Kontinuerliga Funktioner - Fördjupning

I introduktionslektionen om kontinuerliga funktioner sa vi att vi förenklat kan säga att den kontinuerliga funktionens graf går att rita utan att lyfta pennan från papperet. Som en grov förklaring av de kontinuerliga funktionerna kan detta vara till hjälp. Men vi sa även att det kan lura oss lite. Även en funktion som vi måste lyfta på pennan för att kunna rita kan vara kontinuerlig. Detta gäller exempelvis för alla diskreta och rationella funktioner. Vi ska här ge en fördjupad definition av kontinuerliga funktioner.

Det innebär att en funktion kan vara kontinuerlig i sina olika definierade intervall, även om det finns avbrott i definitionsmängden, vilket kan ge upphov till ”glapp” i grafen. Ett exempel på detta är funktioner som rationella uttryck där nämnaren gör att funktionen inte är definierad för vissa värden för $x$x.

Vi har här funktionen  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{1}{\left(x-3\right)}$1(x−3)  $+4$+4

Vi ser att vi måste lyfta pennan då  $x=3$x=3  för att kunna rita grafen. Men eftersom funktionen inte är definierad för detta $x$x -värde, så är ändå funktionen kontinuerlig, sammanhängande, i sina definierade intervall,  $x>3$x>3 och $x$x$<3$<3. Funktionen uppfyller alltså definitionen för en kontinuerlig funktion.

Däremot är funktionen inte kontinuerlig i punkten $x=3$x=3 eftersom den inte har samma funktionsvärde om vi närmar oss punkten från höger eller vänster. Från höger går funktionens värde mot positiv oändlighet och från vänster mot den negativa oändligheten.

Vi definierar kontinuitet i en icke-isolerad punkt $a$a i en definitionsmängd på följande vis med hjälp av gränsvärden. Du kommer få lära dig om gränsvärden i kommande lektioner, men här visar vi bara skrivsättet.

Definitionen innebär att oavsett om vi närmar oss $f\left(a\right)$ƒ (a) från höger eller vänster längs grafen, så ska funktionsvärdet, om funktionen är kontinuerlig i punkten, närma sig samma funktionsvärde från båda hållen.

Så vi får tänka ett varv till innan vi avfärdar alla funktioner med avbrott som diskontinuerliga.

Observera att de två egenskaperna kontinuerlig och diskret inte är varandras motsatser, utan motsatsen till kontinuerlig är diskontinuerlig.

Värdemängden avgör om en funktion är kontinuerlig. Vi säger följande.

Grafen till en kontinuerlig funktion gör därmed inga ”språng” eller ”glapp” för $x$x som tillhör definitionsmängden. Nedan ser vi grafen till en diskontinuerlig funktion med definitionsmängden $-3\le$−3≤$x\le6$x≤6.

Diskontinuiteten uppstår i $x=3$x=3 eftersom $f\left(3\right)$ƒ (3) , när vi närmar oss från vänster, närmar sig $-2$−2 och från höger $3$3, alltså olika funktionsvärden.

Däremot kan den ha ”språng” för  $x$x-värden som inte tillhör definitionsmängden utan att för den delen vara diskontinuerlig. Nedan ser vi grafen till en kontinuerlig funktion med definitionsmängden $x\ne3$x≠3 i intervallet $-3\le$−3≤ $x\le6$x≤6.

Vidare är det definitionsmängden som avgör om en funktion är diskret. Är definitionsmängden diskret, alltså endast bestående av isolerade punkter, leder det till att grafen kommer innehålla ”glapp” och därmed inte är kontinuerlig.

Exempel 1

Grafen nedan tillhör golvfunktionen $y=\left\lfloor x\right\rfloor$, som avrundar $x$ nedåt till närmaste heltal. Här tillhör $x$ de reella talen i intervallet $0\le x<7$.

Till exempel är $\left\lfloor 2,7\right\rfloor=2$ och $\left\lfloor 3\right\rfloor=3$.

a) Är funktionen med ovanstående graf kontinuerlig?

b) Är funktionen med ovanstående graf diskret?

Lösning

a) Funktionen är inte kontinuerlig, eftersom det, om vi rör oss mot exempelvis $x=2$x=2 från höger eller från vänster, ges olika gränsvärden för $f\left(2\right)$ƒ (2). Vi får att

$ \lim\limits_{x \to 2^-} f(x) =1 $

och

$ \lim\limits_{x \to 2^+} f(x)  =2 $

vilket leder till att

$ \lim\limits_{x \to 2^+} f(x) \ne \lim\limits_{x \to 2^-} f(x)  $

Liknande diskontinuitet uppstår för varje heltal i intervallet $1\le$1≤  $x\le6$x≤6.

b) Om definitionsmängden är diskret är den åtskild. Funktionen är därför inte diskret, eftersom definitionsmängden är sammanhängande. Funktionen är definierad för alla reella $x$x-värden från och med noll upp till sju och omfattar inte isolerade punkter.

För att kunna motivera att en rationell funktion är kontinuerlig kan vi använda oss av en så kallad utvidgad kontinuitet. Det kan vi göra med hjälp av gränsvärdesberäkningar. Mer om detta i lektionen om gränsvärden.

I kommande lektioner kommer vi att introducera ett nytt begrepp som kallas för derivatan. Med derivatan kan vi beskriva förändringshastigheten i en funktions olika punkter.

För att kunna ange derivatan i en specifik punkt i funktionen måste den vara kontinuerlig. Därför gäller följande.

Grafen till en kontinuerlig funktion är sammanhängande i hela sin definitionsmängd. Grafen till en deriverbar funktion är dessutom ”mjukt” sammanhängande. Det vill säga, grafen gör inga tvära byten i riktning. Exempelvis är funktionen  $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| kontinuerlig men inte deriverbar i  $x=0$x=0. Grafen byter riktning plötsligt kring origo. Det ger att den inte är ”tillräckligt mjuk” för att kunna dra en entydig tangent i origo.

Men mer om det i lektionen om växande och avtagande funktioner.

• Ange definitionsmängd, avgör om  $f\left(x\right)$ƒ (x) är kontinuerlig samt skissa kurvan till  $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ƒ (x)=1x  .