Tillämpning Trigonometriska modeller

Temperaturen  $y°C$y°C  i en stad under ett långvarigt högtryck visade sig följa funktionen $y=24-6\sin15t$y=24−6sin15t där $t$t är tiden i timmar efter $24.00$24.00 det första dygnet under högtrycket.

Vilken är den lägsta temperaturen under högtrycket?

Grafen nedan visar hur mycket effekt en solpanel gav under några molnfria dagar i juli.

Mätvärdena varierar periodiskt och kan anpassas till en sinuskurva. Ekvationen för sinuskurvan blir  $y=390\sin\left(0,26x-2,0\right)+200$y=390sin(0,26x−2,0)+200   där $x$x är tiden i timmar (h) från klockan $00.00$00.00 den $1$1 juni $2024$2024 och $y$y är effekten i watt (W).

a) Bestäm hur stor effekten var klockan $12.00$12.00 den $1$1 juni $2024$2024 .
Svara med minst värdesiffror.

Grafen nedan visar hur mycket effekt en solpanel gav under några molnfria dagar i juli.

Mätvärdena varierar periodiskt och kan anpassas till en sinuskurva. Ekvationen för sinuskurvan blir  $y=390\sin\left(0,26x-2,0\right)+200$y=390sin(0,26x−2,0)+200   där $x$x är tiden i timmar (h) från klockan $00.00$00.00 den $1$1 juni $2024$2024 och $y$y är effekten i watt (W).

b) Bestäm hur mycket effekten ökar mätt i W/h, klockan $9.00$9.00 den $1$1 juni $2024$2024 .

Svara med två värdesiffror.

Studentkommittén har anordnat ett ”$100$100-dagars disco”. Discot börjar kl. $20.00$20.00 och sista insläppet är kl $00.30$00.30. 

Enligt en förenklad modell fylls lokalen där discot är med hastigheten $y$y besökare/minut, där

 $y=\left(0,01x+2\right)\cdot\cos\left(\frac{\pi\cdot x}{120}-30\right)+3$y=(0,01x+2)·cos(π·x120 −30)+3 

och $x$x är tiden i minuter efter att lokalen öppnas kl $20.00$20.00. Modellen antas gälla mellan $20.00$20.00 och $00.30$00.30.

Beräkna antalet besökare på discot.

Tidvatten är ett fenomen som uppstår på grund av månens dragningskraft på havsvattnet. Under ett dygn uppstår det både ebb (lågvatten) och flod (högvatten). De största skillnaderna mellan ebb och flod på jorden finns vid Newfoundland på Kanadas ostkust.

Enligt en förenklad modell kan vattennivån under ett visst dygn vid Newfoundland beskrivas med funktionen

 $y=8,0+8,0\text{ }\cos0,52x$y=8,0+8,0 cos0,52x 

där $y$y är vattnets höjd i meter jämfört med lägsta vattennivån och $x$x är antalet timmar efter klockan 03.00

a) Bestäm höjdskillnaden mellan högsta och lägsta vattennivån enligt modellen ovan.
     Endast svar krävs.

b) Utgå från modellen ovan och bestäm med vilken hastighet vattnets höjd ändras då klockan är 13.00

Fredrik testar sitt blodtryck med en blodtrycksmätare. Han observerar att blodtryckets högsta värde är $129$129 mmHg och att dess lägsta värde är $83$83 mmHg. Fredrik vill ställa upp en funktion som beskriver blodtrycket och antar att trycket $y$y mmHg varierar enligt sambandet  $y=A\sin kt+B$y=Asinkt+B, där $t$t är tiden i sekunder. Fredrik konstaterar också att tiden mellan två hjärtslag är $1,2$1,2 sekunder, vilket motsvarar perioden för denna funktion.

Bestäm konstanterna $A$A, $B$B och  $k$k.

Molly och My har köpt en ny liten tom som är $600$600 m bred och $500$500 meter djup. Tvärs över tomten rinner en bäck.

Enligt en förenklad modell kan bäckens läge på tomten beskrivas med funktionen  $f(x)=-0,5x+100\cos0,01x+400$ƒ (x)=−0,5x+100cos0,01x+400

Molly och My vill bygga en liten friggebod på den halva av tomten som är störst. Ska de då bygga på den del av tomten som på bilden ligger ovanför eller nedanför bäcken?

En robot böjer plåtar till ett regnskydd. Formeln kan beskrivas med funktionen $f\left(x\right)=4\sin x+3\cos x$ƒ (x)=4sinx+3cosx.

Plåten ska kapas efter tre toppar på höjden $4$4 cm. Hur lång blir varje bit?

