Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Amplitud och Period
De trigonometriska funktionerna är så kallade periodiska funktioner. Detta innebär att samma funktionsvärde återkommer med jämna, upprepade intervall. Följden är att utseendet av en period på kurvan upprepar sig obegränsat i båda riktningar, det vill säga periodiskt.
Grafen till y=Asinkxy=Asinkx och y=Acoskxy=Acoskx har ”samma vågrörelse” men kan variera i höjd och bredd.
Amplituden AA anger höjden på svängningarna och perioden kk anger den kortaste avståndet mellan två punkter där kurvans utseende upprepar sig. Exempelvis kan perioden läsas av som avståndet mellan två intilliggande maximi- eller minimipunkter.
Amplitud
Amplituden motsvarar avståndet i yy-led från kurvans jämviktsläge. Jämnviktsläget motsvarar en tänkt lodrät linje genom kurvan placerad så att funktionens största och minsta värdet ligger lika långt ifrån linjen.
Detta motsvarar i formeln koefficienten till sinsin eller coscos. För att beräkna amplituden ställer upp följande kvot.
Amplitud=Amplitud=2Sto¨rsta funktionsva¨rdet – Minsta funktionsva¨rdetStörsta funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet2
Ordet amplitud kommer från latinets amplitudo som betyder vidd eller omfång.
Vi tittar på ett exempel.
Exempel 1
Ange funktionens amplitud.
Lösning
Vi ser att största värdet för kurvan är 11 och minsta −3−3.
Vi beräknar amplituden med
Amplituden= 2Sto¨rsta va¨rdet−Minsta va¨rdet=Största värdet−Minsta värdet2 = 21−(−3)=24=1−(−3)2 =42 =22
Det ger amplituden 22.
Visuellt avläser vi det i grafen genom att avståndet mellan jämnviktsläget och största/minsta värdet är två steg upp/ner.
Som du ser har vi markerat jämnviktsläget i bilden med en streckad linje y=−1y=−1. Det har vi gjort för att tydligare visa på jämviktsläget.
Amplituden motsvarar ett positivt värde
Du anger alltid amplituden med ett positivt tal. Vi får värdet genom att beräkna absolutbeloppet av kvoten 2Sto¨rsta va¨rdet−Minsta va¨rdetStörsta värdet−Minsta värdet2 . Det vill säga
Amplitud=∣A∣Amplitud=|A|
Det innebär att f(x)=3sinxƒ (x)=3sinx och f(x)=−3cosxƒ (x)=−3cosx har samma amplitud, nämligen 33. Det gäller eftersom att ∣3∣=∣−3∣=3|3|=|−3|=3. Vi ser det som att amplituden anger ett avstånd, men utan riktning.
Exempel 2
Ange kurvornas amplituder.
a) f(x)=5cos2xƒ (x)=5cos2x
b) y=−0,5sinxy=−0,5sinx
Lösning
Amplituden motsvarar absolutbeloppet på koefficienten framför sinsin eller coscos.
a) För f(x)=5cos2xƒ (x)=5cos2x är A=5A=5 vilket ger amplituden 55 eftersom att ∣5∣=5|5|=5
b) För y=−0,5sinxy=−0,5sinx är A=−0,5A=−0,5 vilket ger amplituden 0,50,5 eftersom att ∣−0,5∣=0,5|−0,5|=0,5
För dig som känner dig osäker på absolutbeloppet kan man förenklat säga; tänk bara bort minustecknet.
Period
En perioden motsvarar den längd på intervallet i xx-led som uppstår innan kurvan upprepar sig.
Om man vill beräkna perioden utifrån funktionen y=sinkxy=sinkx beräknar man perioden så här.
Period=Period= k360∘360∘k eller k2π2πk
där kk motsvarar koefficienten till vinkeln i uttrycket.
Ordet period kommer från grekiskans periodos som betyder omlopp.
En funktion f(x)ƒ (x) är periodisk med perioden PP om den uppfyller ekvationen f(x)=f(x+P)ƒ (x)=ƒ (x+P) för alla xx.
Detsamma gäller för funktionen för cosinus.
Exempel 3
Bestäm perioden för sinusfunktionen i figuren.
Lösning
En perioden motsvarar den längd på intervallet i xx-led som uppstår innan kurvan upprepar sig, till exempel mellan två maximipunkter.
Vi ser att det intervallet motsvarar 120∘120∘ .
Exempel 4
Beskriv grafen med ett funktionsuttryck av typen f(x)=Asinkxƒ (x)=Asinkx
Lösning
I det allmänna funktionsuttrycket y=Asinkxy=Asinkx motsvarar AA amplituden och av koefficienten kk till vinkeln xx ges av sambandet Perioden=k360∘360∘k
I figuren läser vi av amplituden till 22 och perioden till 120∘120∘.
