00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Nationellt prov Ma4 VT 2016

Amplitud och Period

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Amplitud och Period

De trigonometriska funktionerna är så kallade periodiska funktioner. Detta innebär att samma funktionsvärde återkommer med jämna, upprepade intervall. Följden är att utseendet av en period på kurvan upprepar sig obegränsat i båda riktningar, det vill säga periodiskt.

Grafen till y=Asinkxy=A\sin kxy=Asinkx och  y=Acoskxy=A\cos kxy=Acoskx har ”samma vågrörelse” men kan variera i höjd och bredd. 

Amplituden AAA anger höjden på svängningarna och perioden kkk anger den kortaste avståndet mellan två punkter där kurvans utseende upprepar sig. Exempelvis kan perioden läsas av som avståndet mellan två intilliggande maximi- eller minimipunkter.

Amplitud

Amplituden motsvarar avståndet i yyy-led från kurvans jämviktsläge. Jämnviktsläget motsvarar en tänkt lodrät linje genom kurvan placerad så att funktionens största och minsta värdet ligger lika långt ifrån linjen.

Detta motsvarar i formeln koefficienten till sin\sinsin eller cos\coscos. För att beräkna amplituden ställer upp följande kvot.

 Amplitud=\text{Amplitud}=Amplitud=Sto¨rsta funktionsva¨rdet – Minsta funktionsva¨rdet2\frac{\text{Största funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet}}{2}Största funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet2  

Ordet amplitud kommer från latinets amplitudo som betyder vidd eller omfång.

Vi tittar på ett exempel.

Exempel 1

Ange funktionens amplitud.

Lösning

Vi ser att största värdet för kurvan är 111 och minsta 3-33.

Vi beräknar amplituden med

Amplituden=  Sto¨rsta va¨rdetMinsta va¨rdet2=\frac{\text{Största värdet}-\text{Minsta värdet}}{2}=Största värdetMinsta värdet2 = 1(3)2=42=\frac{1-\left(-3\right)}{2}=\frac{4}{2}=1(3)2 =42 =222 

Det ger amplituden 222

Visuellt avläser vi det i grafen genom att avståndet mellan jämnviktsläget och största/minsta värdet är två steg upp/ner. 

Som du ser har vi markerat jämnviktsläget i bilden med en streckad linje y=1y=-1y=1. Det har vi gjort för att tydligare visa på jämviktsläget.

Amplituden motsvarar ett positivt värde

Du anger alltid amplituden med ett positivt tal. Vi får värdet genom att beräkna absolutbeloppet av kvoten  Sto¨rsta va¨rdetMinsta va¨rdet2\frac{\text{Största värdet}-\text{Minsta värdet}}{2}Största värdetMinsta värdet2 . Det vill säga

 Amplitud=A\text{Amplitud}=\left|A\right|Amplitud=|A| 

Det innebär att  f(x)=3sinxf\left(x\right)=3\sin xƒ (x)=3sinx och  f(x)=3cosxf\left(x\right)=-3\cos xƒ (x)=3cosx har samma amplitud, nämligen 333. Det gäller eftersom att  3=3=3\left|3\right|=\left|-3\right|=3|3|=|3|=3. Vi ser det som att amplituden anger ett avstånd, men utan riktning.

Exempel 2

Ange kurvornas amplituder.

a)  f(x)=5cos2xf\left(x\right)=5\cos2xƒ (x)=5cos2x 

b)  y=0,5sinxy=-0,5\sin xy=0,5sinx 

Lösning

Amplituden motsvarar absolutbeloppet på koefficienten framför  sin\sinsin eller  cos\coscos.

a) För  f(x)=5cos2xf\left(x\right)=5\cos2xƒ (x)=5cos2x  är  A=5A=5A=5 vilket ger amplituden 555 eftersom att 5=5\left|5\right|=5|5|=5 

b) För  y=0,5sinxy=-0,5\sin xy=0,5sinx är  A=0,5A=-0,5A=0,5 vilket ger amplituden 0,50,50,5 eftersom att 0,5=0,5\left|-0,5\right|=0,5|0,5|=0,5 

För dig som känner dig osäker på absolutbeloppet kan man förenklat säga; tänk bara bort minustecknet.

Period

En perioden motsvarar den längd på intervallet i xxx-led som uppstår innan kurvan upprepar sig.

Om man vill beräkna perioden utifrån funktionen y=sinkxy=\sin kxy=sinkx beräknar man perioden så här.

 Period=\text{Period}=Period= 360k\frac{360^{\circ}}{k}360k     eller  2πk\frac{2\pi}{k}2πk  

där kkk motsvarar koefficienten till vinkeln i uttrycket.

Ordet period kommer från grekiskans periodos som betyder omlopp.

