...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova gratis Skaffa Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Trigonometri

Enhetscirkeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Enhetscirkeln är en cirkel som har radien 1. Med hjälp av enhetscirkeln tar vi fram viktiga trigonometriska samband och löser problem.

Viktiga samband på enhetscirkeln

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium?
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
89 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.

Med hjälp av att veta att radien är 1 i enhetscirkeln samt sambanden för sin, cos och tan så tar vi fram några viktiga samband.

Här nere hittar du en enhetscirkel där en rätvinklig triangel är markerad. Punkten P är markerad i triangeln ena hörn som ligger på cirkelns rand. Triangeln har även ett hörn i origo.

Enhetscirkeln introduktion

På enhetscirkeln gäller följande tre viktiga samband

$sinv=y$sinv=y

$cosv=x$cosv=x

$tanv=\frac{sinv}{cosv}$tanv=sinvcosv  , där  $cosv\ne0$cosv0

Just i det här fallet är vinkeln v spetsig men du kan även flytta runt punkten runtom hela cirkeln och sambanden kommer ändå att gälla.

Dessa samband härleds från de grundläggande trigonometriska sambanden för sin, cos och tan som är

Sinus: $ sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}} $

Cosinus: $ cos v = \frac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}} $

Tangens: $ tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}} $

Om vi utgår från dessa samband och bilden här ovan kan vi för den blå triangeln beskriva punkten P:s koordinater $\left(x,y\right)$(x,y) på följande vis.

$sinv=\frac{y}{1}=y$sinv=y1 =y  och $cosv=\frac{x}{1}=x$cosv=x1 =x . Därför är alltså punktens y-koordinat $sinv$sinv och punktens x-koordinat $cosv$cosv.

Sammanfattningsvis så är det viktigt att du kommer ihåg att $sinv=y$sinv=y och $cosv=x$cosv=x på enhetscirkeln. Detta samband kommer att återanvändas många gånger när andra samband skall förstås och härledas.

Slutligen kan vi beskriva tangens genom  $tanv=\frac{y}{x}=\frac{sinv}{cosv}$tanv=yx =sinvcosv .

Exakta värden på enhetscirkeln

Det finns ett antal olika värden som går att härleda exakt på enhetscirkeln. Dessa värden kan också vara bra att ha i en tabell framför sig. Här nedanför hittar du exakta värden för vinklarna  $0^{\circ},\text{ }45^{\circ},\text{ }90^{\circ},\text{ }135^{\circ},\text{ }180^{\circ},\text{ }228^{\circ},\text{ }270^{\circ},\text{ }315^{\circ}\text{ och }360^{\circ}$0, 45, 90, 135, 180, 228, 270, 315 och 360 . Sammanfattningsvis kan det vara bra att du studerar dessa värden. Däremot är det inte lika viktigt att komma ihåg dem i huvudet. Vid provskrivning och vid nationella prov så finns dessa i tabellform i formelbladet.

Exakta värden på enhetscirkeln

Symmetri på enhetscirkeln och formler

På enhetscirkeln finns en symmetri där samma y-värde eller x-värde förekommer två gånger på enhetscirkeln. Detta gör att vi får följande samband.

$sin\left(180^{\circ}-v\right)=sinv$sin(180v)=sinv

$cos\left(180^{\circ}-v\right)=-cosv$cos(180v)=cosv

Vi kan rita ut en enhetscirkel för att förklara dessa symmetrier.

Symmetri enhetscirkeln

I bilden ovan ser vi att y-värdet för vinklarna $180^{\circ}-v$180v och $v$v är detsamma på enhetscirkeln. Därför gäller att $sin\left(180^{\circ}-v\right)=sinv$sin(180v)=sinv.

Dessutom gäller att x-värdet för $v$v är $x$x  och x-värdet för $180^{\circ}-v$180v är $-x$x. Så då gäller att  $cos\left(180^{\circ}-v\right)=-cosv$cos(180v)=cosv.

Exempel

Exempel 1

Använd enhetscirkeln och ange alla vinklar i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0v360 där $cosv=0$cosv=0 .

Lösning:

Exempel 1 enhetscirkeln

Vi ritar ut enhetscirkeln och markerar de vinklar för vilka $x=0$x=0. Vi ser då att dessa är $v=90^{\circ}$v=90 och $v=270^{\circ}$v=270.

Exempel 2

Använd enhetscirkeln och ange alla vinklar i intervallet $0^{\circ}\le v\le180^{\circ}$0v180  som är lösningar till ekvationen  $sinv=sin120^{\circ}$sinv=sin120 .

Lösning:

Exempel 2 enhetscirkeln

Vi använder symmetrin i enhetscirkeln och ritar ut vinkeln $120^{\circ}$120 och drar ett horisontellt streck där denna vinkel befinner sig på enhetscirkeln.

Då ser vi att y-värdet är detsamma där $v=60^{\circ}$v=60.

Så lösningarna på ekvationen är $v=120^{\circ}$v=120 och $v=60^{\circ}$v=60.

