Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Trigonometriska ettan
Innehåll
Trigonometriska ettan är ett viktigt samband som följer av Pythagoras sats tillämpad på enhetscirkeln. Trigonometriska ettan är mycket användbar vid omskrivningar av trigonometriska uttryck och vid ekvationslösning.
$\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1 Trigonometriska ettan
Pythagoras sats och trigonometriska ettan
För att härleda trigonometriska ettan används Pythagoras sats och enhetscirkeln.
Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel med kateterna $a$ och $b$ samt hypotenusan $c$ gäller följande samband: $a^2+b^2=c^2$a2+b2=c2
I enhetscirkeln kan vi rita en sådan rätvinklig triangel.
Då gäller att kateterna har längden $\cos v$cosv respektive $\sin v$sinv, och hypotenusan har längden $1$1. Utifrån Pythagoras sats kan vi nu skriva
$\left(\sin v\right)^2+\left(\cos v\right)^2=1^2$(sinv)2+(cosv)2=12
$\text{⇒}$⇒ $\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1
Detta är trigonometriska ettan! Med hjälp av symmetri kan vi visa att sambandet gäller för alla vinklar.
Omskrivningar med trigonometriska ettan
Utifrån sambandet $\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1 gäller att
$\sin^2v=1-\cos^2v$sin2v=1−cos2v
$\cos^2v=1-\sin^2v$cos2v=1−sin2v
Vi kan också (precis som med Pythagoras sats) skriva om trigonometriska ettan på följande vis:
$\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1
$\sin v=\sqrt{1-\cos^2v}$sinv=√1−cos2v
$\cos v=\sqrt{1-\sin^2v}$cosv=√1−sin2v
Förenkla $\frac{1-\cos^2v}{\sin v\cos v}$1−cos2vsinvcosv Vi använder trigonometriska ettan och förenklar: $\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1 $\text{⇒}$⇒ $1-\cos^2v=\sin^2v$1−cos2v=sin2v $\frac{1-\cos^2v}{\sin v\cos v}=\frac{\sin^2v}{\sin v\cos v}=$1−cos2vsinvcosv =sin2vsinvcosv = $\frac{\sin v\cdot\sin v}{\sin v\cdot\cos v}=$sinv·sinvsinv·cosv = $\frac{\sin v}{\cos v}=$sinvcosv = $\tan v$tanv Exempel 1
Lösning
Bestäm $\sin v$sinv om $\cos v=$cosv= $\frac{\sqrt{5}}{3}$√53 Vi använder trigonometriska ettan och skriver om $\sin v$: $\sin v=\sqrt{1-\cos^2v}=$sinv=√1−cos2v=$\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2}=$√1−(√53 )2=$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=$√1−59 =$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$√49 =23 Exempel 2
Lösning
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
Beräkna exakt $2\cos^2x+2\sin^2x$2cos2x+2sin2x .
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...2. Premium
Bestäm det exakta värdet av $\sin v+\cos v$sinv+cosv om $\sin v=$sinv=$\frac{2}{5}$25 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...3. Premium
Beräkna exakt $\left(1-\sin^2v\right)\left(1+\tan^2v\right)$(1−sin2v)(1+tan2v).
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Beräkna exakt $\cos^2v\text{ }\tan^2v+\cos^2v$cos2v tan2v+cos2v.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...5. Premium
Bestäm $\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$sin2v1−sin2v om $\tan v=3$tanv=3.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...6. Premium
Visa att $\frac{1-\cos^2x}{\sin x\text{ }\cos x}=$1−cos2xsinx cosx = $\tan x$tanx för alla $x$x där uttrycken är definierade.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...7. Premium
Beräkna exakt $\left(\sin v+\cos v\right)^2+\left(\sin v-\cos v\right)^2$(sinv+cosv)2+(sinv−cosv)2.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...c-uppgifter (5)
-
8. Premium
Visa att $\sin^4v-\cos^4v=\sin^2v-\cos^2v$sin4v−cos4v=sin2v−cos2v.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...9. Premium
Förenkla $\frac{1}{1-\cos v}+\frac{1}{1+\cos v}$11−cosv +11+cosv
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...10. Premium
Visa att $\frac{\sin v}{1+\cos v}+\frac{1}{\tan v}=\frac{1}{\sin v}$sinv1+cosv +1tanv =1sinv .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...11. Premium
Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
$\cos x$cosx $\left(\frac{\sin^2x}{\cos x}-\frac{\tan x}{\sin x}\right)$(sin2xcosx −tanxsinx )
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...12. Premium
Visa att $\frac{\cos^3v}{\sin v}+$cos3vsinv + $\sin v\text{ }\cos v=$sinv cosv= $\frac{1}{\tan v}$1tanv
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktioner trigonometriska ettanRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Ronia Gimle Hjelte
Hej! På uppgift 12 förstår jag inte hur cos^3v+sinv*cosv*sinv blir cosv*(cos^2v+sin^2v)
Eddler
Hej!
