Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Trigonometri
Cirkelns ekvation
Innehåll
En cirkel kan beskrivas med cirkelns ekvation. I ekvationen används cirkelns medelpunkt, radien och en punkt på cirkelns rand.
_________________________________________
Lektionen ingår inte i det centrala innehållet i kursen efter revidering av kursplanering vt21
_________________________________________
Så beskrivs en cirkel med cirkelns ekvation
Genom att tänka oss cirkeln i ett koordinatsystem kan vi teckna följande samband mellan radien, cirkelns medelpunkt och någon punkt på cirkeln rand.
Cirkelns ekvation
$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(x−a)2+(y−b)2
där
- $r$r motsvarar cirkelns radie
- $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) motsvarar en punkt på cirkelns rand
- $\left(a,b\right)$(a,b) motsvarar cirkelns medelpunkt
Så om du känner till radien och cirkelns mittpunkt så kan du beskriva alla cirklar med denna ekvation. Punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand. Alla dessa godtyckliga punkter som har radiens avstånd från cirkelns medelpunkt bildar cirkelns rand.
Testa själv och se cirkelns ekvation
Dra i punkterna nedan för att se den skapade cirkelns ekvation.
Exempel
Exempel 1
En cirkel har radien $2$2 och medelpunkten $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3). Bestäm cirkelns ekvation.
Lösning
Vi använder radien och medelpunkten till cirkelns ekvation och skriver
$2^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$22=(x−2)2+(y−3)2 där punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand
Exempel 2
Bestäm radien och medelpunkten för cirkeln med ekvationen $16=\left(x-3\right)^2+\left(x+2\right)^2$16=(x−3)2+(x+2)2
Lösning
Vi jämför den givna ekvationen med formeln för cirkelns ekvation $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(x−a)2+(y−b)2 .
Vi ser nu att då $4^2=16$42=16 så är cirkelns radie $4$4.
Från $\left(x-3\right)^2$(x−3)2 ser vi att medelpunktens $x$x-koordinat är $3$3.
Från $\left(x+2\right)^2$(x+2)2 ser vi att medelpunktens $y$y-koordinat är $-2$−2 . Det beror på att ” $x+2$x+2 ” inne i parentesen kommer från uttrycket $\left(x-\left(-2\right)\right)^2$(x−(−2))2 vilket avslöjar att $y$y-koordinaten är $-2$−2.
Cirkelns medelpunkt är alltså $\left(3,\text{ }-2\right)$(3, −2).
Exempel 3
Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.
Lösning
Vi avläser medelpunkt som har koordinaterna $\left(3,\text{ }3\right)$(3, 3).
Radien är $4$4 l.e. Vi bestämmer den lättast genom att avståndet mellan medelpunkten och den punkt på cirkeln som befinner sig rakt ovanför/rakt nedanför medelpunkten motsvarar en radie.
Vi sätter in dessa värden i cirkelns ekvation och får
$4^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$42=(x−3)2+(y−3)2
Vi beräknar $4^2$42 och skriver ekvationen som
$16=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$16=(x−3)2+(y−3)2
Som vi nämnde är lättast att bestämma radiens längd genom att avläsa punkten på cirkeln rakt ovanför/nedanför medelpunkten. Lite mer omständligt är att använda avståndsformeln, som i sin tur härleds från Pythagoras sats, för att bestämma radien. Det ger samma resultat, men är som sagt lite onödigt krångligt när man fått cirkeln utritad. Om den inte är utritad kan du bli tvungen att använda den för att avgöra vilka punkter i planet som tillhör en cirkel eller ej. Se härledning av cirkelns ekvation nedan.
