Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Trigonometri
Enhetscirkeln
Innehåll
En cirkel med sin medelpunkt i origo och radien $1$1 l.e kallas för en enhetscirkel. Med hjälp av enhetscirkeln tar vi fram viktiga trigonometriska samband för att bland bestämma alla olika lösningar till en trigonometriskekvation.
Vad är enhetscirkeln
När vi definierade sin v, cos v och tan v utgick vi från en rätvinklig triangel. Det begränsade oss till en början till att enbart jobba med vinklar som är spetsiga eller räta. Det vill säga vinklar mindre eller lika med $90^{\circ}$90∘
Med hjälp av en enhetscirkel ska vi nu utvidga de trigonometriska sambanden $\sin v,\text{ }\cos v$sinv, cosv och $\tan v$tanv till att gälla för alla vinklar $v$v.
En enhetscirkel är en cirkel med sin medelpunkt i origo och radien $1$1 l.e. Vinkeln $v$v utgår i enhetscirkeln från $x$x-axeln och vrids i positiv riktning, vilket betyder moturs.
Utifrån enhetscirkeln kan vi hitta några olika samband som är användbara i denna kurs. Vi sammanfattar dem här först, innan vi går igenom hur vi fått fram dem.
Sammanfattning av samband
På enhetscirkeln gäller följande.
$\sin v=y$sinv=y
$\cos v=x$cosv=x
$\tan v=$tanv= $\frac{\sin v}{\cos v}$sinvcosv , där $\cos v\ne0$cosv≠0
$\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180∘−v)=sinv
$\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$cos(180∘−v)=−cosv
Dessa samband är mycket användbara när vi ska lösa trigonometriska ekvationer och studera trigonometriska funktioner i Ma4.
Testa enhetscirkeln själv
Här kan du testa att dra runt en punkt på enhetscirkeln i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0∘≤v≤360∘ . Du kan välja om vinkeln skall vara grader eller radianer, vilket är ett annat vinkelmått som vi kommer jobba med i Ma4.
Viktiga samband på enhetscirkeln
Utifrån enhetscirkeln ska vi nu ta fram sambandet mellan en punkt $P$P på cirkeln och de trigonometriska funktionerna genom att rita in en rätvinklig triangel i enhetscirkeln med en av sina spetsiga höra i origo och den andra spetsiga hörnet på cirkeln. Sidan mellan vinkeln i origo och den räta vinkeln låter vi vila på $x$x-axeln.
Då cirkelns radie har längden $1$1 l.e kommer även hypotenusas i triangeln ges längden $1$1 l.e. Utifrån definitionen av de trigonometriska funktionerna får vi nu att triangelns sidor ger att $y=\sin v$y=sinv och $x=\cos v$x=cosv. Vi titta närmre på varför efter att vi konstaterat följande.
Enhetscirkeln
Låt vinkeln $v$v motsvarar en punkten $P$P enhetscirkeln. Punkten $P$P har koordinaten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) i planet och i enhetscirkeln gäller då att $y=\sin v$y=sinv och $x=\cos v$x=cosv vilket ger att punkten $P$P s koordinat även kan anges som $P\left(\cos v,\text{ }\sin v\right)$P(cosv, sinv).
På enhetscirkeln gäller följande tre viktiga samband
$\sin v=y$sinv=y
$\cos v=x$cosv=x
$\tan v=$tanv= $\frac{\sin v}{\cos v}$sinvcosv , där $\cos v\ne0$cosv≠0
I figuren är vinkeln $v$v spetsig och återfinns därmed i den första kvadranten, men du kan även flytta runt punkten runtom hela cirkeln och sambanden kommer ändå att gälla. Vi repeterar följande kunskaper.
$ sin v = $ $\frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}}$motstående katethypotenusa
$ cos v = $ $\frac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}}$närliggande katethypotenusa
$ tan v =$ $\frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}}$motstående katetnärliggande katet
Om vi utgår från dessa samband och församman med triangeln i figuren med enhetscirkeln ovan, för vi följande samband.