Det ger att k=k=120∘360∘=360∘120∘ =33
Grafen i figuren kan beskrivas med funktionsuttrycket f(x)=2sin3xƒ (x)=2sin3x
Spegling i x-axeln
Amplituden −1−1 ger en spegling i xx-axeln. Detta beror på att varje funktionsvärde vid multiplikation med −1−1 resulterar i det motsatta talet. Det i sin tur resulterar i att varje punkt på grafen för respektive xx-värde hamnar på samma avstånd från xx-axeln, fast under i stället för över eller tvärt om.
Här ser vi kurvan till y=sinxy=sinx rödstreckad och y=−sinxy=−sinx med blå linje.
Här ser vi kurvan till y=cosxy=cosx rödstreckad och y=−cosxy=−cosx med blå linje.
En negativ amplitud ger alltså alltid en spegling i xx-axeln, oavsett hur stort negativ talet är. Storleken avgör hur mycket kurvan avviker från jämnviktsläget.
Amplitud, Period och förskjutningar
Olika konstanter påverkar de trigonometriska funktionerna på olika vis. Här är en sammanfattning av påverkan på sinusfunktionen. Och konstanterna ger exakt samma effekt på cosinusfunktionen.
Undersök själv hur de olika konstanterna i funktionsuttrycket påverkar grafens utseende, genom att dra punkterna i reglagen nedan.
Sinus, Cosinus och Tangens
f(x) = A·sin(Bx+C)+D = 1·sin (1·x+0) +0
f(x) = A·cos(Bx+C)+D = 1·cos (1·x+0) +0
f(x) = A·tan(Bx+C)+D = 1·tan (1·x+0) +0
Grader / Radianer
Beräkning periodicitet
Ändra konstanter
Visa trigonometriska funktioners amplitud, periodicitet och förskjutningar
Hittar du sambanden?
Nedan finner du en kort sammanfattning av hur ytterligare några konstanter påverkar grafens utseende. I kommande lektioner tittar vi närmre på och fördjupa detta.
Förskjutning uppåt/nedåt
Förskjutningen uppåt eller nedåt avgörs av om funktionsuttrycket har en konstantterm. Om denna konstant är positiv så förskjuts kurvan uppåt och är den negativ förskjuts kurvan nedåt.
y=sinx+B
Om konstanten B>0B>0 förskjuts kurvan uppåt.
Om konstanten B<0B<0 förskjuts förskjuts kurvan nedåt.
Vi beräknar förskjutningen i höjdled genom att subtrahera funktionens största värde med amplituden.
Förskjutningen i höjdled
B=Sto¨rsta funktionsva¨rdet – AmplitudenB=Största funktionsvärdet – Amplituden
Detsamma gäller för funktionen för cosinus.
Förskjutning höger/vänster
Förskjutningar åt höger eller vänster av kurvan avgörs av om det finns en konstant inuti argumentet till sinus/cosinusfunktionen. Alltså om funktionsuttrycket ser ut så här.
y=sin(x+v)
Om v>0v>0 förskjuts kurvan åt vänster.
Om v<0v<0 förskjuts kurvan åt höger.
Du läser av värdet för vv i grafen genom avståndet från yy -axeln och den punkt där kurvan normalt har sin ”utgångspunkt”.
Detsamma gäller för funktionen för cosinus.
Kommentarer
e-uppgifter (21)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange funktionens amplitud.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 6(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange funktionens amplitud.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange funktionens amplitud.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange amplituden för funktioner y=3sinxy=3sinx
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange amplituden för funktioner y=−5sin4xy=−5sin4x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange amplituden för funktioner y=6cos2xy=6cos2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 6(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm perioden för sinusfunktionen i figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 360∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm perioden för sinusfunktionen i figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 30∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm perioden för y=sin3xy=sin3x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 120∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm perioden för y=cos3xy=cos3x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 120∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm perioden för y=sin0,2xy=sin0,2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1800∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm perioden för y=cosy=cos2xx2
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 720∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...13. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange periodiciteten för funktionen y=4sin2xy=4sin2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 180∘ eller π rad(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...14. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M R 1 K Har y=sin0,5xy=sin0,5x och f(x)=cosƒ (x)=cos2xx2 samma period?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Ja, de har samma period då deras k-värde är samma.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...15. Premium
(2/0/0)M NPE C A B 1 P PL 1 M R K Figuren visar kurvan y=sinxy=sinx och en punkt PP.
Punkten PP ligger på kurvan och har yy-koordinaten 00.a) Ange xx-koordinaten för punkten PP.
Svara i radianer.b) Skissa kurvan y=siny=sin2xx2 i koordinatsystemet. Till din hjälp är kurvan y=sinxy=sinx inritad.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: a) 6π b) Se figur under(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Amplitud och PeriodRättar...16. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Grafen i figuren kan anges med ett uttryck på formen y=Asinkxy=Asinkx.
