Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Asymptoter
En asymptot är en rät linje som grafen till en funktion närmar sig men aldrig sammanfaller med.
Vi delar upp asymptoter i tre typer, nämligen lodräta, horisontella och sneda asymptoter.
De tre typerna av asymptoter
- En lodrät asymptot beskrivs med ekvationen $x=a$x=a
- En horisontell asymptot beskrivs med ekvationen $y=m$y=m
- En sned asymptot beskrivs med ekvationen $y=kx+m$y=kx+m där $k\neq0$k≠0
Lodräta asymptoter
Lodräta asymptoter kan återfinnas i de $x$x-värden där funktionen inte är definierad. Det vanligaste fallet är när nämnaren i en kvor är noll. Division med noll är inte definierad. Därför är funktionen inte definierad för det $x$x-värden som gör nämnaren lika med noll.
Lodräta asymptoter
En funktion $f(x)$ƒ (x) har en lodrät asymptot i $x=a$x=a om nämnaren är noll i $x=a$x=a men täljaren inte är det och $a$a ingår i definitonsmängden.
Så hittar du en lodrät asymptot
- Bestäm $x$x-värden där funktionen inte är definierad.
- Undersök vad som händer med $f\left(x\right)$ƒ (x) när $x$x närmar sig dessa värden.
- Om $f\left(x\right)$ƒ (x) går mot $+\infty$+∞ eller $-\infty$−∞, har vi en lodrät asymptot.
Exempelvis gäller att funktionen $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{1}{x-2}$1x−2 inte är definierad då $x=2$x=2. Detta eftersom $x=2$x=2 ger $2-2=0$2−2=0 i nämnaren, vilket leder till division med noll.
I det här fallet finns en lodrät asymptot i $x=2$x=2.
När $x$x närmar sig $2$2 blir funktionsvärdena obegränsat stora i absolutbelopp. Grafen närmar sig därför den lodräta linjen $x=2$x=2, men når den aldrig.
Exempel 1
Ange eventuella lodräta asymptoter till $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{1}{2x-6}$12x−6
Lösning
Vi söker de $x$x-värden där nämnaren är noll och löser ekvationen.
$2x-6=0$2x−6=0 Addera båda led med $6$6
$2x=6$2x=6 Dividera båda led med $2$2
$x=3$x=3
Täljaren är $1\neq0$1≠0, så funktionen har en lodrät asymptot i $x=3$x=3.
Notera att ett $x$x-värde där funktionen inte är definierad behöver inte alltid ge en lodrät asymptot. För att avgöra om $x=a$x=a är en lodrät asymptot
undersöker vi vad som händer med $f\left(x\right)$ƒ (x) när $x$x närmar sig $a$a.
Exempelvis är funktionen $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{x^2-1}{x-1}$x2−1x−1 inte definierad vid $x=1$x=1 på grund av nolldivision. Men eftersom
$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}=$x2−1x−1 =(x+1)(x−1)x−1 =$x+1$x+1
finns ingen lodrät asymptot vid $x=1$x=1. Istället finns ett hål i grafen.
Alltså är ett odefinierat $x$x-värde är en möjlig plats för en lodrät asymptot, men det måste undersökas vad som händer med funktionsvärdena när $x$x närmar sig värdet.
Horisontella och sneda asymptoter
För att hitta horisontella och sneda asymptoter undersöker vi vad som händer med funktionen när $x$x går mot $\pm\infty$±∞.
Vi använder att absolutbelopp $|x|$|x| kan tolkas som ett avstånd och alltid ger ett positivt värde, till exempel $|-3|=3$|−3|=3. När vi skriver ”stora $|x|$|x|” menar vi att $x$x går mot$\pm\infty$±∞. Metoden bygger på begreppet dominerande term, det vill säga den term som för stora $|x|$|x| styr funktionens värde.
Se lektionen Dominerande term för fördjupning.
Horisontella och sneda asymptoter
Vi identifierar den dominerande termen i täljaren respektive nämnaren och bildar kvoten av dessa för stora $|x|$|x|.
- Om graden i täljaren är lika med graden i nämnaren är asymptoten horisontell, $y=m$y=m
- Om graden i täljaren är ett steg högre än graden i nämnaren är asymptoten sned, $y=kx+m$y=kx+m
- Om graden i täljaren är lägre än graden i nämnaren går funktionen mot noll, horisontell asymptot $y=0$y=0
Exempel 2
Ange eventuella horisontella eller sneda asymptoter till $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{x^2-5}{x}$x2−5x
Lösning
Vi identifierar de dominerande termerna för stora $|x|$|x|. I täljaren dominerar $x^2$x2, i nämnaren dominerar $x$x. Vi bildar kvoten av de dominerande termerna.