$\sin v=$sinv= $\frac{y}{1}$y1 $=y$=y
$\cos v=$cosv= $\frac{x}{1}$x1 $=x$=x
Utifrån dessa kvoter konstaterar vi härmed att punkten P:s koordinater $\left(x,y\right)$(x,y) även kan anges som $P\left(\cos v,\text{ }\sin v\right)$P(cosv, sinv).
Exempel 1
Använd enhetscirkeln och ange alla vinklar i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0∘≤v≤360∘ där $\cos v=0$cosv=0 .
Lösning
Värdet på cosinus hittar vi på $x$x -axeln, vilket ger att de punkter vi söker på enhetscirkeln ligger på just $x$x -axeln. Vi ritar ut enhetscirkeln och markerar de punkter och vinklar för vilka $x=0$x=0.
Vi ser då att dessa är $v=90^{\circ}$v=90∘ och $v=270^{\circ}$v=270∘.
Genom att fortsätta att lägga till hela varv till de två vinklarna kommer vi hamna på samma punkterna på enhetscirkeln. Alltså addera de två vinklarna med $n\cdot360^{\circ}$n·360∘ där $n$n motsvarar antal hela varv.
Men då uppgiften bara efterfrågade vinklarna i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0∘≤v≤360∘ har vi bara två vinklar som ger att $x=0$x=0. I Ma4 kommer vi att jobba mer med ekvationer som efterfrågar alla olika möjliga vinklar som motsvarar ett visst trigonometriskt värde. Men mer om det då.
Symmetri på enhetscirkeln och formler
På enhetscirkeln finns en symmetri där samma $y$y-värde eller $x$x -värde förekommer två gånger på enhetscirkeln. Detta gör att vi får följande samband.
$\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180∘−v)=sinv
$\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$cos(180∘−v)=−cosv
Vi kan rita ut en enhetscirkel för att förklara dessa symmetrier. Vi börjar med att markera den punkt på enhetscirkeln som ges om vi speglar triangeln i $y$y -axeln. På grund av att trianglarna är varandras spegling är det likformiga, vilket leder till att båda har vinkeln $v$v i hörnet i origo.
Likformigheten ger även punktens $y$y -värdet inte ändras, alltså ”höjden” på $Q$Q är den samma. Men däremot ändras $x$x -värdet, då det istället befinner sig i andra kvadraten, om än med samma avstånd till origo. Det kommer ge ett negativt $x$x-värde i koordinatsystemet.
Likformigheten ger även att vinkeln $v=180^{\circ}-v$v=180∘−v eftersom att det tillsamman bildar en rak vinkel.
Utifrån figuren kan vi nu konstaterat att $\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180∘−v)=sinv och $\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$cos(180∘−v)=−cosv.
Exempel 2
Använd enhetscirkeln och ange alla vinklar i intervallet $0^{\circ}\le v\le180^{\circ}$0∘≤v≤180∘ som är lösningar till ekvationen $\sin v=\sin120^{\circ}$sinv=sin120∘ .
Lösning
Vi kan lösa uppgiften grafiskt eller algebraiskt. Vi använder symmetrin i enhetscirkeln och ritar ut vinkeln $120^{\circ}$120∘ och drar ett horisontellt streck där denna vinkel befinner sig på enhetscirkeln.
Då ser vi att $y$y-värdet är detsamma där $v=60^{\circ}$v=60∘.
Alternativt vet vi att sambandet $\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180∘−v)=sinv gäller och får då att $\sin\left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=\sin60^{\circ}$sin(180∘−120∘)=sin60∘.
Så lösningarna på ekvationen är $v=120^{\circ}$v=120∘ och $v=60^{\circ}$v=60∘.
Exakta värden på enhetscirkeln
Det finns ett antal olika värden som går att härleda exakt på enhetscirkeln. Dessa värden kan också vara bra att ha i en tabell framför sig. Här nedanför hittar du exakta värden för vinklarna $0^{\circ},\text{ }45^{\circ},\text{ }90^{\circ},\text{ }135^{\circ},\text{ }180^{\circ},\text{ }228^{\circ},\text{ }270^{\circ},\text{ }315^{\circ}\text{ och }360^{\circ}$0∘, 45∘, 90∘, 135∘, 180∘, 228∘, 270∘, 315∘ och 360∘.