Bestäm AA och kk och ange funktionen uttryckt på formen y=Asinkxy=Asinkx.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=2sin2x(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...17. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Ange grafen i figuren med ett uttryck på formen y=Asinkxy=Asinkx
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=10sin2x(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...18. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Ange grafen i figuren med ett uttryck på formen y=Acoskxy=Acoskx
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=4cos2x(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...19. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Ange grafen i figuren med ett uttryck på formen y=Acoskxy=Acoskx
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=0,5cos6x(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...20. Premium
(1/0/0)NPE C A B P PL 1 M R K Bestäm konstanten AA så att det minsta värde funktionen y=Asin2xy=Asin2x kan anta är −10−10.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: A=±10(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...21. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M 1 R K Figuren visar grafen till en funktion f(x)ƒ (x). Vilken?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (3)
22. Premium
(0/1/0)E C A B P PL M R 1 K För vilka värden på AA saknar Asin4x=2Asin4x=2 lösningar?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: A<2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...23. Premium
(0/3/0)ME C A B P PL 2 M R K 1 Använde ett digitalt hjälpmedel och rita graferna till f(x)=sinxƒ (x)=sinx och g(x)=cosxg(x)=cosx.
För vilka xx -värdet i intervallet 0∘≤x≤720∘0∘≤x≤720∘ gäller att sinx≥cosxsinx≥cosx?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 45∘≤x≤225∘ och 405∘≤x≤585∘ eller i radianer 4π≤x≤45π och 49π≤x≤413π)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...24. Premium
(0/1/0)E C A B 1 P PL M R K Grafen i figuren tillhör en funktion av typen y=Asink(x+v)+By=Asink(x+v)+B .
Bestäm konstanten AA.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: A=6(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
25. Premium
(0/0/1)E C A B 1 P PL M R K Grafen i figuren tillhör en funktion av typen y=Asink(x+v)+By=Asink(x+v)+B .
Bestäm konstanten kk.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: k=4,5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...26. Premium
(0/1/2)E C A B P PL 1 1 M R 1 K Figuren visar graferna till f(x)=sinxƒ (x)=sinx och y=±my=±m. Punkterna A=(xA, yA)A=(xA, yA) och B=(xB, yB)B=(xB, yB) är två av skärningspunkterna mellan graferna.
Beräkna värdet av summan xA+xBxA+xB respektive yA+yByA+yB
Svar:Ditt svar:Rätt svar: xA+xB=360∘ och yA+yB=0(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
BotenAnnie
tack för bra videos . En fråga , om du har en ekvation som ser ut såhär;
cos(2x – 10 grader )=0
hur ska jag räkna det ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
I en sådan ekvation kan du börja med att ta arccos så att du får
2x–10°=±arccos(0)+n⋅360°
2x–10°=±90°+n⋅360°
Nu vill vi få x ensamt och jobbar vidare med ekvationen.
2x–10°=±90°+n⋅360° (+10°)
2x=±90°+10°+n⋅360°
Här ställer vi upp två fall, det ena när vi har +90 och det andra när vi har -90:
1)
2x=90°+10°+n⋅360°
2x=100°+n⋅360° (/2)
x=50°+n⋅180°
2)
2x=−90°+10°+n⋅360°
2x=−80°+n⋅360° (/2)
x=−40°+n⋅180°
Här ovan har du lösningarna på denna ekvation.
Ayah
Hej jag undrar varför kurvorna förskjuts åt höger när det är minus inne i parantesen och vänster när det är plus inne i parantesen. Varför är det inte tvert om? Hur ska man tänka för att förstå det istället för att bara lära in? Tack
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Ayah, det kan ju rent intuitivt kännas som att kurvan borde förskjutas åt vänster om det är minus men så är alltså inte fallet. Jag skall försöka göra en förklaring för dig här och vi tar ett exempel från videon. Låt oss titta på
sin (x – 60°) och jämföra den mot sin x
—————-
Låt nu säga att vi har x = 20° och vi får då
sin (20° – 60°) = sin(-40°)
—————-
När x = 20° så får vi alltså samma y värde som för sin(-40) när vi bara har sin x. Och -40° befinner ju sig till vänster från sin 20° när vi alltså har funktionen y = sinx.
—————
Alltså: När vi har sin(x – 60°) så skjuts alla värden från vänster åt höger 60°!
Fråga gärna mera om jag är otydlig, det är alltid svårare att svara i skrift.
Simon Rybrand (Moderator)
Vad bra Daniel! Lycka till med studierna.
Daniel Larsson
Tack små saker som jag saknat faller nu på plats
Endast Premium-användare kan kommentera.