Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Trigonometri
Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkeln
Innehåll
Här samlar vi i en tabell de viktigaste trigonometriska exakta värdena för cosinus, sinus och tangens. Du ser vinklarna på vinkelmåtten grader och radianer och vilket exakt värde de motsvarar.
I lektionen lär du dig även att använda dessa trigonometriska värden när du jobbar med uppgifter. Dessutom lär du dig hur du kan använda symmetri på enhetscirkeln för att härleda exakta trigonometriska värden.
Exakta trigonometriska funktionsvärden
I bilden nedan hittar du en tabell över de värden som finns listade i formelbladet till nationella prov.
Det är framförallt tabellen här ovan som du kommer att använda dig av vid provtillfällen så det är viktigt att du lär dig att använda den.
I Ma4 introduceras vinkelmåttet radianer längre fram i kapitlet om trigonometri. Det är definierat som den sträcka utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln. Ett helt varv i enhetscirkeln motsvarar $360$360 grader eller $2\pi$2π radianer, eftersom att enhetscirkeln har radien $1$1 och därmed har omkretsen $2\pi$2π. Med det följer att $1$1 radian $\approx57$≈57 grader.
Tabell över alla exakta trigonometriska värden.
Nedan listar vi fler trigonometriska värden som går att härleda utifrån redan befintliga exakta värden och symmetri på enhetscirkeln. Det är bra att du känner till att dessa värden finns.
Grader | Radianer | Sinus | Cosinus | Tangens |
$0\text{°}$0° | $0$0 | $0$0 | $1$1 | $0$0 |
$30\text{°}$30° | $\frac{\pi}{6}$π6 | $\frac{1}{2}$12 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$√33 |
$45\text{°}$45° | $\frac{\pi}{4}$π4 | $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 | $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 | $1$1 |
$60\text{°}$60° | $\frac{\pi}{3}$π3 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 | $\frac{1}{2}$12 | $\sqrt{3}$√3 |
$90\text{°}$90° | $\frac{\pi}{2}$π2 | $1$1 | $0$0 | $Ej\text{ }def$Ej deƒ |
$120\text{°}$120° | $\frac{2\pi}{3}$2π3 |
$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 |
$-\frac{1}{2}$−12 |
$-\sqrt{3}$−√3 |
$135\text{°}$135° | $\frac{3\pi}{4}$3π4 | $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$−√22 | $-1$−1 |
$150\text{°}$150° | $\frac{5\pi}{6}$5π6 | $\frac{1}{2}$12 | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$−√32 | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$−√33 |
$180\text{°}$180° | $\pi$π | $0$0 | $-1$−1 | $0$0 |
$225\text{°}$225° | $\frac{5\pi}{4}$5π4 | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$−1√2 | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$−1√2 | $1$1 |
$270\text{°}$270° | $\frac{3\pi}{2}$3π2 | $-1$−1 | $0$0 | $Ej\text{ }def$Ej deƒ |
$315\text{°}$315° | $\frac{7\pi}{4}$7π4 | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$−1√2 | $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 | $-1$−1 |
$360\text{°}$360° | $2\pi$2π | $0$0 | $1$1 | $0$0 |
Nedan härleder vi några av exakta värden i denna tabell.
Exakta värden för 0°, 90°, 180° och 270°
Med hjälp av enhetscirkeln kan vi härleda de exakta trigonometriska värdena för $0°$0°, $90°$90°, $180°$180° och $270°$270°. Vi använder här att på enhetscirkeln gäller att punkten vid cirkelns rand har $x$x koordinaten $\cos v$cosv och $y$y koordinaten $\sin v$sinv. För att ta fram värdet för tangens så används att $\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}$tanv=sinvcosv .
Exakta värden för 45°, 135°, 225° och 315°
Vi ritar ut en vinkel $v=45°$v=45° i enhetscirkeln. Då skapas en rätvinklig triangel (blåmarkerad i figuren nedan) där de två kateterna $a$a är lika långa. Vi använder även symmetrin på enhetscirkeln för att markera ut några vinklar till som vi återkommer till nedan.
Med hjälp av pythagoras sats kan vi nu ställa upp och lösa ekvationen
$a^2+a^2=1$a2+a2=1
$2a^2=1$2a2=1
$a^2=\frac{1}{2}$a2=12
$a=$a=$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$√12 =√1√2 =1√2
Nu har vi kateternas längd och med hjälp av de grundläggande trigonometriska sambanden kan vi lista de exakta värdena för $45°$45°.
$\sin45°=$sin45°=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 1 =1√2
$\cos45°=$cos45°= $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 1 =1√2
$\tan45°=$tan45°= $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=$1√2 1√2 =$1$1
Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för $135°$135°, $225°$225° och $315°$315°. Exempelvis har vinkeln $135°$135° samma x- och y-koordinat som $45°$45° men med skillnaden att x-koordinaten är negativ. Därför gäller att
Grader | Radianer | Sinus | Cosinus | Tangens |
$135\text{°}$135° | $\frac{3\pi}{4}$3π4 | $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$−√22 | $-1$−1 |
$225\text{°}$225° | $\frac{5\pi}{4}$5π4 | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$−1√2 | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$−1√2 | $1$1 |
$315\text{°}$315° | $\frac{7\pi}{4}$7π4 | $-\frac{1}{\sqrt{2}}$−1√2 | $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 | $-1$−1 |
Exakta värden för 30° och 60°
Vi kan även härleda de exakta värdena för $30°$30° och $60°$60° på ett liknande vis. Nedan visas detta och därefter kan vi även lista ett antal exakta värden till.