Det kan vara bra att studerar dessa värden och hitta hur du kan bestämma dem med hjälp av trianglar som kan ritar in i enhetscirkeln. Däremot är det inte lika viktigt att komma ihåg dem i huvudet. Vid provskrivning och vid nationella prov så finns dessa i tabellform i formelbladet.
Tabell över exakta trigonometriska värden
| Grader | Radianer | Sinus | Cosinus | Tangens |
| $0\text{°}$0° | $0$0 | $0$0 | $1$1 | $0$0 |
| $30\text{°}$30° | $\frac{\pi}{6}$π6 | $\frac{1}{2}$12 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$√33 |
| $45\text{°}$45° | $\frac{\pi}{4}$π4 | $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 | $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 | $1$1 |
| $60\text{°}$60° | $\frac{\pi}{3}$π3 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 | $\frac{1}{2}$12 | $\sqrt{3}$√3 |
| $90\text{°}$90° | $\frac{\pi}{2}$π2 | $1$1 | $0$0 | $Ej\text{ }def$Ej deƒ |
| $120\text{°}$120° | $\frac{2\pi}{3}$2π3 |
$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 |
$-\frac{1}{2}$−12 |
$-\sqrt{3}$−√3 |
| $135\text{°}$135° | $\frac{3\pi}{4}$3π4 | $\frac{\sqrt{2}}{2}$√22 | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$−√22 | $-1$−1 |
| $150\text{°}$150° | $\frac{5\pi}{6}$5π6 | $\frac{1}{2}$12 | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$−√32 | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$−√33 |
| $180\text{°}$180° | $\pi$π | $0$0 | $-1$−1 | $0$0 |
| $225\text{°}$225° | $\frac{5\pi}{4}$5π4 | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$−1√2 | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$−1√2 | $1$1 |
| $270\text{°}$270° | $\frac{3\pi}{2}$3π2 | $-1$−1 | $0$0 | $Ej\text{ }def$Ej deƒ |
| $315\text{°}$315° | $\frac{7\pi}{4}$7π4 | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$−1√2 | $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 | $-1$−1 |
| $360\text{°}$360° | $2\pi$2π | $0$0 | $1$1 | $0$0 |
Enhetscirkeln och trigonometriska funktioner
I matematik 3b och 3c jobbar du inte med trigonometriska funktioner. Det lär du dig i matematik 4 och i den kursen används enhetscirkeln för att förstå och beskriva trigonometriska funktioner. Exempelvis är begreppen amplitud och periodicitet lättare att förstå när du kan enhetscirkeln.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
En punkt $P$P på enhetscirkeln har koordinaterna $\left(0,6;\text{ }0,8\right)$(0,6; 0,8)
Bestäm värdet för $\sin v$sinv med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Matematik 3 Matematik 4 trigonometri Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
2. Premium
En punkt $P$P på enhetscirkeln har koordinaterna $\left(-0,5;\text{ }0,87\right)$(−0,5; 0,87)
Bestäm värdet för $\cos v$cosv med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Matematik 3 Matematik 4 trigonometri Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
3. Premium
Ange koordinaterna för den punkt $P$P på enhetscirkeln som motsvarar vinkeln $90°$90° .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Matematik 3 Matematik 4 trigonometri Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
4. Premium
Ange koordinaterna för den punkt $P$P på enhetscirkeln som motsvarar vinkeln $180°$180° .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Matematik 3 Matematik 4 trigonometri Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
5. Premium
Använd enhetscirkeln och beräkna $\cos180°+\sin270°$cos180°+sin270°.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Matematik 3 Matematik 4 trigonometri Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
6. Premium
Bestäm med hjälp av enhetscirkeln den vinkel $v$v i intervallen $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0∘≤v≤360∘ vars punkt på enhetscirkeln har samma koordinater som en punkt med vinkeln $-70°$−70°.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Matematik 3 Matematik 4 trigonometri Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
c-uppgifter (5)
-
7. Premium
Uppskatta utan räknare vilka av koordinaterna nedan som bäst beskriver punkten $P$P .
