00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Vad är absolutbelopp?

Absolutbeloppet är förenklat beskrivet avståndet mellan origo och en punkt.

Förklaring av absolutbelopp

Vi beskriver i denna kurs framför allt punktens position utifrån en dimension. På tallinje (en dimension) återfinns alla reella tal.

Definition av absolutbelopp

För reella tal definieras absolutbeloppet på följande vis.

x=x2={x om x0x om x<0 |x|=\sqrt{x^2}= \begin{cases} x \text{ om } x ≥ 0 \\ -x \text{ om } x < 0 \end{cases}

Definitionen innebär att absolutbeloppet alltid är positivt. Om exempelvis x=2x=-2x=2 så gäller alltså att 2=(2)=2\left|-2\right|=-\left(-2\right)=2|2|=(2)=2. Om x=2x=2x=2 så är även det absolutbeloppet positivt då vi från definitionen ser att 2=2\left|2\right|=2|2|=2.

Förkunskaper

För att förstå absolutbelopp är det viktigt att kunna roten ur, negativa tal och hur tallinjen fungerar. Begreppet ingår i kursen Ma2c. Absolutbelopp används inom programmering och är en viktig förkunskap i arbetet med komplexa tal och vektorer.

Det som är nytt i denna kurs är att vi ska försöka avgöra om funktionen är deriverbar eller ej. Och här gäller det att vara observant för funktionsuttryck som innehåller ett absolutbelopp. Men först repeterar vi vad det är för något.

Avståndet mellan ett tal och origo

Då avstånd alltid är är positiva, så gäller att absolutbeloppet för ett tal alltid är positivt. Exempelvis är 4=4\left|-4\right|=4|4|=4. För att förstå hur detta fungerar i en dimension kan vi markera några tal på en tallinje.

Absolutbelopp exempel

Avståndet här ovan mellan den röda punkten på talet 444 och 000 är 444 l.e. Vi kan skriva det med absolutbeloppet 4=4\left|4\right|=4|4|=4.

Avståndet mellan den blå punkten på talet 7-77 och 000 är 777 l.e. Vi kan skriva det med absolutbeloppet  7=7\left|-7\right|=7|7|=7.

Avståndet mellan två tal

Absolutbelopp kan även tolkas som avstånd mellan tal. Exempelvis xy\left|x-y\right||xy| avståndet mellan punkterna xxx och yyy. För att förstå det kan vi rita upp följande tallinje där vi har markerat talen 5-55 och 333.

Avstånd mellan två tal

Alltså definierar vi avståndet mellan två tal xxx och yyy på tallinjen som xy\left|x-y\right||xy|.

Exempel på beräkningar med absolutbelopp

Exempel 1

Beräkna 3\left|-3\right||3|

Lösning

 3=32=9=3|-3|=\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3|3|=32=9=3 

Exempel 2

Beräkna 103+410-\left|-3\right|+\left|-4\right|10|3|+|4| 

Lösning

Vi beräknar först absolutbeloppen och sedan addition och subtraktion.

 103+4=103+4=1110-\left|-3\right|+\left|-4\right|=10-3+4=1110|3|+|4|=103+4=11 

Absolutbelopp och ekvationer

När du löser ekvationer med absolutbelopp kan det vara viktigt att använda sig av att xy\left|x-y\right||xy| kan ses som avståndet mellan talen xxx och yyy på tallinjen. Nedan följer ett exempel på hur vi löser en sådan ekvation.

Exempel 3

Lös ekvationen  x4=5\left|x-4\right|=5|x4|=5 

Lösning

Vi kan tolka x4=5\left|x-4\right|=5|x4|=5 som att vi söker två punkter med avståndet 555 till punkten 4.4.4. Det finns två sådana punkter, nämligen 999  och 1-11.

Ekvationen har alltså lösningarna x1=1x_1=-1x1=1 och x2=9x_2=9x2=9.

Då vi kan tänka oss absolutbeloppet som ett avstånd till origo kan vi resonera oss fram till lösningar på olikheter.

