00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
C
/  Trigonometri
Trigonometri

Enhetscirkeln

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

En cirkel med sin medelpunkt i origo och radien $1$1 l.e kallas för en enhetscirkel. Med hjälp av enhetscirkeln tar vi fram viktiga trigonometriska samband för att bland bestämma alla olika lösningar till en trigonometriskekvation.

Vad är enhetscirkeln

När vi definierade sin v, cos v och tan v  utgick vi från en rätvinklig triangel. Det begränsade oss till en början till att enbart jobba med vinklar som är spetsiga eller räta. Det vill säga vinklar mindre eller lika med 90∘90^{\circ}90∘

Med hjälp av en enhetscirkel ska vi nu utvidga de trigonometriska sambanden sin⁡v, cos⁡v\sin v,\text{ }\cos vsinv, cosv och  tan⁡v\tan vtanv till att gälla för alla vinklar vvv.

En enhetscirkel är en cirkel med sin medelpunkt i origo och radien 111 l.e. Vinkeln vvv utgår i enhetscirkeln från xxx-axeln och vrids i positiv riktning, vilket betyder moturs.

Enhetscirkeln

Utifrån enhetscirkeln kan vi hitta några olika samband som är användbara i denna kurs. Vi sammanfattar dem här först, innan vi går igenom hur vi fått fram dem.

Sammanfattning av samband

På enhetscirkeln gäller följande.

 sin⁡v=y\sin v=ysinv=y

 cos⁡v=x\cos v=xcosv=x 

 tan⁡v=\tan v=tanv= sin⁡vcos⁡v\frac{\sin v}{\cos v}sinvcosv   , där  cos⁡v≠0\cos v\ne0cosv≠0 

 sin⁡(180∘−v)=sin⁡v\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin vsin(180∘−v)=sinv 

 cos⁡(180∘−v)=−cos⁡v\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos vcos(180∘−v)=−cosv 

Dessa samband är mycket användbara när vi ska lösa trigonometriska ekvationer och studera trigonometriska funktioner i Ma4.

Testa enhetscirkeln själv

Här kan du testa att dra runt en punkt på enhetscirkeln i intervallet 0∘≤v≤360∘0^{\circ}\le v\le360^{\circ}0∘≤v≤360∘ . Du kan välja om vinkeln skall vara grader eller radianer, vilket är ett annat vinkelmått som vi kommer jobba med i Ma4.

Visa viktiga vinklar

Grader / Radianer

Enhetscirkeln

Viktiga samband på enhetscirkeln

Utifrån enhetscirkeln ska vi nu ta fram sambandet mellan en punkt PPP på cirkeln och de trigonometriska funktionerna genom att rita in en rätvinklig triangel i enhetscirkeln med en av sina spetsiga höra i origo och den andra spetsiga hörnet på cirkeln. Sidan mellan vinkeln i origo och den räta vinkeln låter vi vila på  xxx-axeln.

Enhetscirkeln

Då cirkelns radie har längden 111 l.e  kommer även hypotenusas i triangeln ges längden 111 l.e.  Utifrån definitionen av de trigonometriska funktionerna får vi nu att triangelns sidor ger att  y=sin⁡vy=\sin vy=sinv och  x=cos⁡vx=\cos vx=cosv. Vi titta närmre på varför efter att vi konstaterat följande.

Enhetscirkeln

Låt vinkeln vvv motsvarar en punkten PPP  enhetscirkeln. Punkten PPP har koordinaten (x, y)\left(x,\text{ }y\right)(x, y)  i planet och i enhetscirkeln gäller då att  y=sin⁡vy=\sin vy=sinv  och  x=cos⁡vx=\cos vx=cosv vilket ger att punkten PPP s koordinat även kan anges som  P(cos⁡v, sin⁡v)P\left(\cos v,\text{ }\sin v\right)P(cosv, sinv).

Enhetscirkeln

På enhetscirkeln gäller följande tre viktiga samband

 sin⁡v=y\sin v=ysinv=y

 cos⁡v=x\cos v=xcosv=x 

 tan⁡v=\tan v=tanv= sin⁡vcos⁡v\frac{\sin v}{\cos v}sinvcosv   , där  cos⁡v≠0\cos v\ne0cosv≠0 

I figuren är vinkeln vvv spetsig och återfinns därmed i den första kvadranten, men du kan även flytta runt punkten runtom hela cirkeln och sambanden kommer ändå att gälla. Vi repeterar följande kunskaper.

sinv= sin v =  motsta˚ende katethypotenusa\frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}}motstående katethypotenusa  

cosv= cos v =  na¨rliggande katethypotenusa\frac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}}närliggande katethypotenusa  

tanv= tan v = motsta˚ende katetna¨rliggande katet\frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}}motstående katetnärliggande katet  

Om vi utgår från dessa samband och församman med triangeln i figuren med enhetscirkeln ovan, för vi följande samband.