Träna på att motivera ditt svar för en vän.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Matematik 3 Matematik 4 trigonometri Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
8. Premium
I enhetscirkeln nedan är tre vinklar $a,\text{ }b$a, b och $c$c markerade.
Ordna $\sin a,\text{ }\cos b$sina, cosb och $\sin c$sinc i storleksordning. Börja med det minsta värdet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriRättar... -
-
9. Premium
Vilket alternativ motsvarar punkten $P$P :s koordinater?
Träna på att motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Matematik 3 Matematik 4 trigonometri Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
10. Premium
Punkten $Q$Q ligger i tredje kvadranten.
Bestäm $Q$Q s $y$y-koordinat, då $\cos v=-\sin w$cosv=−sinw.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln Geometri trigonometriRättar... -
-
11. Premium
De två punkterna M$\left(a,b\right)$(a,b) och N$\left(c,d\right)$(c,d) är utritade på enhetscirkeln.
Använd figuren och bestäm $\cos\left(v_1+v_2\right)+\sin\left(v_1\right)$cos(v1+v2)+sin(v1)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: cosinus Enhetscirkeln sinusRättar... -
a-uppgifter (2)
-
12. Premium
Skissa av enhetscirkeln och använd för att, utan räknare, bestämma det minsta värdet $\cos\left(180°-v\right)$cos(180°−v) kan anta, om $\sin v=0,4$sinv=0,4.
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriRättar... -
-
13. Premium
I figuren nedan visas en enhetscirkel som tangeras av en linje $L$L som är parallell med $y$y-axeln. För vinkeln $v$v gäller att $0^{\circ}$0∘ < $v$v < $90^{\circ}$90∘
Punkterna $O,\text{ }P$O, P och $Q$Q ligger på samma linje. Punkten $Q$Q har $y$y-koordinaten $t$t.
Bestäm $\cos v$cosv uttryckt i $t$t.
(NpMa3c vt13)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln nationella provRättar... -
Elsa Malmström
Hej!
Jag ska göra en prövning i matte 3b och undrar om trigonometri ingår i den kursen? För enligt ”spåren” här ovan och under rubriken Enhetscirkeln står det matte 3c?
Tack för svar och en grym hemsida!
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Elsa,
det stämmer! I Ma3b ingår inte trigonometri.
Däremot ingår Linjära optimering och Geometriska talföljder som inte ingår i Ma3c.
Kul att du Gillar Eddler!
Lycka till på din prövning.
Alana Silva de oliveira
Svaret är 0.8, men när jag skriver det så står d att det är fel
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej,
det ser ut som att du använd punkt som skiljetecken mellan heltal och decimaltal. Antagligen är det där som det blivit fel, eftersom att vi lagt in i systemet att använda kommatecken som decimaltecken. Det är det allmänrådande skriv sättet i Sverige, men jag vet, det kan vara frustrerande eftersom att man använder punkt i andra länder samt i mycket av de digitala hjälpmedlen som används.
Hoppas du kan vänja om det:)
Nels Ireholm
Hej!
Jag lyckas inte få rätt svar på fråga 12, jag har skrivit in -0,9 på olika sätt men det står att mitt svar är fel. Är det en bugg eller har jag fel svar?
Tack på förhand!
Anna Admin (Moderator)
Hej Nels,
prova nu igen. Om det inte fungerar en annan gång så har vi nu lagt till en ny funktion där du manuellt kan ändra ett svar som inte systemet ger rätt till korrekt.
När du fått fel fast du tycker ditt svar är korrekt kan du göra följande.
1) Klicka på facit
2) Håll pilpekare ovanför ”korrekta varianter” för att se alla alternativ som systemet ger korrekt
3) Ändra till korrekt om du är helt säker på att ditt svar är rätt!
Du får gärna rapportera ditt svar till oss, genom att klicka på de tre punkterna i uppgiftens högra hörn, så att vi kan lägga till det bland de korrekta svaren.
Hoppas det ska hjälpa!
Abdallah Mashally
Kan ni förklara stegen för fråga 9 ? Jag vet inte hur man kommer fram till svaret.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det finns en förklaring till alla uppgifter om du klickar på rätt och sedan på knappen förklaring.
