Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Trigonometri
Cirkelns ekvation
Innehåll
En cirkel kan beskrivas med cirkelns ekvation. I ekvationen används cirkelns medelpunkt, radien och en punkt på cirkelns rand.
_________________________________________
Lektionen ingår inte i det centrala innehållet i kursen efter revidering av kursplanering vt21
_________________________________________
Så beskrivs en cirkel med cirkelns ekvation
Genom att tänka oss cirkeln i ett koordinatsystem kan vi teckna följande samband mellan radien, cirkelns medelpunkt och någon punkt på cirkelns rand.
Cirkelns ekvation
$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(x−a)2+(y−b)2
där
- $r$r motsvarar cirkelns radie
- $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) motsvarar en punkt på cirkelns rand
- $\left(a,b\right)$(a,b) motsvarar cirkelns medelpunkt
Om vi känner till radien och cirkelns medelpunkt kan vi beskriva alla cirklar med denna ekvation. Punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand. Alla dessa godtyckliga punkter som har radiens avstånd från cirkelns medelpunkt bildar cirkelns rand.
Testa själv och se cirkelns ekvation
Dra i punkterna nedan för att se den skapade cirkelns ekvation.
Exempel
Exempel 1
En cirkel har radien $2$2 och medelpunkten $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3). Bestäm cirkelns ekvation.
Lösning
Vi använder radien och medelpunkten till cirkelns ekvation och skriver
$2^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$22=(x−2)2+(y−3)2 där punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand
Exempel 2
Bestäm radien och medelpunkten för cirkeln med ekvationen $16=\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2$16=(x−3)2+(y+2)2
Lösning
Vi jämför den givna ekvationen med formeln för cirkelns ekvation $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(x−a)2+(y−b)2 .
Vi ser nu att då $4^2=16$42=16 så är cirkelns radie $4$4.
Från $\left(x-3\right)^2$(x−3)2 ser vi att medelpunktens $x$x-koordinat är $3$3.
Från $\left(y+2\right)^2$(y+2)2 ser vi att medelpunktens $y$y-koordinat är $-2$−2 . Det beror på att " $x+2$x+2 " inne i parentesen kommer från uttrycket $\left(x-\left(-2\right)\right)^2$(x−(−2))2 vilket avslöjar att $y$y-koordinaten är $-2$−2.
Cirkelns medelpunkt är alltså $\left(3,\text{ }-2\right)$(3, −2).
Exempel 3
Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.
Lösning
Vi avläser medelpunkten, som har koordinaterna $\left(3,\text{ }3\right)$(3, 3).
Radien är $4$4 l.e. Vi bestämmer den lättast genom att utnyttja att avståndet mellan medelpunkten och den punkt på cirkeln som befinner sig rakt ovanför eller rakt nedanför medelpunkten motsvarar en radie.
Vi sätter in dessa värden i cirkelns ekvation och får
$4^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$42=(x−3)2+(y−3)2
Vi beräknar $4^2$42 och skriver ekvationen som
$16=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$16=(x−3)2+(y−3)2
Som vi nämnde är det lättast att bestämma radiens längd genom att avläsa punkten på cirkeln rakt ovanför eller rakt nedanför medelpunkten. Lite mer omständligt är att använda avståndsformeln, som i sin tur härleds från Pythagoras sats, för att bestämma radien. Det ger samma resultat, men är som sagt lite onödigt krångligt när vi fått cirkeln utritad. Om den inte är utritad kan vi bli tvungna att använda den för att avgöra vilka punkter i planet som tillhör en cirkel eller ej. Se härledning av cirkelns ekvation nedan.