Exempel 4

Lös ekvationen x+7<4|x+7|<4

Lösning

Vi söker värden på xx som ger att avståndet mellan x+7|x+7| och origo är mindre än 44.

Vi börjar med att titta på vilka värdet på xx som ger att x+7=4|x+7|=4.

När x=3x=-3 och x=11x=-11, eftersom att 3+7=4=4|-3+7|=|4|=4 och 11+7=4=4|-11+7|=|-4|=4.

Utifrån detta kan vi nu ange att om

11<x<3-11<x<-3 är x+7<4|x+7| < 4 eftersom att avståndet till origo då är mindre än fyra.

Om de känns svårt att se denna lösning är tipset att rita en tallinje eller sätta in olika värden på xxx för att bekräfta sin teori.

13+7=6=6>4|-13+7| =|-6|=6 > 4
12+7=5=5>4|-12+7| =|-5|=5 > 4
11+7=4=4|-11+7| =|-4|=4
10+7=3=3<4|-10+7| =|-3|=3< 4
9+7=2=2<4|-9+7| =|-2|=2< 4
8+7=1=1<4|-8+7| =|-1|=1< 4

4+7=3=3<4|-4+7| =|3|=3< 4
3+7=4=4|-3+7| =|4|=4
2+7=5=5>4|-2+7| =|5|=5>4
1+7=6=6>4|-1+7| =|6|=6>4

Vi ser här att 11<x<3-11<x<-3 är de tal som ger att x+7<4|x+7| < 4.

Absolutbelopp med olikhet

Det gällande intervallet för absolutbeloppet är i bilden är markerat med rött. Adderar vi sju till x=11x=-11x=11 hamnar resultatet vid intervallets undre gräns, som i bilden är markerat vid den vänstra gröna pilens spets.

För  x=3x=-3x=3 gäller att resultatet vid addition med sju hamnar i intervallets övre gräns. Därmed ger addition med sju resultat som hamnar i intervallet för alla  xxx -värden i intervallet 11<-11<11<  x<3x<-3x<3.

Deriverbara funktioner

I Ma3c studerar vi derivatan av funktioner vars funktionsuttryck innehåller absolutbelopp.

För att en funktion ska vara deriverbar för hela definitionsmängden, ska derivatan vara entydig för alla xxx -värden som tillhör. Detta kan man förenklat beskriva som att man bara kan dra en tangent för varje punkt på grafen.

För diskontinuerliga eller funktioner som byter riktning hastigt är detta inte möjligt för alla xxx -värden. De är därför inte heller deriverbara för alla  x.x.x. 

Grafen till  f(x)=xf\left(x\right)=\left|x\right|ƒ (x)=|x| 

Vi ser här grafen till  f(x)=xf\left(x\right)=xƒ (x)=x  och f(x)=xf\left(x\right)=\left|x\right|ƒ (x)=|x| 

graf till f(x)=IxI

Funktionen  f(x)=xf\left(x\right)=\left|x\right|ƒ (x)=|x| antar, i förhållande till  f(x)=xf\left(x\right)=xƒ (x)=x, de motsatta talens yyy-värden för xxx <0<0<0

Funktionen är mycket ”spetsig” i origo. Om v i närmar oss  x=0x=0x=0 från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i x=0x=0x=0, då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  x=0x=0x=0.

Exempel 5

Är funktionen f(x)=2x1f\left(x\right)=\left|2x-1\right|ƒ (x)=|2x1| deriverbar för alla  xxx ? 

Lösning

Vi ritar funktionen för att se om derivatan är entydig för alla definierade  xxx -värden.

Graf f(x)=I2x-1I

Funktionen är mycket ”spetsig” i  x=0,5x=0,5x=0,5 . Om v i närmar oss  x=0,5x=0,5x=0,5 från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i x=0,5x=0,5x=0,5, då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  x=0,5x=0,5x=0,5.

Exempel i videon

  • Beräkna |-2| och |2|
  • Beräkna | -3 | + | -2 |
  • Beräkna | 6 – (-2) | – | 5 |
  • Lös ekvationen 3 = | x – 8 |