$\cos^3 v + \sin v \cdot \cos v \cdot \sin v = \cos^3 v + \sin^2 v \cdot \cos v$
Sedan bryter man ut $\cos v$:
$= \cos v \cdot(\cos^2 v + \sin^2 v) = \cos v \cdot 1 = \cos v$
Det sista steget använder Pythagoras trigonometriska identitet $\cos^2 v + \sin^2 v = 1$.
Anna Olsson
Hej, bu ber jag om hjälp igen. Kan ni utveckla förklaringen i uppgift 7. Jag förstår inte riktigt hur ni fick fram till detta jag kanske saknar en regel eller lag ni använt?
Anna Olsson
Hej, kan du utveckla steg för steg hur du förenklat exempel 1?
Sara Petrén Olauson
Hej! Jag lagt till ytterligare förklarande steg i förenklingen. Hoppas att det är tydligare nu!
David Höglund
Hej! På uppgiften $1/(1−\cos(v))+1(/1+\cos(v))$ har jag slagit knut på mig själv vid sista steget. Så vi har fått fram att det går att förenkla till $2/(1-\cos^2v) --> 2/(\sin^2(v)+\cos^2(v)-\cos^2(v))$.
Är det tillåtet att subtrahera i nämnaren och varför? Testade även med $2/(4-2)$ men blir konstigt. Vilken räkneregel säger att en får göra så?
Tacksam för svar
//David
Agnes-Cecilia
Hej,
jag förstår inte tredje uppgiften där roten ur 1-(4/25) är samma som roten ur 21/25 ...?
Tack för svar!
Sunshineklein
Hej,
Jag förstår inte hur du "utnyttjar" trigonometriska ettan i nämnaren. Kan du förklara det närmare även det?
randsara
hur ska man beräkna exakta värde för tan 400grader ?
randsara
jag hade skrivit fel siffran till dig det var tan 600 grader men jag jag ska försöka och göra det på det sättet som du har skrivit här
tack för hjälpen!
nti_ma4
Hej!
Hur gör man med kvadranter?
Uppgift 1006 i Exponent 4:
1006. I vilken kvadrant ligger:
a. (cos 92, sin 92)
b. (cos (-43), sin (-43))
c. (cos 560, sin 560)
Tacksam för svar.
nti_ma4
Tack så mycket
nti_ma4
Hej!
Jag har en uppgift som jag inte förstår. Uppgift 1002. c. i Exponent 4.
"Bestäm med hjälp av figuren tan (90 - v)." Alltså 90 grader. Figuren är en cirkel med P = (0,309, 0,951).
Sin v är därför 0,951 och cos v är 0,309. För att ta reda på tan v = sin v /cos v. Men det stämmer inte med facit. Får det till ca 3,077 och det ska vara 0,325.
Fattar inte 🙁 tacksam för hjälp!
nti_ma4
Tack!
nti_ma4
Hej!
Skulle du kunna förklara varför det blir omvänt i divisionen? Alltså, varför det blir 0,951/ 0,309 och inte tvärtom?
Viktor Johnsson
Hej!
Är tan(90-v)=sin(90-v)/cos(90-v) rätt i alla tillfällen?
Alltså tan(90-v)=cos v/sin v ?
nti_ma4
Hej. Jag förstår inte 4 ovan. Skulle man kunna få se en mer utförlig förlängning av deras konjugat. Steg för steg s a s. Jag förstår inte hur nämnare 1+cos(v) i första ledet blir 1-cos^2(v) i andra ledet.
nti_ma4
storartat! Nu fattar t o m jag 🙂
itgmatte
När man har förlängt "bråken med sina konjugat" i uppgift 4 så borde väll den högra nämnaren vara:
'1 - cos^2'
och inte
'1 + cos^2'
eftersom de borde bli gemensamma nämnare.
nti_ma4
hur räknar jag ut detta: För en vinkel i kvadraten gäller att sin v=4/5. bestäm cos v! Blir så rörigt när det innehåller bråktal!
Behöver även hjälp med: bestäm tan(90-v) om sin v=0.95 cosv=0.30
Vad står v för och kan man byta ut det ?
Tacksam för svar!
linnearonsten
Hej, har försökt starta den här videon i några dagar men fungerar inte. De andra fungerar så kanske är det ngt fel? Mvh Linnéa
oscar.bergman
Om jag bara visste om att ni fanns under alla mina mattekurser, kanske hade jag fått högre än G då....
Endast Premium-användare kan kommentera.