Vinkelmåttet radianer

Vinkelmåttet radianer är precis som grader en enhet för vinklar. En anledning till att man använder radianer istället för grader är att det i vissa fall blir enklare att lösa ekvationer och beräkna derivator och primitiva funktioner av de trigonometriska funktionerna.

Själva vinkelmåttet $1$1 radian är den vinkel som ger att cirkelbågen som uppstår mellan två radier och radien själv är lika långa.

Det ger att en cirkelbåge som till exempel är tre gånger så lång som radien motsvarar vinkel $3$3 radianer

och är cirkelbågen sex gånger så lång som radien är vinkel $6$6 rad.

Vi ser att $6$6 rad nästan motsvarar ett helt varv. Det fattas ungefär en tredjedels radie. Cirkelns omkrets är alltså ca $6,3$6,3 radier lång, vilket vi lärde oss redan i mellanstadiet. Mer exakt $2\pi=2\cdot3,14159..\approx6,3$2π=2·3,14159..≈6,3  l.e

Det spelar alltså ingen roll hur långa radien är. Vinkeln kommer ändå alltid varar $4$4 rad om den är fyra gånger så lång som radien.

Låt oss ta några exempel där vi går från grader till radianer och vice versa. Viktigt att känna till när du jobbar med dessa omvandlingar är att $1˚ = $$\frac{\pi}{180}$π180  rad.

Du kan med fördel ange den exakta vinkeln i förenklad bråkform istället för ett närmevärde när du anger en vinkel. Men om vinkeln vid en tillämpning motsvarar en tid eller längd kan du med fördel istället ange närmevärdet.

I kommande lektioner kommer du kunna träna på hur de trigonometriska funktionerna ser ut i koordinatsystemet och du får då träna på att rita dem och göra beräknar på både vinklar uttryckt i grader och radianer.

Eftersom att vi beräknar cirkelns omkrets med $2\pi\cdot r$2π·r kommer vinkeln som motsvarar ett helt varv alltid vara $2\pi$2π radianer. Utifrån det kan vi konstatera följande samband mellan en vinkel mätt i grader och radianer.

För att lättare kunna uppskatta om omvandlingen är rimlig är det bra att känna till att $1$1 rad $=\frac{180^{\circ}}{\pi}$=180^∘π $\approx57,3^{\circ}$≈57,3^∘  och  $1^{\circ}\approx$1^∘≈  $\frac{\pi}{180}\approx$π180 ≈$0,02$0,02 radianer.

I formel bladet vid nationella proven får du tillgång till denna tabellen. 

I lektionen Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkeln tittar vi närmre på sambanden.

Står det bara $\sin3$sin3  är det underförstått $\sin3$sin3 radianer. Man utelämnar alltså ofta enheten rad. Om man istället vill ange vinkeln i grader skriver man  $\sin3^{\circ}$sin3^∘.

Nu kanske du frågar dig varför du egentligen skall använda radianer istället för grader? Vad är egentligen meningen med det?

Det finns lite olika fördelar med detta. Till exempel kan vinkelmåttet radianer i vissa fall ge en enklare huvudräkning vid ekvationslösning, derivering och bestämning av primitiv funktion till trigonometriska funktioner. Så för att underlätta din beräkning när du jobbar med trigonometriska funktioner så använd gärna radianer om du får välja.

En annan sak att hålla utkik efter är om $\pi$ används i ett funktionsuttryck. Då används oftast radianer.

Vi titta nu på några exempel på ekvationer med vinkelmåttet radianer, men sammanfattar först alla lösningar till grundekvationerna för sinus och cosinus.

De allra flesta räknare och digitala hjälpmedel kan göra beräkningar utifrån både vinkelmåttet radianer och grader. Men det är viktigt att du kontrollerar vilket vinkelmått som ditt digitala hjälpmedel är inställt på och hur du kan ändra det eftersom att det kommer att ge helt olika värden.

Man kan alltid använda båda vinkelmåtten genom att omvandla vinklarna, men du måste veta utifrån vilket vinkelmått tex en modell är utformad. Vi tittar närmre på detta i lektionen Trigonometriska funktioner i GeoGebra.

• Exempel på vinklarna $ 1$ rad, $ a $ rad och $ 2 \pi $ rad i en cirkel.
• Bestämning av $180°$, $90°$ och $1°$ i radianer.
• Bestämning av $2 \pi$ rad, $\pi $ rad  och $1$ rad i grader.
• Lös ekvationen $ \sin x=0,9 $ och svara i radianer.
• Lös ekvationen $ \cos x = 0,9$ och svara i radianer.