Grafen till sinus cosinus och tangens

Funktionerna till $y=\sin x$y=sinx och $y=\cos x$y=cosx  är ”vågformade” och periodiska. Det beror på att samma funktionsvärde återkommer om och om igen med ett visst intervall. 

Grafen till tangens har ett karaktäristiskt utseende med lodräta asymptoter med intervallen $\pm180^{\circ}$±180^∘ med start i $x=90^{\circ}$x=90^∘ eftersom att $\tan x=$tanx=$\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx  och $\cos90^{\circ}=0$cos90^∘=0 vilket ger nolldivision för  $x=90^{\circ}\pm180^{\circ}$x=90^∘±180^∘ och $\tan90^{\circ}$tan90^∘ därmed inte är definierad.

Många fenomen i vår värld upprepar sig regelbundet, eller med ett annat ord, periodiskt. Ett exempel du kanske stött på är tidvatten (ebb och flod). Vattnets nivå höjs och sänks under ett dygn och upprepar sedan sin förändring dygn efter dygn.

Troligtvis är det även så att du använder dig av dessa periodiska fenomen dagligen. Många av de tekniska vardagsföremål vi använder idag sänder eller tar emot olika elektromagnetiska vågor. Till exempel används olika radiovågor för att din mobil ska fungera. Även andra typer av vågrörelser som ljud och vattenvågor tillhör vardagen. Inom fysiken är pendel (tex gungor), fjädrar och så kallade centralrörelser vanliga periodiska fenomen att studera och göra beräkningar utifrån.

För att beskriva dessa fenomen med matematiska modeller kan vi ange dem som trigonometrisk samband. Och i denna kurs är det alltså funktionerna $y=\sin x$y=sinx,  $y=\cos x$y=cosx och $y=\tan x$y=tanx som vi kommer fokusera på.

Vi visar nu sambandet mellan grafen till $y=\sin x$y=sinx och enhetscirkeln. Vi läser först av vinkeln och $y$y-koordinaten i enhetscirkeln till ett antal rödmarkerade punkter.

Därefter ritar vi grafen till funktionen $y=\sin x$y=sinx genom att plotta ut de motsvarande punkterna i koordinatsystemet.

$x$x-koordinaten i koordinatsystemet motsvarar vinkeln i enhetscirkeln och $y$y-koordinaten motsvarar $y$y-värdet för punkterna i koordinatsystemet. Sammanbinder vi sedan dessa så får vi grafen till sinusfunktionen.

I enhetscirkeln ser vi hur flera olika vinklar ger samma $y$y-värde, varv efter varv, och det är på grund av detta som de trigonometriska kurvorna får sina karaktäristiska periodiska utseenden.

Till exempel är $\sin30^{\circ},\text{ }\sin150^{\circ},\text{ }\sin390^{\circ}$sin30^∘, sin150^∘, sin390^∘ och  $\sin510^{\circ}$sin510^∘  alla lika med $0,5$0,5, vilket då motsvarar punkter med samma $y$y-värde för olika $x$x-värden.

Nu gör vi på liknande vis för cosinuskurvan, men läser istället av värdena för $\cos x$cosx i enhetscirkeln, det vill säga värdena på $x$x-axeln i enhetscirkeln för de olika vinklarna. I värdetabellen motsvarar fortfarande vinklarna $x$x-värdet. Men nu är det istället cosinusvärdet i enhetscirkeln som motsvarar $y$y-värdet i tabellen.

Plottar vi ut och sammanbinder vi punkterna från värdetabellen i ett koordinatsystem får vi grafen till funktionen $y=\cos x$y=cosx.

Även denna är periodisk och upprepas i sin form i oändlighet år höger och vänster.

Slutligen titta vi på kurvan till tangens. Vi utgår från att $\tan x$tanx kan bestämmas antingen som kvoter $\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx  utifrån tabellerna ovan eller genom att med räknare beräkna de olika vinklarnas tillhörande $y$y-värdena för tangens. Plottar vi sedan ut motsvarande punkter får vi följande.

Grafen har lodräta asymptoter för de vinklar där $\cos x=0$cosx=0 eftersom att vi där får nolldivision. Grafen närmar sig positiva oändligheten när vinkeln $x$x närmar sig $90^{\circ}$90^∘ från höger och åt negativa oändligheten när den närmar sig $90^{\circ}$90^∘ från vänster.

Asymptoterna har här markerats med röda streck och för $y=\tan x$y=tanx gäller till exempel att $ \lim\limits_{x \to 90°} \tan x= \pm \infty$

Detta upprepar sig med ett intervall på $180^{\circ}$180^∘.

• Användning av enhetscirkeln för att rita ut $ f(x)=\sin x $, $ f(x)=\cos x $ och $ f(x)=\tan x $