Testa enhetscirkeln själv

Här kan du testa att dra runt en punkt på enhetscirkeln. Du kan välja om vinkeln skall vara grader eller radianer och visa de vanligaste vinklarna.

Enhetscirkeln och trigonometriska funktioner

I matematik 3b och 3c jobbar du inte med trigonometriska funktioner. Det lär du dig i matematik 4 och i den kursen används enhetscirkeln för att förstå och beskriva trigonometriska funktioner. Exempelvis är begreppen amplitud och periodicitet lättare att förstå när du kan enhetscirkeln. 

Sammanfattning av sambanden

På enhetscirkeln gäller följande.

$sinv=y$sinv=y

$cosv=x$cosv=x

$tanv=\frac{sinv}{cosv}$tanv=sinvcosv  

$sin\left(180^{\circ}-v\right)=sinv$sin(180v)=sinv

$cos\left(180^{\circ}-v\right)=-cosv$cos(180v)=cosv

 

Kommentarer

Hanan Saleh

Hej
jag förstår inte strategin för fråga 8 och 9?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Hanna,

    strategin är att tänka sin v och cos v som koordinaterna på en punkt på cirkelns omkrets.

    Då vi tex kan läsa av i uppgift 7 att $v=60\degree $ eftersom att punkten P i bilden visar att x-koordinaten är cos$60\degree$.

    Detta gör att vi kan beräkna värdet för cos $60\degree =0,5$ som i sin tur kan användas för att teckna en ekvation att lösa för -sin$w$.
    Så nycken i både 7 och 8 är att utnyttja att de trigonometriska värde kan ses som punkter på enhetscirkeln.

Amanda Koltrast

Precis. Det var ju det jag skrev. Men igår fick man fel för svaret c+b. Och facit påstod att c+d skulle vara rätt. Jag noterar att det är ändrat nu.

    Anna Admin (Moderator)

    Ok, vad bra! Tack.

Amanda Koltrast

Liksom några andra, av tidigare kommentarer att döma, blir även jag förvirrad av fråga 9. Facit anger att det ska vara c+d, men jag får det till att det borde vara c+b. Det är ju sin(v1) som efterfrågas. Jag förstår inte varför det blir d och inte b. Eller är det något jag missar?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej,

    $sin(v_1)$ motsvara y-koordinaten i punkten M. Den är lika med $b$. Men precis som Stefan Persson kommenterar, ser y-värdet ut att vara detsamma i de två punkterna. Om så är fallet skulle det leda till att $b=d$, som i sin tur skulle ge att även $c+d$ skulle kunna vara ett korrekt svar. Men då vi inte kan vara helt säkra på att så faktiskt är fallet, kan vi inte bara anta detta utan bevis. Exempelvis skulle det tex kunna visa sig vid inzoomning att $b=0,63$ medan $d=0,64$. Så vi kan bara med säkerhet veta att $c+b$ är det korrekta svaret.

Stefan Persson

Hej!
I uppgift 9 här; y har ju samma koordinat i både punkt b och d, men vi får bara rätt för att ange bokstaven d. Skapade lite förvirring här först men inser ju att det är samma sak. Bör kanske utvecklas så att även ”b” ger ett korrekt svar – för att skapa mindre förvirring? 🙂
Eller så missar jag något viktigt i det hela.

Jenny Nyman

Hej!
Stämmer svaret I uppgift 9?
Sin$v_1$ i punkten är inte samma punkt som cos$(v_2+v_1)$

Om svaret stämmer hur tänker man då?

MVH Jenny

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Jenny,

    jag förstår inte riktigt din fråga. Ditt påstående är korrekt, om du menar att vi bör läsa av värdena för sin$v_1$ och cos$(v_2+v_1)$ i två olika punkter. Kan du förtydliga din fråga, tack?

Eltayeb Hammad

Jag vill underlätta något här:
i första kvadranten är sin , cos och tan positivt värde
i andra kvadranten bara sin är positivt
i tredje kvadranten bara tan är positivt
i fjärde kvadranten bara cos är positivt

Rasmus Mononen

I uppgift 3:

Koordinaterna står antingen i fel ordning eller så är punkten på fel ställe. ”cos v” borde ha ett negativt värde i andra kvadranten på enhetscirkeln… väl

    Simon Rybrand (Moderator)

    Koordinaterna var skrivna fel där, vi har korrigerat den uppgiften.

Ludvig Johansson

det går ej att få rätt svar på fråga 6.

Hans Nässla

Som flera rapporterat tidigare står det 6:30 in i filmen att
0 <= cos v <= -1 för vissa vinklar v.
Dessutom 5:50 minuter in i filmen står det att
0 <= sin v <= -1 för andra vinklar .
Inget värde kan ju vara större än 0 och samtidigt mindre än -1, eller hur?

Dessa måste naturligtvis ändras till -1 <= cos v <= 0 respektive -1 <= sin v <= 0

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej

    Detta får vi fixa snarast, tack för att du sade till!

sandra merelius

det värkar vara något fel på fråga fyra i testet, jag har svarat samma som facit säger men får ändå fel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till om det, vi har korrigerat detta.

jenny eliasson

hur visar man sambandet (sinv)^2 + (cosv)^2=1 i intervallet 0<v<180?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det sambandet kallas för trigonometriska ettan och du hittar en härledning av denna i den här videon.

