...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Trigonometri och trigonometriska funktioner

Grafen till sinus cosinus och tangens

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

De trigonometriska funktionerna är funktioner vars oberoende variabeln är en vinkel. Vi kommer i denna kurs bekanta oss närmre med grafen till sinus, cosinus och tangens. Det vill säga funktionerna $y=\sin x$y=sinx,  $y=\cos x$y=cosx och $y=\tan x$y=tanx.

Grafen till sinus, cosinus och tangens

Funktionerna till $y=\sin x$y=sinx och $y=\cos x$y=cosx  är ”vågformade” och periodiska. Det beror på att samma funktionsvärde återkommer om och om igen med ett visst intervall. 

Grafen till sinus

Grafen till cosinus

Grafen till tangens har ett karaktäristiskt utseende med lodräta asymptoter med intervallen $\pm180^{\circ}$±180 med start i $x=90^{\circ}$x=90 eftersom att $\tan x=$tanx=$\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx  och $\cos90^{\circ}=0$cos90=0 vilket ger nolldivision för  $x=90^{\circ}\pm180^{\circ}$x=90±180 och $\tan90^{\circ}$tan90 därmed inte är definierad.

Grafen till tangeln

Periodiska funktioner

Många fenomen i vår värld upprepar sig regelbundet, eller med ett annat ord, periodiskt. Ett exempel du kanske stött på är tidvatten (ebb och flod). Vattnets nivå höjs och sänks under ett dygn och upprepar sedan sin förändring dygn efter dygn.

Troligtvis är det även så att du använder dig av dessa periodiska fenomen dagligen. Många av de tekniska vardagsföremål vi använder idag sänder eller tar emot olika elektromagnetiska vågor. Till exempel används olika radiovågor för att din mobil ska fungera. Även andra typer av vågrörelser som ljud och vattenvågor tillhör vardagen. Inom fysiken är pendel (tex gungor), fjädrar och så kallade centralrörelser vanliga periodiska fenomen att studera och göra beräkningar utifrån.

En funktion $f\left(x\right)$ƒ (x) är periodisk med perioden $P$P om den uppfyller ekvationen  $f\left(x\right)=f\left(x+P\right)$ƒ (x)=ƒ (x+P) för alla $x$x.

För att beskriva dessa fenomen med matematiska modeller kan vi ange dem som trigonometrisk samband. Och i denna kurs är det alltså funktionerna $y=\sin x$y=sinx,  $y=\cos x$y=cosx och $y=\tan x$y=tanx som vi kommer fokusera på.

Sambandet mellan enhetscirken och sinuskurvan

Vi visar nu sambandet mellan grafen till $y=\sin x$y=sinx och enhetscirkeln. Vi läser först av vinkeln och $y$y-koordinaten i enhetscirkeln till ett antal rödmarkerade punkter.

Enhetscirkeln och sinusvärden

Därefter ritar vi grafen till funktionen $y=\sin x$y=sinx genom att plotta ut de motsvarande punkterna i koordinatsystemet.

Enhetscirkeln och sinus

$x$x-koordinaten i koordinatsystemet motsvarar vinkeln i enhetscirkeln och $y$y-koordinaten motsvarar $y$y-värdet för punkterna i koordinatsystemet. Sammanbinder vi sedan dessa så får vi grafen till sinusfunktionen.

Sinusfunktionen

I enhetscirkeln ser vi hur flera olika vinklar ger samma $y$y-värde, varv efter varv, och det är på grund av detta som de trigonometriska kurvorna får sina karaktäristiska periodiska utseenden.

Till exempel är $\sin30^{\circ},\text{ }\sin150^{\circ},\text{ }\sin390^{\circ}$sin30, sin150, sin390 och  $\sin510^{\circ}$sin510  alla lika med $0,5$0,5, vilket då motsvarar punkter med samma $y$y-värde för olika $x$x-värden.

Sambandet mellan enhetscirken och cosinuskurvan

Nu gör vi på liknande vis för cosinuskurvan, men läser istället av värdena för $\cos x$cosx i enhetscirkeln, det vill säga värdena på $x$x-axeln i enhetscirkeln för de olika vinklarna. I värdetabellen motsvarar fortfarande vinklarna $x$x-värdet. Men nu är det istället cosinusvärdet i enhetscirkeln som motsvarar $y$y-värdet i tabellen.

Enhetscirkeln och värdetabell

Plottar vi ut och sammanbinder vi punkterna från värdetabellen i ett koordinatsystem får vi grafen till funktionen $y=\cos x$y=cosx.

Kurvan till cosinus

Även denna är periodisk och upprepas i sin form i oändlighet år höger och vänster.

Sambandet mellan enhetscirken och tangenskurvan

Slutligen titta vi på kurvan till tangens. Vi utgår från att $\tan x$tanx kan bestämmas antingen som kvoter $\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx  utifrån tabellerna ovan eller genom att med räknare beräkna de olika vinklarnas tillhörande $y$y-värdena för tangens. Plottar vi sedan ut motsvarande punkter får vi följande.

Grafen till tangens med asymptoter

Grafen har lodräta asymptoter för de vinklar där $\cos x=0$cosx=0 eftersom att vi där får nolldivision. Grafen närmar sig positiva oändligheten när vinkeln $x$x närmar sig $90^{\circ}$90 från höger och åt negativa oändligheten när den närmar sig $90^{\circ}$90 från vänster.

Asymptoterna har här markerats med röda streck och för $y=\tan x$y=tanx gäller till exempel att $ \lim\limits_{x \to 90°} \tan x= \pm \infty$

Detta upprepar sig med ett intervall på $180^{\circ}$180.

Exempel i videon

  • Användning av enhetscirkeln för att rita ut $ f(x)=\sin x $, $ f(x)=\cos x $ och $ f(x)=\tan x $

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilket funktionsuttryck motsvarar grafen i bilden?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: cosinus Trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilket funktionsuttryck motsvarar grafen i bilden?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilket funktionsuttryck motsvarar grafen i bilden?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilken av punktera $A,\text{ }B,\text{ }C$A, B, C eller $D$D i enhetscirkeln motsvarar punkten $P$P på kurvan till $y=\sin x$y=sinx?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilken av punktera $A,\text{ }B,\text{ }C,\text{ }D,\text{ }E$A, B, C, D, E  eller $F$F på kurvan till $y=\sin x$y=sinx nedan motsvarar punkten $P$P i enhetscirkeln?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Enhetscirkeln
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ange det exakta $y$y-värdet för punkten $P$P.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ange det exakta $y$y-värdet för punkten $P$P.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skissa av koordinatsystemet och plotta ut de punkter som motsvarar vinkeln och $x$x-värdet för de fyra röda prickarna som är markerade i enhetscirkeln i koordinatsystemet. Sammanbind dem med en mjuk linje.

    Vilken funktion har du skissat?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skissa av koordinatsystemet och plotta ut de punkter som motsvarar vinkeln och $y$y-värdet för de fyra röda prickarna som är markerade i enhetscirkeln i koordinatsystemet. Sammanbind dem med en mjuk linje.

    Vilken funktion har du skissat?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se