $f(x)=$ƒ (x)=  $\frac{x^2-ax+9}{(a^2-4a)}$x2ax+9(a24a)  

    Svara på formen ”a=siffra och a=siffra”

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se