En funktion f(x)f\left(x\right)ƒ (x) är periodisk med perioden PPP om den uppfyller ekvationen  f(x)=f(x+P)f\left(x\right)=f\left(x+P\right)ƒ (x)=ƒ (x+P) för alla xxx.

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Exempel 3

Bestäm perioden för sinusfunktionen i figuren.

Lösning

En perioden motsvarar den längd på intervallet i xxx-led som uppstår innan kurvan upprepar sig, till exempel mellan två maximipunkter.

Vi ser att det intervallet motsvarar 120120^{\circ}120 .

Exempel 4

Beskriv grafen med ett funktionsuttryck av typen f(x)=Asinkxf\left(x\right)=A\sin kxƒ (x)=Asinkx 

Lösning

I det allmänna funktionsuttrycket y=Asinkxy=A\sin kxy=Asinkx motsvarar  AAA  amplituden och av koefficienten kkk till vinkeln xxx ges av sambandet Perioden=360k\frac{360^{\circ}}{k}360k  

I figuren läser vi av amplituden till 222 och perioden till 120120^{\circ}120.

Det ger att  k=k=k=360120=\frac{360^{\circ}}{120^{\circ}}=360120 =333 

Grafen i figuren kan beskrivas med funktionsuttrycket  f(x)=2sin3xf\left(x\right)=2\sin3xƒ (x)=2sin3x 

Spegling i x-axeln

Amplituden  1-11 ger en spegling i xxx-axeln. Detta beror på att varje funktionsvärde vid multiplikation med  1-11 resulterar i det motsatta talet. Det i sin tur resulterar i att varje punkt på grafen för respektive xxx-värde hamnar på samma avstånd från xxx-axeln, fast under i stället för över eller tvärt om.

Här ser vi kurvan till y=sinxy=\sin xy=sinx  rödstreckad och  y=sinxy=-\sin xy=sinx med blå linje.

Här ser vi kurvan till y=cosxy=\cos xy=cosx  rödstreckad och  y=cosxy=-\cos xy=cosx  med blå linje.

En negativ amplitud ger alltså alltid en spegling i xxx-axeln, oavsett hur stort negativ talet är. Storleken avgör hur mycket kurvan avviker från jämnviktsläget.

Amplitud, Period och förskjutningar 

Olika konstanter påverkar de trigonometriska funktionerna på olika vis. Här är en sammanfattning av påverkan på sinusfunktionen. Och konstanterna ger exakt samma effekt på cosinusfunktionen.

Undersök själv hur de olika konstanterna i funktionsuttrycket påverkar grafens utseende, genom att dra punkterna i reglagen nedan.

Sinus, Cosinus och Tangens

Vilken/vilka funktioner skall synas?

Sin Sin
Cos Cos
Tan Tan

f(x) = A·sin(Bx+C)+D = 1·sin (1·x+0) +0

Grader / Radianer

Grader Radianer

Beräkning periodicitet

Periodicitet =
360°
B
=
360°
1
= 360°

Ändra konstanter

A = 1
B = 1
C = 0
D = 0

Visa trigonometriska funktioners amplitud, periodicitet och förskjutningar

12345−1−2−3−4−5−4−5−6−70100200300400−100−200−300−400−3−4−5−6
o+
y
x

Hittar du sambanden?

Nedan finner du en kort sammanfattning av hur ytterligare några konstanter påverkar grafens utseende. I kommande lektioner tittar vi närmre på och fördjupa detta.

Förskjutning uppåt/nedåt

Förskjutningen uppåt eller nedåt avgörs av om funktionsuttrycket har en konstantterm. Om denna konstant är positiv så förskjuts kurvan uppåt och är den negativ förskjuts kurvan nedåt.

y=sinx+B y= \sin x+B

Om konstanten  B>0B>0B>0  förskjuts kurvan uppåt.
Om konstanten  B<0B<0B<0  förskjuts förskjuts kurvan nedåt.

Vi beräknar förskjutningen i höjdled genom att subtrahera funktionens största värde med amplituden.

Förskjutningen i höjdled 
 B=Sto¨rsta funktionsva¨rdet – AmplitudenB=\text{Största funktionsvärdet – Amplituden}B=Största funktionsvärdet – Amplituden   

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Förskjutning höger/vänster

Förskjutningar åt höger eller vänster av kurvan avgörs av om det finns en konstant inuti argumentet till sinus/cosinusfunktionen. Alltså om funktionsuttrycket ser ut så här.

y=sin(x+v) y= \sin (x + v)

Om  v>0v>0v>0  förskjuts kurvan åt vänster.
Om  v<0v<0v<0  förskjuts kurvan åt höger.

Du läser av värdet för vvv i grafen genom avståndet från yyy -axeln och den punkt där kurvan normalt har sin ”utgångspunkt”.

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.