Vi markerar ut en liksidig triangel som innehåller två rätvinkliga trianglar. I den rätvinkliga triangeln kallar vi den motstående kateten $a$a och den närliggande kateten $b$b.
Då vi har en liksidig triangel får vi att
$1=2a$1=2a
$a=$a= $\frac{1}{2}$12
Då kan vi ta reda på $b$b genom pythagoras sats.
$\left(\frac{1}{2}\right)^2+b^2=1$(12 )2+b2=1
$\frac{1}{4}+b^2=1$14 +b2=1
$b^2=$b2= $\frac{3}{4}$34
$b=$b= $\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$√34 =√3√4 =√32
Då vi nu har de bägge kateterna $a$a och $b$b så kan vi ta fram de exakta värdena för $30°$30° och $60°$60°. Vi använder de grundläggande trigonometriska sambanden och får
$\sin30°=$sin30°= $\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$12 1 =12
$\cos30°=$cos30°= $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 1 =√32
$\tan30°=$tan30°= $\frac{1}{2}\text{/}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$12 /√32 =1√3
$\sin60°=$sin60°= $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 1 =√32
$\cos60°=$cos60°= $\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$12 1 =12
$\tan60°=$tan60°= $\frac{\sqrt{3}}{2}\text{/}\frac{1}{2}=$√32 /12 = $\sqrt{3}$√3
Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för $120°$120°, $150°$150°, $210°$210°, $240°$240°, $300°$300° och $330°$330° . Vi ritar ut dessa tillsammans med vinklarna $30°$30° och $60°$60°.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
Ange en vinkel där cosinusvärdet är lika med sinusvärdet.
Svara med enheten grader
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Exakta trigonometriska värdenRättar... -
-
2. Premium
Ange två olika vinklar som har samma cosinusvärde
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Exakta trigonometriska värdenRättar... -
-
3. Premium
Bestäm $\tan45^{\circ}+2\sin90^{\circ}$tan45∘+2sin90∘ exakt
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Exakta trigonometriska värdenRättar... -
-
4. Premium
Bestäm $\sin270°-3\cdot\cos180°$sin270°−3·cos180° exakt
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Exakta trigonometriska värdenRättar... -
-
5. Premium
Bestäm punkten $Q:s$Q:s koordinater.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln symmetri enhetscirkelnRättar... -
-
6. Premium
Lös ekvationen $\sin4x=\frac{\sqrt{3}}{2}$sin4x=√32 och använd exakta trigonometriska värden som svar.
Använd enheten grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationerRättar... -
c-uppgifter (3)
-
7. Premium
Bestäm $\sin390^{\circ}+\cos\left(-30^{\circ}\right)$sin390∘+cos(−30∘) exakt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Exakta trigonometriska värdenRättar... -
-
8. Premium
Använd enhetscirkeln och symmetrin på den för att motivera att sambandet $\sin v=\sin\left(180^{\circ}-v\right)$sinv=sin(180∘−v) gäller
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: symmetri enhetscirkeln trigonometriska sambandRättar... -
-
9. Premium
Använd enhetscirkeln och symmetrin på den för att motivera att $\cos v=\cos\left(-v\right)$cosv=cos(−v)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: symmetri enhetscirkeln trigonometriska sambandRättar... -
a-uppgifter (1)
-
10. Premium
Använd enhetscirkeln för att visa att $\sin45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$sin45°=1√2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Exakta trigonometriska värdet.Rättar... -
Yunus Noori
Det står fel i tabellen för exakta värden när ni skrivit exakta värdet för cos 135 grader = ruten ur 2 delad på 2. Ska det inte stå 1/ruten ur 2
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Yunus,
här gäller liknande din tidigare fråga.
$\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{\sqrt2 \cdot \sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=$
Så det är bara två olika sätt att skriva samma sak.
Yunus Noori
I tabellen som ni har skrivit alla exakta trigonometriska värden står det tan 30 grader = ruten ur 3 / 3, borde inte det stå 1/ruten ur 3
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Yunus,
eftersom att $\frac{\sqrt 3}{3}=\frac{1\cdot \sqrt 3}{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3}=\frac{1}{\sqrt 3}$ kan vi använda vilket som av värdena.
Iman Nagati
Tack!
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Varså god.
Meron amanuel
var hittar man en lista på de allra vanligaste värdena?
Dvs de som man ska minnas utantill
David Admin (Moderator)
Hej Meron,
i fromelbladet från det Nationellaproven i Ma3 kan du se vilka som är de vanligaste värdena. Det är vanligt att läraren låter en ha tillgång till dessa vid prov och därmed behöver du inte memorera något utantill.
Formelblad Ma3
Men stäm av med din lärare. Och kan du Enhetscirkeln kan du själv räka ut en hel del av värdena.
Lycka till!
Tina Westring
När behöver man som elev kunna standardvärden för trig.funktioner?
används det senare i tex. ”envariabelanalyskurser” ?
Simon Rybrand (Moderator)
Oftast har man tillgång till tabeller med dessa värden när man skriver prov på gymnasienivå. Vad det gäller högskolestudier så kan det vara bra att kunna använda enhetscirkeln för de allra vanligaste värdena.
anders vitale
Det är bra att det finns en tabell.
Anna Admin (Moderator)
Ja, eller hur.
Endast Premium-användare kan kommentera.