Cirkelns ekvation och enhetscirkeln
Enhetscirkeln är en speciell typ av cirkel. Där är radien 1 längdenhet och denna cirkel har sin medelpunkt i origo. För enhetscirkeln gäller alltså följande:
- Medelpunkt = $\left(0,\text{ }0\right)$(0, 0)
- Radie = $1$1
Vi kan därför beskriva enhetscirkeln på följande vis:
$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(x-y\right)^2$r2=(x−a)2+(x−y)2
Vi sätter in radien och medelpunkts värden
$1^2=\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2$12=(x−0)2+(y−0)2
Då $x-0=x$x−0=x och $y-0=y$y−0=y kan enhetscirkeln beskrivas med cirkelns ekvation på följande vis.
$x^2+y^2=\sqrt{1}$x2+y2=√1
På samma vis kan en cirkel som har radien $3$3 och medelpunkt i origo beskrivas på följande vis:
$x^2+y^2=\sqrt{3}$x2+y2=√3
Härledning av cirkelns ekvation
När cirkelns ekvation härleds så använder vi avståndsformeln som säger följande.
Avståndet d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av formeln
$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2
Med hjälp av avståndsformeln kan vi beskriva radien.
Vi beskriver alltså radien som avståndet mellan medelpunkt $\left(a,\text{ }b\right)$(a, b) och punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) på cirkelns rand.
Vi får alltså
$r=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$r=√(x−a)2+(y−b)2
Kvadrera nu bägge leden så att vi blir av med roten ur tecknet.
$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(x−a)2+(y−b)2
Och vi har cirkelns ekvation.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
En cirkel har ekvationen $5^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$52=(x−2)2+(y−3)2
Vilken är cirkelns radie?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...2. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...3. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
I figuren visas en cirkel som tangerar $x$x-axeln i punkten $\left(4,\text{ }0\right)$(4, 0).
Punkten $\left(4,\text{ }6\right)$(4, 6) ligger på cirkeln. Ange cirkelns ekvation.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvation Geometri trigonometriRättar...5. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
Bestäm medelpunkten till cirkeln som beskrivs av ekvationen $8=\left(x-5\right)^2+\left(y-8\right)^2$8=(x−5)2+(y−8)2
Svara på formen (a, b)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...6. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har radien $4$4 och sin medelpunkt i $\left(-1,\text{ }1\right)$(−1, 1).
Vilket av alternativen stämmer för punkten $\left(2,-1\right)$(2,−1)?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvation Geometri trigonometriRättar...c-uppgifter (3)
-
7. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har sin medelpunkt i $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) och en radie som är $5$5.
Bestäm var cirkeln skär $x$x-axeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar... -
8. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har radien $6$6 och sin medelpunkt i $\left(-2,\text{ }-2\right)$(−2, −2).
En av punkterna $\left(-8,\text{ }-2\right)$(−8, −2) och $\left(-8,\text{ }-3\right)$(−8, −3) ligger på cirkelns rand.
Ange vilken!
Svara på formen (a, b)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...9. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har ekvationen $x^2+x+y^2+4y=1$x2+x+y2+4y=1
Bestäm cirkelns area då medelpunkten är $\left(-0,5;\text{ }-2\right)$(−0,5; −2).
Ange svaret avrundat till en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Cirkelns ekvationLiknande uppgifter: cirkelns ekvation Geometri trigonometriRättar...a-uppgifter (1)
-
10. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har sin medelpunkt i $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1). Linjen $y=-x-4$y=−x−4 tangerar cirkelns rand.
Bestäm cirkelns radie.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvation Linjära ekvationssystemRättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
blake
Är denna lektion tillför Matte 4 nuförtiden?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Christopher,
lektionen ingår inte längre i Ma4.
Hans Persson
I uppgift 4 här bredvid förstår jag inte informationen att punkten (6,4)
ligger på cirkeln. Det gör den väl inte?
Antonio Isho
Hej!
Hur löser man uppgift 8, finns något lösningsförslag för den uppgiften?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det finns lösningsförslag till alla våra uppgifter! Du klickar bara på glödlampesymbolen efter att du har rättat uppgiften.
Endast Premium-användare kan kommentera.