Fredrik Rundqvist

Jag begriper verkligen inte:
Använd enhetscirkeln och beräkna cos 0° + cos90° + cos 180° + cos 360° (svara utan enhet)

Hur blir cos90 = 0 och hur kan cos0 = 1? Vart utgår jag ifrån?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du får utgå från punktens x-koordinat på enhetscirkeln. Om du exempelvis har $ cos90° $ så befinner du dig i punkten (0,1) på enhetscirkeln.
    Då gäller att $ cos90° $ är samma sak som x-värdet för denna punkt, dvs $ cos90° = 0 $.
    Hjälper detta dig vidare?

Anika Hossain

Hur löser man denna? Tycker att det borde finnas en video på hur man löser denna då denna uppgift förekommer så ofta i matematik 4 5000 boken (blå bok)…:

Visa sambanden med hjälp av en enhetscirkel:

a) sin v = cos (v + 270)

b) cos v = – sin (v + 270)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi kan absolut kika på fördjupa våra genomgångar om enhetscirkeln med liknande uppgifter som denna. Har du ritat upp en enhetscirkel och markerat vinklarna?
    Ett tips kan vara att rita ut vinklarna $ 45° $ och $ 45°+270° = 315° $ och sedan markera sin och cos värdena för
    $ sin(45°) $ (y värdet för koordinaten på enhetscirkeln)
    $ cos(315°) $ (x värdet för koordinaten på enhetscirkeln)
    Kan du se sambandet här och att dessa värden är lika med varandra?

AdamH

Felet ligger vid tidpunkten 06:42 i videon

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det är förstås fel där i videon, tack för att du påpekade detta. Det skall vi korrigera snarast.

AdamH

Tack så mycket för snabb respons 😀 ! Hittade äntligen felet. 0 < cosv < -1 går inte. Jag tror att ni råkat byta plats på -1 och 0 🙂

AdamH

Hej! Har en fråga som liknar lillpuddas: Hej förstår inte riktigt hur cos v kan ha värdet
0<cos v<-1, i intervallet 90<v<270 (grader). Det är efter cirka 06:02 min i videon.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det första som du behöver känna till där är att x – värdet är lika med cos v när du flyttar en punkt runt på enhetscirkeln (se inledande förklaring i videon). När du då befinner dig i intervallet 90<v<270 så kommer x – värdet ligga mellan 0 och -1. Fråga gärna vidare om något är otydligt kring detta.

lillpuddas

Kom på det:)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vad bra! 🙂

lillpuddas

Hej förstår inte riktigt hur cos v kan ha värdet 0<cos v<-1, i intervallet -90<v<90 (grader). Det är efter cirka 06:02 min i videon.

abdi

varför har sin v = -sin 56 ingen lösning?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du kan ju skriva denna ekvation som
    sin v = – 0,829
    vilket är en lösbar ekvation, eller har jag missförstått din fråga på något vis här?

taha

hej
jag kunde ej lösa ex 3
fattar ej den riktig

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här handlar det mycket om att förstå att punkten ”på andra sidan” mot T har x koordinaten cosx och y koordinaten sinx, sedan har punkten T x-koordinaten -cosx och samma y – koordinat.

emmaknutsdotter

Jag löste det, tack ändå! 🙂 Njut av solen idag!

emmaknutsdotter

Hur räknar man ut vilken punkt på enhetscirkeln i första kvadranten som motsvaras av tanv=3,5?????

ntitest

Hej!
Varför står det y = sin c i testet ovan? En blooper?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, ja det verkar ha blivit fel bokstav där, vi ordnar detta på momangen


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Använd enhetscirkeln och beräkna $cos\,180° + sin\,270°$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    En punkt $P$P på enhetscirkeln har koordinaterna $\left(-0,5;\text{ }0,87\right)$(0,5; 0,87) 

    Bestäm värdet för $cos\,v$ med en decimals noggrannhet. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange koordinaterna för den punkt $P$ på enhetscirkeln som motsvarar vinkeln $90°$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange koordinaterna för den punkt $P$ på enhetscirkeln som motsvarar vinkeln $180°$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Bestäm med hjälp av enhetscirkeln den vinkel $v$ vars punkt på enhetscirkeln har samma koordinater som en punkt med vinkeln $-70°$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Bestäm utan räknare vilka av koordinaterna nedan som bäst beskriver punkten $P$.

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Uttryck punkten $T$:s koordinater med hjälp av vinkeln $x$

    Motivera ditt svar på ett papper.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Bestäm punkten $Q$s $y$-koordinat, som ligger i tredje kvadranten, då du vet att $cos\,v=-sin\,w$

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Exempel enhetscirkeln

    De två punkterna M$\left(a,b\right)$(a,b) och N$\left(c,d\right)$(c,d) är utritade på enhetscirkeln. 

    Använd figuren och bestäm $\cos\left(v_1+v_2\right)+\sin\left(v_1\right)$cos(v1+v2)+sin(v1) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.