Enhetscirkelns triangel

 sin⁡v=\sin v=sinv=  y1\frac{y}{1}y1   =y=y=y 

 cos⁡v=\cos v=cosv= x1\frac{x}{1}x1   =x=x=x  

Utifrån dessa kvoter konstaterar vi härmed att punkten P:s koordinater (x,y)\left(x,y\right)(x,y) även kan anges som P(cos⁡v, sin⁡v)P\left(\cos v,\text{ }\sin v\right)P(cosv, sinv).

Exempel 1

Använd enhetscirkeln och ange alla vinklar i intervallet 0∘≤v≤360∘0^{\circ}\le v\le360^{\circ}0∘≤v≤360∘ där  cos⁡v=0\cos v=0cosv=0 .

Lösning

Värdet på cosinus hittar vi på xxx -axeln, vilket ger att de punkter vi söker på enhetscirkeln ligger på just  xxx -axeln. Vi ritar ut enhetscirkeln och markerar  de punkter och vinklar för vilka x=0x=0x=0.

Exempel 1 enhetscirkeln

Vi ser då att dessa är v=90∘v=90^{\circ}v=90∘ och v=270∘v=270^{\circ}v=270∘.

Genom att fortsätta att lägga till hela varv till de två vinklarna kommer vi hamna på samma punkterna på enhetscirkeln. Alltså addera de två vinklarna med  n⋅360∘n\cdot360^{\circ}n·360∘  där nnn  motsvarar antal hela varv.

Men då uppgiften bara efterfrågade vinklarna i intervallet 0∘≤v≤360∘0^{\circ}\le v\le360^{\circ}0∘≤v≤360∘ har vi bara två vinklar som ger att  x=0x=0x=0. I Ma4 kommer vi att jobba mer med ekvationer som efterfrågar alla olika möjliga vinklar som motsvarar ett visst trigonometriskt värde. Men mer om det då.

Symmetri på enhetscirkeln och formler

På enhetscirkeln finns en symmetri där samma yyy-värde eller xxx -värde förekommer två gånger på enhetscirkeln. Detta gör att vi får följande samband.

 sin⁡(180∘−v)=sin⁡v\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin vsin(180∘−v)=sinv 

 cos⁡(180∘−v)=−cos⁡v\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos vcos(180∘−v)=−cosv 

Vi kan rita ut en enhetscirkel för att förklara dessa symmetrier. Vi börjar med att markera den punkt på enhetscirkeln som ges om vi speglar triangeln i  yyy -axeln. På grund av att trianglarna är varandras spegling är det likformiga, vilket leder till att båda har vinkeln vvv i hörnet i origo.

Enhetscirkeln

Likformigheten ger även punktens yyy -värdet inte ändras, alltså ”höjden” på  QQQ  är den samma. Men däremot ändras xxx -värdet, då det istället befinner sig i andra kvadraten, om än med samma avstånd till origo. Det kommer ge ett negativt xxx-värde i koordinatsystemet.

Enhetscirkeln

Likformigheten ger även att vinkeln  v=180∘−vv=180^{\circ}-vv=180∘−v  eftersom att det tillsamman bildar en rak vinkel.

Enhetscirkeln

Utifrån figuren kan vi nu konstaterat att  sin⁡(180∘−v)=sin⁡v\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin vsin(180∘−v)=sinv  och   cos⁡(180∘−v)=−cos⁡v\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos vcos(180∘−v)=−cosv.

Exempel 2

Använd enhetscirkeln och ange alla vinklar i intervallet 0∘≤v≤180∘0^{\circ}\le v\le180^{\circ}0∘≤v≤180∘  som är lösningar till ekvationen  sin⁡v=sin⁡120∘\sin v=\sin120^{\circ}sinv=sin120∘ .

Lösning

Vi kan lösa uppgiften grafiskt eller algebraiskt. Vi använder symmetrin i enhetscirkeln och ritar ut vinkeln 120∘120^{\circ}120∘ och drar ett horisontellt streck där denna vinkel befinner sig på enhetscirkeln.

