...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Trigonometri

Cirkelns ekvation

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

En cirkel kan beskrivas med cirkelns ekvation. I ekvationen används cirkelns medelpunkt, radien och en punkt på cirkelns rand.

Så beskrivs en cirkel med cirkelns ekvation

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Genom att tänka oss cirkeln i ett koordinatsystem kan vi teckna följande samband mellan radien, cirkelns medelpunkt och någon punkt på cirkeln rand.

Cirkelns ekvation

Cirkelns ekvation

$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(xa)2+(yb)2 

där

  •  $r$r = cirkelns radie
  • $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) = en punkt på cirkelns rand
  • $\left(a,b\right)$(a,b) = cirkelns medelpunkt

Så om du känner till radien och cirkelns mittpunkt så kan du beskriva alla cirklar med denna ekvation. Punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand. Alla dessa godtyckliga punkter som har radiens avstånd från cirkelns medelpunkt bildar cirkelns rand. 

Testa själv och se cirkelns ekvation

Dra i punkterna nedan för att se den skapade cirkelns ekvation.

Exempel

Exempel 1

En cirkel har radien $2$2 och medelpunkten $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3). Bestäm cirkelns ekvation.

Lösning

Vi använder radien och medelpunkten till cirkelns ekvation och skriver

 $2^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$22=(x2)2+(y3)2 där punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand

Exempel 2

Bestäm radien och medelpunkten för cirkeln med ekvationen $16=\left(x-3\right)^2+\left(x+2\right)^2$16=(x3)2+(x+2)2 

Lösning

Vi jämför den givna ekvationen med formeln för cirkelns ekvation $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(xa)2+(yb)2

Vi ser nu att då  $4^2=16$42=16 så är cirkelns radie $4$4.

Från $\left(x-3\right)^2$(x3)2 ser vi att medelpunktens $x$x-koordinat är $3$3.

Från $\left(x+2\right)^2$(x+2)2 ser vi att medelpunktens  $y$y-koordinat är $-2$2 . Det beror på att ” $x+2$x+2 ” inne i parentesen kommer från uttrycket $\left(x-\left(-2\right)\right)^2$(x(2))2 vilket avslöjar att  $y$y-koordinaten är $-2$2.

Cirkelns medelpunkt är alltså $\left(3,\text{ }-2\right)$(3, 2).

Exempel 3

Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.

exempel 3 cirkelns ekvation

Lösning

Vi avläser medelpunkt som har koordinaterna $\left(3,\text{ }3\right)$(3, 3).

Radien är $4$4 l.e. Vi bestämmer den lättast genom att avståndet mellan medelpunkten och den punkt på cirkeln som befinner sig rakt ovanför/rakt nedanför medelpunkten motsvarar en radie.

Vi sätter in dessa värden i cirkelns ekvation och får

 $4^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$42=(x3)2+(y3)2 

Vi beräknar $4^2$42 och skriver ekvationen som

 $16=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$16=(x3)2+(y3)2 

Som vi nämnde är lättast att bestämma radiens längd genom att avläsa punkten på cirkeln rakt ovanför/nedanför medelpunkten. Lite mer omständligt är att använda avståndsformeln, som i sin tur härleds från Pythagoras sats, för att bestämma radien. Det ger samma resultat, men är som sagt lite onödigt krångligt när man fått cirkeln utritad. Om den inte är utritad kan du bli tvungen att använda den för att avgöra vilka punkter i planet som tillhör en cirkel eller ej. Se härledning av cirkelns ekvation nedan.

Cirkelns ekvation och enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en speciell typ av cirkel. Där är radien 1 längdenhet och denna cirkel har sin medelpunkt i origo. För enhetscirkeln gäller alltså följande:

  • Medelpunkt = $\left(0,\text{ }0\right)$(0, 0) 
  • Radie =  $1$1

Vi kan därför beskriva enhetscirkeln på följande vis:

 $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(x-y\right)^2$r2=(xa)2+(xy)2 

Vi sätter in radien och medelpunkts värden

 $1^2=\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2$12=(x0)2+(y0)2 

Då $x-0=x$x0=x och $y-0=y$y0=y  kan enhetscirkeln beskrivas med cirkelns ekvation på följande vis.

 $x^2+y^2=\sqrt{1}$x2+y2=1 

På samma vis kan en cirkel som har radien $3$3 och medelpunkt i origo beskrivas på följande vis:

 $x^2+y^2=\sqrt{3}$x2+y2=3 

Härledning av cirkelns ekvation

När cirkelns ekvation härleds så använder vi avståndsformeln som säger följande. 

Avståndet d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av formeln

 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=(x2x1)2+(y2y1)2 

Med hjälp av avståndsformeln kan vi beskriva radien.

Härledning av cirkelns ekvation

Vi beskriver alltså radien som avståndet mellan medelpunkt $\left(a,\text{ }b\right)$(a, b) och punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) på cirkelns rand.

Vi får alltså

 $r=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$r=(xa)2+(yb)2 

Kvadrera nu bägge leden så att vi blir av med roten ur tecknet.

 $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(xa)2+(yb)2 

Och vi har cirkelns ekvation.

Kommentarer

Antonio Isho

Hej!
Hur löser man uppgift 8, finns något lösningsförslag för den uppgiften?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det finns lösningsförslag till alla våra uppgifter! Du klickar bara på glödlampesymbolen efter att du har rättat uppgiften.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    En cirkel har ekvationen $5^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$52=(x2)2+(y3)2 

    Vilken är cirkelns radie?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.

    övning fig 1

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.

    övning fig 2

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    I figuren visas en cirkel som tangerar  $x$x-axeln i punkten $\left(4,\text{ }0\right)$(4, 0).
    Punkten $\left(6,\text{ }4\right)$(6, 4)  ligger på cirkeln. Ange cirkelns ekvation.

    (NP Ma3c vt13)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm medelpunkten till cirkeln som beskrivs av ekvationen  $8=\left(x-5\right)^2+\left(y-8\right)^2$8=(x5)2+(y8)2 

    Svara på formen (a, b)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    En cirkel har radien $4$4 och sin medelpunkt i $\left(-1,\text{ }1\right)$(1, 1)

    Vilket av alternativen stämmer för punkten  $\left(2,-1\right)$(2,1)?

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En cirkel har sin medelpunkt i $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) och en radie som är $5$5.

    Bestäm var cirkeln skär  $x$x-axeln.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En cirkel har radien $6$6 och sin medelpunkt i $\left(-2,\text{ }-2\right)$(2, 2).

    En av punkterna $\left(-8,\text{ }-2\right)$(8, 2) och $\left(-8,\text{ }-3\right)$(8, 3) ligger på cirkelns rand.

    Ange vilken!

    Svara på formen (a, b)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K1

    En cirkel har ekvationen $x^2+x+y^2+4y=1$x2+x+y2+4y=1 

    Bestäm cirkelns area då medelpunkten är $\left(-0,5;\text{ }-2\right)$(0,5; 2).

    Ange svaret avrundat till en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En cirkel har sin medelpunkt i $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1). Linjen $y=-x-4$y=x4 tangerar cirkelns rand.

    Bestäm cirkelns radie.

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se