Lös uppgiften både grafiskt och algebraiskt och ange svaret med två decimalers noggrannhet.

Pariserhjulet London Eye har en diameter på $135$135 meter och ett varv tar $30$30 minuter.

En gondols höjd över marken kan beskrivas med funktionen 

 $h\left(t\right)=67,5\text{ }\sin\left(0,209t-1,57\right)+70$h(t)=67,5 sin‍(0,209t−1,57)+70  ;   $0\le t\le30$0≤t≤30 

där $h$h är höjden över marken i meter och $t$t är tiden i minuter efter start.

a) Vilken är gondolens största höjd över marken?
     Endast svar krävs

b) Bestäm hur lång tid gondolen är minst $40$40 m över marken under ett varv.

Temperaturen i en pool varierade periodiskt med perioden $24$24 h, vilket berodde på att solen värmde upp vattnet på dagen och under natten kyldes det ner igen. Temperaturdifferensen mellan den högsta och den lägsta temperaturen var $7$7 °C. Se figur.

Klockan $18.00$18.00 var temperaturen maximal och tolv timmar senare hade den sjunkit till $17,5$17,5 °C.

Temperaturen i poolen kan beskrivas med modellen $T\left(t\right)=A\cdot\cos\left(Bt+C\right)+D$T(t)=A·cos(Bt+C)+D  där $T\left(t\right)$T(t) är temperaturen i °C och $t$t är tiden i timmar från klockan $00.00$00.00.

Bestäm konstanterna $A$A, $B$B, $C$C och $D$D. Använd vinkelmåttet radianer.

Under ett blåsigt dygn kan vindhastigheten vid ett vindkraftverk beskrivas med modellen

$v\left(x\right)=11\sin\left(0,11x-0,89\right)+28$v(x)=11sin(0,11x−0,89)+28 ,  $0\le x\le24$0≤x≤24

där $v$v är vindhastigheten i km/h och $x$x är tiden i timmar från klockan $00.00$00.00.

a) Bestäm den högsta vindhastigheten under dygnet. Endast svar krävs.

Vid vindhastigheter över $36$36 km/h vinklas rotorbladen för att minska slitage.

b) Bestäm hur lång tid som vindhastigheten är över $36$36 km/h under det aktuella dygnet.

Vid vindhastigheter mellan $0$0 och $36$36 km/h kan mängden elenergi som produceras beräknas med hjälp av sambandet  $P\left(v\right)=0,42\cdot v^3$P(v)=0,42·v³  där $P\left(v\right)$P(v) är mängden producerad elenergi per timme i MJ/h och där $v$v är vindhastigheten i km/h.

Vid vindhastigheter över $36$36 km/h är produktionen av elenergi per timme lika stor som för vindhastigheten $36$36 km/h.

c) Bestäm den totala mängden elenergi som vindkraftverket producerar under dygnet.

På havsbottnen vid sandstränder bildas ibland periodiska mönster av kullar i sanden.

Anta att höjden på en kulle är $1$1  cm, bredden är  $5$5  cm och avståndet mellan två kullar är  $11$11  cm. Se figur nedan.

Enligt en förenklad modell följer varje kulle toppen på en sinuskurva som ges av funktionen  $f\left(x\right)=A\sin\left(kx\right)-d$ƒ (x)=‍Asin(kx)−d  där  $A$A,  $k$k  och  $d$d  är positiva konstanter. Se figur nedan.

a) Bestäm värdet på konstanten  $k$k.

b) Bestäm värdet på konstanterna  $A$A  och  $d$d.

I en mikrovågsugn finns en rund bricka som kan rotera. Ett glas placeras på brickan enligt figur 1.

När mikrovågsugnen är igång roterar brickan med konstant fart. Avståndet  $y$y  cm från glasets centrum till mikrovågsugnens lucka beskrivs av funktionen  $y\left(t\right)=17,0-12,5\cos\left(\frac{\pi}{6}\left(t+3\right)\right)$y(t)=17,0−12,5cos(π6 (t+3))  där  $t$t är tiden i sekunder. Vid  $t=0$t=0  befinner sig glaset längst till vänster i mikrovågsugnen, se figur 2.

a) Bestäm det största avståndet från glasets centrum till mikrovågsugnens lucka. Endast svar krävs.
b) Bestäm hur lång tid det tar för glaset att rotera ett varv i mikrovågsugnen.

Glaset roterar antingen medurs eller moturs. Se figur 3.

c) Undersök åt vilket håll glaset roterar i den här mikrovågsugnen.