Hoppas att det hjälper dig framåt!
Hanan Saleh
Hej
jag förstår inte strategin för fråga 8 och 9?
Anna Admin (Moderator)
Hej Hanna,
strategin är att tänka sin v och cos v som koordinaterna på en punkt på cirkelns omkrets.
Då vi tex kan läsa av i uppgift 7 att $v=60\degree $ eftersom att punkten P i bilden visar att x-koordinaten är cos$60\degree$.
Detta gör att vi kan beräkna värdet för cos $60\degree =0,5$ som i sin tur kan användas för att teckna en ekvation att lösa för -sin$w$.
Så nycken i både 7 och 8 är att utnyttja att de trigonometriska värde kan ses som punkter på enhetscirkeln.
Amanda Koltrast
Precis. Det var ju det jag skrev. Men igår fick man fel för svaret c+b. Och facit påstod att c+d skulle vara rätt. Jag noterar att det är ändrat nu.
Anna Admin (Moderator)
Ok, vad bra! Tack.
Amanda Koltrast
Liksom några andra, av tidigare kommentarer att döma, blir även jag förvirrad av fråga 9. Facit anger att det ska vara c+d, men jag får det till att det borde vara c+b. Det är ju sin(v1) som efterfrågas. Jag förstår inte varför det blir d och inte b. Eller är det något jag missar?
Anna Admin (Moderator)
Hej,
$sin(v_1)$ motsvara y-koordinaten i punkten M. Den är lika med $b$. Men precis som Stefan Persson kommenterar, ser y-värdet ut att vara detsamma i de två punkterna. Om så är fallet skulle det leda till att $b=d$, som i sin tur skulle ge att även $c+d$ skulle kunna vara ett korrekt svar. Men då vi inte kan vara helt säkra på att så faktiskt är fallet, kan vi inte bara anta detta utan bevis. Exempelvis skulle det tex kunna visa sig vid inzoomning att $b=0,63$ medan $d=0,64$. Så vi kan bara med säkerhet veta att $c+b$ är det korrekta svaret.
Stefan Persson
Hej!
I uppgift 9 här; y har ju samma koordinat i både punkt b och d, men vi får bara rätt för att ange bokstaven d. Skapade lite förvirring här först men inser ju att det är samma sak. Bör kanske utvecklas så att även ”b” ger ett korrekt svar – för att skapa mindre förvirring? 🙂
Eller så missar jag något viktigt i det hela.
Jenny Nyman
Hej!
Stämmer svaret I uppgift 9?
Sin$v_1$ i punkten är inte samma punkt som cos$(v_2+v_1)$
Om svaret stämmer hur tänker man då?
MVH Jenny
Anna Admin (Moderator)
Hej Jenny,
jag förstår inte riktigt din fråga. Ditt påstående är korrekt, om du menar att vi bör läsa av värdena för sin$v_1$ och cos$(v_2+v_1)$ i två olika punkter. Kan du förtydliga din fråga, tack?
Eltayeb Hammad
Jag vill underlätta något här:
i första kvadranten är sin , cos och tan positivt värde
i andra kvadranten bara sin är positivt
i tredje kvadranten bara tan är positivt
i fjärde kvadranten bara cos är positivt
Rasmus Mononen
I uppgift 3:
Koordinaterna står antingen i fel ordning eller så är punkten på fel ställe. ”cos v” borde ha ett negativt värde i andra kvadranten på enhetscirkeln… väl
Simon Rybrand (Moderator)
Koordinaterna var skrivna fel där, vi har korrigerat den uppgiften.
Ludvig Johansson
det går ej att få rätt svar på fråga 6.
Hans Nässla
Som flera rapporterat tidigare står det 6:30 in i filmen att
0 <= cos v <= -1 för vissa vinklar v.
Dessutom 5:50 minuter in i filmen står det att
0 <= sin v <= -1 för andra vinklar .
Inget värde kan ju vara större än 0 och samtidigt mindre än -1, eller hur?