Exempel 2 enhetscirkeln

Då ser vi att  yyy-värdet är detsamma där v=60∘v=60^{\circ}v=60∘.

Alternativt vet vi att sambandet sin⁡(180∘−v)=sin⁡v\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin vsin(180∘−v)=sinv gäller och får då att  sin⁡(180∘−120∘)=sin⁡60∘\sin\left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=\sin60^{\circ}sin(180∘−120∘)=sin60∘.

Så lösningarna på ekvationen är v=120∘v=120^{\circ}v=120∘ och v=60∘v=60^{\circ}v=60∘.

Exakta värden på enhetscirkeln

Det finns ett antal olika värden som går att härleda exakt på enhetscirkeln. Dessa värden kan också vara bra att ha i en tabell framför sig. Här nedanför hittar du exakta värden för vinklarna  0∘, 45∘, 90∘, 135∘, 180∘, 228∘, 270∘, 315∘ och 360∘0^{\circ},\text{ }45^{\circ},\text{ }90^{\circ},\text{ }135^{\circ},\text{ }180^{\circ},\text{ }228^{\circ},\text{ }270^{\circ},\text{ }315^{\circ}\text{ och }360^{\circ}0∘, 45∘, 90∘, 135∘, 180∘, 228∘, 270∘, 315∘ och 360∘. 

Exakta värden på enhetscirkeln

Det kan vara bra att studerar dessa värden och hitta hur du kan bestämma dem med hjälp av trianglar som kan ritar in i enhetscirkeln. Däremot är det inte lika viktigt att komma ihåg dem i huvudet. Vid provskrivning och vid nationella prov så finns dessa i tabellform i formelbladet.

Tabell över exakta trigonometriska värden

Grader Radianer Sinus Cosinus Tangens
   0°0\text{°}0°    000   000    111    000 
  30°30\text{°}30°    π6\frac{\pi}{6}π6    12\frac{1}{2}12     32\frac{\sqrt{3}}{2}√32     33\frac{\sqrt{3}}{3}√33  
  45°45\text{°}45°    π4\frac{\pi}{4}π4     12\frac{1}{\sqrt{2}}1√2     12\frac{1}{\sqrt{2}}1√2    111  
  60°60\text{°}60°    π3\frac{\pi}{3}π3     32\frac{\sqrt{3}}{2}√32    12\frac{1}{2}12     3\sqrt{3}√3  
  90°90\text{°}90°    π2\frac{\pi}{2}π2    111   000   Ej defEj\text{ }defEj deƒ   
  120°120\text{°}120°    2π3\frac{2\pi}{3}2π3  

 32\frac{\sqrt{3}}{2}√32   

  −12-\frac{1}{2}−12   

 −3-\sqrt{3}−√3  

  135°135\text{°}135°    3π4\frac{3\pi}{4}3π4     22\frac{\sqrt{2}}{2}√22     −22-\frac{\sqrt{2}}{2}−√22    −1-1−1  
  150°150\text{°}150°    5π6\frac{5\pi}{6}5π6    12\frac{1}{2}12      −32-\frac{\sqrt{3}}{2}−√32    −33-\frac{\sqrt{3}}{3}−√33   
 180°180\text{°}180°   π\piπ   000   −1-1−1   000 
 225°225\text{°}225°   5π4\frac{5\pi}{4}5π4    −12-\frac{1}{\sqrt{2}}−1√2    −12-\frac{1}{\sqrt{2}}−1√2    111 
 270°270\text{°}270°   3π2\frac{3\pi}{2}3π2    −1-1−1   000   Ej defEj\text{ }defEj deƒ  
 315°315\text{°}315°   7π4\frac{7\pi}{4}7π4    −12-\frac{1}{\sqrt{2}}−1√2    12\frac{1}{\sqrt{2}}1√2    −1-1−1 
 360°360\text{°}360°   2π2\pi2π   000    111   000 

Enhetscirkeln och trigonometriska funktioner

I matematik 3b och 3c jobbar du inte med trigonometriska funktioner. Det lär du dig i matematik 4 och i den kursen används enhetscirkeln för att förstå och beskriva trigonometriska funktioner. Exempelvis är begreppen amplitud och periodicitet lättare att förstå när du kan enhetscirkeln. 

Nästa lektion: Trigonometriska ekvationer

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server