$\frac{x^2}{x}=x$x2x =x
Graden i täljaren är ett steg högre än graden i nämnaren, vilket ger en sned asymptot. Funktionen har en sned asymptot $y=x$y=x.
Exempel 3
Ange alla asymptoter till $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{1}{x-2}+$1x−2 +$x$x.
Lösning
Lodrät asymptot: Vi söker de $x$x-värden där funktionen inte är definierad. Nämnaren i bråkdelen är noll när $x=2$x=2. Täljaren är $1\neq0$1≠0, så det finns en lodrät asymptot i $x=2$x=2.
Sned asymptot: För stora $|x|$|x| dominerar $x$x-termen, eftersom bråkdelen $\frac{1}{x-2}$1x−2 går mot noll. Det ger en sned asymptot $y=x$y=x.
Funktionen har en lodrät asymptot $x=2$x=2 och en sned asymptot $y=x$y=x.
Visste du detta?
Ordet ”asymptot” kommer från grekiskans asymptōtos, som betyder ”icke sammanfallande”. Det bildas av a- (inte), syn- (tillsammans) och ptōtos (fallande). Begreppet användes redan av den antike matematikern Apollonios av Perge på 200-talet f.Kr. i hans verk om kägelsnitt.
Exempel i videon
- Beräkna $|-2\text{ }343\text{ }655|$|−2 343 655|
- Lodrät och horisontell asymptot till $y=\frac{1}{x}$y=1x
- Ange asymptoterna till $y=\frac{1}{x-2}+x$y=1x−2 +x
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (9)
-
1. Premium
Ange den lodräta asymptoten till $y=$y=$\frac{1000}{x-5}$1000x−5
Svara på formen $x=a$x=a där $a$a är ett tal.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...2. Premium
Ange samtliga asymptoter till $y=\frac{1}{x+2}$y=1x+2 och gör en skiss av hur grafen till funktionen ser ut.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter DerivataRättar...3. Premium
Ange samtliga asymptoter till $y=\frac{1}{x}+2$y=1x +2 och gör en skiss av hur grafen till funktionen ser ut.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Vilken lodrät asymptot har $ y=\frac{x^2-5}{x} $?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Dominerande termFörkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: Asymptoter - Problemlösning Derivata Matematik 4Rättar...5. Premium
Vilken horisontell/sned asymptot har $ y=\frac{x^2-5}{x} $?
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Dominerande termFörkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: Asymptoter - Problemlösning Derivata Matematik 4Rättar...6. Premium
Bestäm asymptoterna till
$y=\frac{3}{x^2-16}+5$y=3x2−16 +5
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...7. Premium
Ange en egen funktion som har asymptoterna $y=3$y=3 och y-axeln ( $x=0$x=0)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...8. Premium
Hur många asymptoter har $y=\frac{2}{x}+\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}+6x$y=2x +3(x+1)(x−3) +6x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...9. Premium
Funktionen $y=\frac{3x^2+6x+1}{3x}$y=3x2+6x+13x har en asymptot utöver y-axeln, vilken?
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...c-uppgifter (3)
-
10. Premium
Ange den horisontella asymptoten till $y=$y=$\frac{3x+1}{x}$3x+1x
Svar:Ledtråd
Ledtråd 2
Ditt svar:Rätt svar:💡 Enheten saknas i ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter DerivataRättar... -
-
11. Premium
Ange alla asymptoter till $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{x^2+6}{2x}$x2+62x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...12. Premium
Lös olikheten $ | f(x) | > 6 $ då $ f(x) = \frac{x^2+5}{x} $
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Dominerande termFörkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: Asymptoter - Problemlösning Derivata Matematik 4Rättar...a-uppgifter (5)
-
13. Premium
Konstruera en funktion för vilken dessa villkor gäller att
- den har två lodräta asymptoter
- den har en sned asymptot med lutningen $3$3
- $f\left(1\right)=2$ƒ (1)=2
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...14. Premium
Vilka asymptoter har $y=\frac{8x+4}{x+1}-x$y=8x+4x+1 −x ?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...15. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $y=\frac{x}{ax-b}+cx$y=xax−b +cx bestäm a, b och c
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...16. Premium
För att hitta asymptoter till funktioner med högre gradtal i täljaren än i nämnaren fungerar det inte längre att förkorta alla termer med x.