Cirkelns ekvation och enhetscirkeln
Enhetscirkeln är en speciell typ av cirkel. Där är radien $1$ längdenhet och denna cirkel har sin medelpunkt i origo. För enhetscirkeln gäller alltså följande:
- Medelpunkt = $\left(0,\text{ }0\right)$(0, 0)
- Radie = $1$1
Vi kan därför beskriva enhetscirkeln på följande vis:
$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(x−a)2+(y−b)2
Vi sätter in radien och medelpunktens värden
$1^2=\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2$12=(x−0)2+(y−0)2
Då $x-0=x$x−0=x och $y-0=y$y−0=y kan enhetscirkeln beskrivas med cirkelns ekvation på följande vis.
$x^2+y^2=1$x2+y2=1
På samma vis kan en cirkel som har radien $3$3 och medelpunkt i origo beskrivas på följande vis:
$x^2+y^2=9$x2+y2=9
Härledning av cirkelns ekvation
När cirkelns ekvation härleds så använder vi avståndsformeln som säger följande.
Avståndet d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av formeln
$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2
Med hjälp av avståndsformeln kan vi beskriva radien.
Vi beskriver alltså radien som avståndet mellan medelpunkt $\left(a,\text{ }b\right)$(a, b) och punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) på cirkelns rand.
Vi får alltså
$r=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$r=√(x−a)2+(y−b)2
Kvadrera nu bägge leden så att vi blir av med rottecknet.
$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(x−a)2+(y−b)2
Därmed har vi cirkelns ekvation.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
En cirkel har ekvationen $5^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$52=(x−2)2+(y−3)2
Vilken är cirkelns radie?
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...2. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...3. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
I figuren visas en cirkel som tangerar $x$x-axeln i punkten $\left(4,\text{ }0\right)$(4, 0).
Punkten $\left(4,\text{ }6\right)$(4, 6) ligger på cirkeln. Ange cirkelns ekvation.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvation Geometri trigonometriRättar...5. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
Bestäm medelpunkten till cirkeln som beskrivs av ekvationen $8=\left(x-5\right)^2+\left(y-8\right)^2$8=(x−5)2+(y−8)2
Svara på formen (a, b)
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...6. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har radien $4$4 och sin medelpunkt i $\left(-1,\text{ }1\right)$(−1, 1).
Vilket av alternativen stämmer för punkten $\left(2,-1\right)$(2,−1)?
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvation Geometri trigonometriRättar...c-uppgifter (3)
-
7. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har sin medelpunkt i $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) och en radie som är $5$5.
Bestäm var cirkeln skär $x$x-axeln.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar... -
8. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har radien $6$6 och sin medelpunkt i $\left(-2,\text{ }-2\right)$(−2, −2).
En av punkterna $\left(-8,\text{ }-2\right)$(−8, −2) och $\left(-8,\text{ }-3\right)$(−8, −3) ligger på cirkelns rand.
Ange vilken!
Svara på formen (a, b)
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvationRättar...9. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har ekvationen $x^2+x+y^2+4y=1$x2+x+y2+4y=1
Bestäm cirkelns area då medelpunkten är $\left(-0,5;\text{ }-2\right)$(−0,5; −2).
Ange svaret avrundat till en decimals noggrannhet.
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Cirkelns ekvationLiknande uppgifter: cirkelns ekvation Geometri trigonometriRättar...a-uppgifter (1)
-
10. Premium
Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22
En cirkel har sin medelpunkt i $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1). Linjen $y=-x-4$y=−x−4 tangerar cirkelns rand.
Bestäm cirkelns radie.
Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cirkelns ekvation Linjära ekvationssystemRättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Therese Huang
Hej! Man har väl slutat undervisat denna momenten?
Eddler
Hej! Cirkelns ekvation ingår fortfarande i gymnasiematematiken och lektionen finns kvar på Eddler. Är det något specifikt du undrar över?
blake
Är denna lektion tillför Matte 4 nuförtiden?
Hans Persson
I uppgift 4 här bredvid förstår jag inte informationen att punkten (6,4)
ligger på cirkeln. Det gör den väl inte?
Antonio Isho
Hej!
Hur löser man uppgift 8, finns något lösningsförslag för den uppgiften?
Endast Premium-användare kan kommentera.