Enhetscirkeln

När vi definierade sin v, cos v och tan v  utgick vi från en rätvinklig triangel. Det begränsade oss till en början till att enbart jobba med vinklar som är spetsiga eller räta. Det vill säga vinklar mindre eller lika med $90^{\circ}$90^∘

Med hjälp av en enhetscirkel ska vi nu utvidga de trigonometriska sambanden $\sin v,\text{ }\cos v$sinv, cosv och  $\tan v$tanv till att gälla för alla vinklar $v$v.

Utifrån enhetscirkeln kan vi hitta några olika samband som är användbara i denna kurs. Vi sammanfattar dem här först, innan vi går igenom hur vi fått fram dem.

Dessa samband är mycket användbara när vi ska lösa trigonometriska ekvationer och studera trigonometriska funktioner i Ma4.

Här kan du testa att dra runt en punkt på enhetscirkeln i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0^∘≤v≤360^∘ . Du kan välja om vinkeln skall vara grader eller radianer, vilket är ett annat vinkelmått som vi kommer jobba med i Ma4.

Utifrån enhetscirkeln ska vi nu ta fram sambandet mellan en punkt $P$P på cirkeln och de trigonometriska funktionerna genom att rita in en rätvinklig triangel i enhetscirkeln med en av sina spetsiga höra i origo och den andra spetsiga hörnet på cirkeln. Sidan mellan vinkeln i origo och den räta vinkeln låter vi vila på  $x$x-axeln.

Då cirkelns radie har längden $1$1 l.e  kommer även hypotenusas i triangeln ges längden $1$1 l.e.  Utifrån definitionen av de trigonometriska funktionerna får vi nu att triangelns sidor ger att  $y=\sin v$y=sinv och  $x=\cos v$x=cosv. Vi titta närmre på varför efter att vi konstaterat följande.

I figuren är vinkeln $v$v spetsig och återfinns därmed i den första kvadranten, men du kan även flytta runt punkten runtom hela cirkeln och sambanden kommer ändå att gälla. Vi repeterar följande kunskaper.

Om vi utgår från dessa samband och församman med triangeln i figuren med enhetscirkeln ovan, för vi följande samband.

 $\sin v=$sinv=  $\frac{y}{1}$y1   $=y$=y 

 $\cos v=$cosv= $\frac{x}{1}$x1   $=x$=x  

Utifrån dessa kvoter konstaterar vi härmed att punkten P:s koordinater $\left(x,y\right)$(x,y) även kan anges som $P\left(\cos v,\text{ }\sin v\right)$P(cosv, sinv).

Genom att fortsätta att lägga till hela varv till de två vinklarna kommer vi hamna på samma punkterna på enhetscirkeln. Alltså addera de två vinklarna med  $n\cdot360^{\circ}$n·360^∘  där $n$n  motsvarar antal hela varv.

Men då uppgiften bara efterfrågade vinklarna i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0^∘≤v≤360^∘ har vi bara två vinklar som ger att  $x=0$x=0. I Ma4 kommer vi att jobba mer med ekvationer som efterfrågar alla olika möjliga vinklar som motsvarar ett visst trigonometriskt värde. Men mer om det då.

På enhetscirkeln finns en symmetri där samma $y$y-värde eller $x$x -värde förekommer två gånger på enhetscirkeln. Detta gör att vi får följande samband.

Vi kan rita ut en enhetscirkel för att förklara dessa symmetrier. Vi börjar med att markera den punkt på enhetscirkeln som ges om vi speglar triangeln i  $y$y -axeln. På grund av att trianglarna är varandras spegling är det likformiga, vilket leder till att båda har vinkeln $v$v i hörnet i origo.

Likformigheten ger även punktens $y$y -värdet inte ändras, alltså ”höjden” på  $Q$Q  är den samma. Men däremot ändras $x$x -värdet, då det istället befinner sig i andra kvadraten, om än med samma avstånd till origo. Det kommer ge ett negativt $x$x-värde i koordinatsystemet.

Likformigheten ger även att vinkeln  $v=180^{\circ}-v$v=180^∘−v  eftersom att det tillsamman bildar en rak vinkel.

Utifrån figuren kan vi nu konstaterat att  $\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180^∘−v)=sinv  och   $\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$cos(180^∘−v)=−cosv.

Det finns ett antal olika värden som går att härleda exakt på enhetscirkeln. Dessa värden kan också vara bra att ha i en tabell framför sig. Här nedanför hittar du exakta värden för vinklarna  $0^{\circ},\text{ }45^{\circ},\text{ }90^{\circ},\text{ }135^{\circ},\text{ }180^{\circ},\text{ }228^{\circ},\text{ }270^{\circ},\text{ }315^{\circ}\text{ och }360^{\circ}$0^∘, 45^∘, 90^∘, 135^∘, 180^∘, 228^∘, 270^∘, 315^∘ och 360^∘. 

Det kan vara bra att studerar dessa värden och hitta hur du kan bestämma dem med hjälp av trianglar som kan ritar in i enhetscirkeln. Däremot är det inte lika viktigt att komma ihåg dem i huvudet. Vid provskrivning och vid nationella prov så finns dessa i tabellform i formelbladet.

I matematik 3b och 3c jobbar du inte med trigonometriska funktioner. Det lär du dig i matematik 4 och i den kursen används enhetscirkeln för att förstå och beskriva trigonometriska funktioner. Exempelvis är begreppen amplitud och periodicitet lättare att förstå när du kan enhetscirkeln.