Ex. $y=\frac{x^2}{x+3}$y=x2x+3 kommer inte ha $y=x$y=x som sin sneda asymptot bara för att vi kan skriva om $\frac{x^2}{x+3}$x2x+3 till $\frac{x}{1+\frac{3}{x}}$x1+3x och låta $x\Rightarrow\infty$x⇒∞ så att $\frac{3}{x}\Rightarrow0$3x ⇒0 eftersom att termen ligger i nämnaren påverkar den nämligen kvoten även då den blir liten.
- Undersök exempelfunktionens y -värden för några olika $x$x och se om du kan hitta den riktiga asymptoten.
- Ett ”trick” vid denna typ av funktioner är att kvadratkomplettera i täljaren med lämpligt tal. Första steget blir då $\frac{x^2}{x+3}=\frac{x^2-9+9}{x+3}$x2x+3 =x2−9+9x+3 , försök komma på resterande steg för att komma fram till samma svar som i din undersökning under punkt 1.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...17. Premium
Använd bland annan tricket från ovanstående uppgift för att kunna göra en skiss av $y=\frac{x^2-2}{x-2}+x$y=x2−2x−2 +x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Vad är ett rationellt uttryck?Liknande uppgifter: asymptoter Derivata Matematik 4Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!
-
Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Thorbjörn Engdahl
Annikas fråga För funktionen f(x) = (x^2 +2 ) / (x-1) hitta den sneda asymptoten har asymptoten y=x+1.
Hittas inte med metod redovisad på problemlösningssidan, om jag förstår rätt. Gör polynomdivision, alternativt undersök f(x)/x för stora x för lutningen k och sedan stora x för f(x) – kx för m-värde. y=kx+m.
Ali Ali
Jag älskar asymptoter så mycket! Eddler in my heart!
mvh, mattmästaren (2/3)
Tadeusz Adamaszek
Jag älskar dig Eddler. <3
Mvh Mattemästaren 1/3
Tayzo569
Mycket av det i videon kom jag fram till, men för jag skulle vara säker ville jag höra läraren personligen säga det. Nu känner jag mig säker på min kunskap iallafall 😀
Anika Hossain
För funktionen f(x) = (x^2 +2 ) / (x-1) hitta den sneda asymptoten
kan man dela upp den i termer först:
f(x) = x^2 / (x-1) + 2 / (x-1)
för att se vilken term som dominerar genom att ta stora absolutbelopp för x ? Typ x = 1000000
Då ser jag att termen f (x) = x^2 / (x-1) dominerar för det x -värdet när man prövat det i funktionen. Sedan förstår jag inte hur jag ska tänka.
Anika Hossain
Hur gör man om man ska lösa en uppgift med sned asymptot?
t.ex. f(x) = (x^2 +2 ) / (x-1)
jag tänker att det finns en lodrät asymptot i x = 1 (vilket är enklast att räkna ut oavsett vilken funktion man har)
Hur ska man göra sen för att få fram den sneda asymptoten för den funktionen ? Jag har riktat upp denna i min miniräknare men blir inte klok på den.
I mitt powerpoint häfte står det att man ska räkna ut k = lim x -> oändligheten f (x) / x
men hur räknar man ut det? Jag vet att k är lutningen för en rät linje.
När man säger att x går + – oändligheten då menar man väl ett väldigt stort positivt tal och ett väldigt litet negativt tal? T.ex. x = 1000000 x = -1000000
Kristin Köllner
Ange den lodräta asymptoten till y=1000x−5y=1000x−5 (Svara på formen x=a)
Fel
Rätt svar: x=5
Ditt svar: 5
Vad är felet? jag skrev ju fem
Christoffer Päätalo
Det skrivs i inforamtionstexten under videon att den sneda och horisontella asymptoten hittas genom att kolla om en term är dominerande då x går mot +- oändligheten, hur ser det då ut om det inte är någon term som är dominerande och vad innebär det, isåfall?
Joakim Meier
x-värdet inga konstigheter, men jag fattar inte HUR man får fram !!%¤¤ y- värdet, och min bok förklarar inte ens nått.
Endast Premium-användare kan kommentera.