Sin, cos och tan

Med hjälp av trigonometri kan vi beräkna triangelns okända vinklar och längder. Sambanden mellan vinklar och sidor kan sammanfattas så här.

I kalkylatorn kan vi använda oss av sinus, cosinus och tangens för att beräkna en vinkel eller en sida i en rätvinklig triangel.

Låt alltid ett av fälten vara tomt och de två andra vara ifyllda. Använd endast positiva tal och ingen text. Vinkeln $v$v ska anges i grader och om hypotenusan anges så måste den vara större än närliggande/motstående katet.

Trigonometri är läran om sambanden mellan vinklarna och triangelns sidor. Till en början nöjer vi oss med att studera sambanden i rätvinkliga trianglar för att senare utvidga satserna till att möjliggöra beräkningar i samtliga trianglar.

Sambanden har en mängd olika användningsområden inom naturvetenskapen som exempelvis att kunna mäta avstånd mellan planeter och höjder på berg eller hus. Det har i lantmäteriet använts för att mäta avstånd och förstå hur byggnader och vägar ska konstrueras. När vi sedan utvidgar den geometriska trigonometrin till att omfatta även trigonometriska funktioner så ökar användningsområdena ännu mer. Då kan dessa matematiska begrepp även beskriva växelström, ljudvågor eller pendlingar.

Till att börja med vill vi skapa förståelse av begreppen sinus, cosinus och tangens. De är grundstenar inom trigonometrin. Vi behöver därför definiera dessa begrepp.

I figuren nedan finns en rätvinklig triangel. Sidorna i en rätvinklig triangel har fått bestämda namn utifrån hur de förhåller sig till triangelns vinklar.

Vi kanske känner igen namnen från Pythagoras sats, med tillägget att att katetrarna benämns som närliggande och motstående.

Hypotenusan är, som tidigare, den sida på triangeln som befinner sig mitt emot den räta vinkeln. Hypotenusan är alltid triangelns längsta sida.

Den närliggande kateten är, som anas på namnet, den katet som befinner sig nära vinkeln $v$v.

Den motstående kateten är, som också antyds i namnet, den katet som befinner sig mitt emot vinkeln $v$v.

Utifrån dessa begrepp ska vi nu definiera begreppen sinus, cosinus och tangens.

Vi kan med hjälp av detta samband bestämma antingen vinkeln $v$v , motstående katet eller hypotenusan utifrån att två av dem är kända.

Med hjälp av sinusinversen, som betecknas $\sin^{-1}$sin⁻¹ eller $\arcsin$arcsin, kan vi bestämma vinkeln $v$v, om vi känner till längden av motstående katet och hypotenusan, eftersom

Med hjälp av cosinusinversen, som betecknas $\cos^{-1}$cos⁻¹ eller $\arccos$arccos , kan vi bestämma vinkeln $v$v, om vi känner till längden av närliggande katet och hypotenusan, eftersom

Nu går vi igenom ett exempel på hur vi kan använda cosinus vid beräkningar.

Med hjälp av inversen av tangens, som betecknas $\tan^{-1}$tan⁻¹ eller $\arctan$arctan , kan vi bestämma vinkeln $v$v, om vi känner till längden av motstående och närliggande katet eftersom

För att få rätt värde på vinklarna vi beräknar behöver vi kontrollera att vår räknare är inställd på rätt sorts vinklar. I denna kurs vill vi att inställningen ska vara på grader, vilket oftast står på engelska på räknaren; degree. I senare kursen kommer vi även att använda oss av radianer som är ett annat mått på vinklar.

Trigonometrin har funnits med länge i vår matematiska historia. Redan i det forntida Egypten och Babylonien använde man satser om kvoter mellan sidorna i likformiga trianglar. Dessa satser la grunden till vår moderna trigonometri, med undantaget att vinklarna saknades.

Runt $300$300 f. Kr använde Euklides ett geometriskt språk för att formulera satser som i princip är samma som cosinussatsen. På $500$500 och $600$600 -talet gjorde de indiska matematikerna Aryabhata och Bhaskara tabeller och formler med både sinus och cosinus värden för olika vinklar. Följande århundrade var det många olika matematiker runt om i världen som var med och utvecklade trigonometrin till vad den är idag.

Att trigonometrin varit en del av matematiken så länge beror antagligen på att den har haft praktiska användningsområden sedan forntiden. Vem är inte intresserad av att kunna beräkna olika sträckor och vinklar för att kunna navigera sig på de öppna haven och stora vidderna?

• Exempel på användningsområden för Trigonometri.
• Beräkna $\sin55°$sin55°
• Beräkna $\sin^{-1}(0,819)$sin⁻¹(0,819).
• Lös ekvationen $\sin x=0,62$sinx=0,62.
• Ta reda på längden $x$ i en rätvinklig triangel där vinkeln är $60°$ och den närliggande kateten är $10$ m.
• Lösa ekvationen $\tan30°=$tan30°=$\frac{x}{120}$x120 .