Dessa måste naturligtvis ändras till -1 <= cos v <= 0 respektive -1 <= sin v <= 0
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Detta får vi fixa snarast, tack för att du sade till!
sandra merelius
det värkar vara något fel på fråga fyra i testet, jag har svarat samma som facit säger men får ändå fel.
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till om det, vi har korrigerat detta.
jenny eliasson
hur visar man sambandet (sinv)^2 + (cosv)^2=1 i intervallet 0<v<180?
Simon Rybrand (Moderator)
Det sambandet kallas för trigonometriska ettan och du hittar en härledning av denna i den här videon.
Fredrik Rundqvist
Jag begriper verkligen inte:
Använd enhetscirkeln och beräkna cos 0° + cos90° + cos 180° + cos 360° (svara utan enhet)
Hur blir cos90 = 0 och hur kan cos0 = 1? Vart utgår jag ifrån?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Du får utgå från punktens x-koordinat på enhetscirkeln. Om du exempelvis har $ cos90° $ så befinner du dig i punkten (0,1) på enhetscirkeln.
Då gäller att $ cos90° $ är samma sak som x-värdet för denna punkt, dvs $ cos90° = 0 $.
Hjälper detta dig vidare?
Anika Hossain
Hur löser man denna? Tycker att det borde finnas en video på hur man löser denna då denna uppgift förekommer så ofta i matematik 4 5000 boken (blå bok)…:
Visa sambanden med hjälp av en enhetscirkel:
a) sin v = cos (v + 270)
b) cos v = – sin (v + 270)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vi kan absolut kika på fördjupa våra genomgångar om enhetscirkeln med liknande uppgifter som denna. Har du ritat upp en enhetscirkel och markerat vinklarna?
Ett tips kan vara att rita ut vinklarna $ 45° $ och $ 45°+270° = 315° $ och sedan markera sin och cos värdena för
$ sin(45°) $ (y värdet för koordinaten på enhetscirkeln)
$ cos(315°) $ (x värdet för koordinaten på enhetscirkeln)
Kan du se sambandet här och att dessa värden är lika med varandra?
AdamH
Felet ligger vid tidpunkten 06:42 i videon
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det är förstås fel där i videon, tack för att du påpekade detta. Det skall vi korrigera snarast.
AdamH
Tack så mycket för snabb respons 😀 ! Hittade äntligen felet. 0 < cosv < -1 går inte. Jag tror att ni råkat byta plats på -1 och 0 🙂
AdamH
Hej! Har en fråga som liknar lillpuddas: Hej förstår inte riktigt hur cos v kan ha värdet
0<cos v<-1, i intervallet 90<v<270 (grader). Det är efter cirka 06:02 min i videon.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det första som du behöver känna till där är att x – värdet är lika med cos v när du flyttar en punkt runt på enhetscirkeln (se inledande förklaring i videon). När du då befinner dig i intervallet 90<v<270 så kommer x – värdet ligga mellan 0 och -1. Fråga gärna vidare om något är otydligt kring detta.
lillpuddas
Kom på det:)
Simon Rybrand (Moderator)
Vad bra! 🙂
lillpuddas
Hej förstår inte riktigt hur cos v kan ha värdet 0<cos v<-1, i intervallet -90<v<90 (grader). Det är efter cirka 06:02 min i videon.
abdi
varför har sin v = -sin 56 ingen lösning?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du kan ju skriva denna ekvation som
sin v = – 0,829
vilket är en lösbar ekvation, eller har jag missförstått din fråga på något vis här?
taha
hej
jag kunde ej lösa ex 3
fattar ej den riktig
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, här handlar det mycket om att förstå att punkten ”på andra sidan” mot T har x koordinaten cosx och y koordinaten sinx, sedan har punkten T x-koordinaten -cosx och samma y – koordinat.
emmaknutsdotter
Jag löste det, tack ändå! 🙂 Njut av solen idag!
emmaknutsdotter
Hur räknar man ut vilken punkt på enhetscirkeln i första kvadranten som motsvaras av tanv=3,5?????
ntitest
Hej!
Varför står det y = sin c i testet ovan? En blooper?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, ja det verkar ha blivit fel bokstav där, vi ordnar detta på momangen
Endast Premium-användare kan kommentera.