00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Grafen till sinus cosinus och tangens

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

De trigonometriska funktionerna är funktioner vars oberoende variabeln är en vinkel. Vi kommer i denna kurs bekanta oss närmre med grafen till sinus, cosinus och tangens. Det vill säga funktionerna y=sinxy=\sin xy=sinx,  y=cosxy=\cos xy=cosx och y=tanxy=\tan xy=tanx.

Grafen till sinus, cosinus och tangens

Funktionerna till y=sinxy=\sin xy=sinx och y=cosxy=\cos xy=cosx  är ”vågformade” och periodiska. Det beror på att samma funktionsvärde återkommer om och om igen med ett visst intervall. 

Grafen till sinus

Grafen till cosinus

Grafen till tangens har ett karaktäristiskt utseende med lodräta asymptoter med intervallen ±180\pm180^{\circ}±180 med start i x=90x=90^{\circ}x=90 eftersom att tanx=\tan x=tanx=sinxcosx\frac{\sin x}{\cos x}sinxcosx  och cos90=0\cos90^{\circ}=0cos90=0 vilket ger nolldivision för  x=90±180x=90^{\circ}\pm180^{\circ}x=90±180 och tan90\tan90^{\circ}tan90 därmed inte är definierad.

Grafen till tangeln

Periodiska funktioner

Många fenomen i vår värld upprepar sig regelbundet, eller med ett annat ord, periodiskt. Ett exempel du kanske stött på är tidvatten (ebb och flod). Vattnets nivå höjs och sänks under ett dygn och upprepar sedan sin förändring dygn efter dygn.

Troligtvis är det även så att du använder dig av dessa periodiska fenomen dagligen. Många av de tekniska vardagsföremål vi använder idag sänder eller tar emot olika elektromagnetiska vågor. Till exempel används olika radiovågor för att din mobil ska fungera. Även andra typer av vågrörelser som ljud och vattenvågor tillhör vardagen. Inom fysiken är pendel (tex gungor), fjädrar och så kallade centralrörelser vanliga periodiska fenomen att studera och göra beräkningar utifrån.

En funktion f(x)f\left(x\right)ƒ (x) är periodisk med perioden PPP om den uppfyller ekvationen  f(x)=f(x+P)f\left(x\right)=f\left(x+P\right)ƒ (x)=ƒ (x+P) för alla xxx.

För att beskriva dessa fenomen med matematiska modeller kan vi ange dem som trigonometrisk samband. Och i denna kurs är det alltså funktionerna y=sinxy=\sin xy=sinx,  y=cosxy=\cos xy=cosx och y=tanxy=\tan xy=tanx som vi kommer fokusera på.

Sambandet mellan enhetscirken och sinuskurvan

Vi visar nu sambandet mellan grafen till y=sinxy=\sin xy=sinx och enhetscirkeln. Vi läser först av vinkeln och yyy-koordinaten i enhetscirkeln till ett antal rödmarkerade punkter.

Enhetscirkeln och sinusvärden

Därefter ritar vi grafen till funktionen y=sinxy=\sin xy=sinx genom att plotta ut de motsvarande punkterna i koordinatsystemet.

Enhetscirkeln och sinus

xxx-koordinaten i koordinatsystemet motsvarar vinkeln i enhetscirkeln och yyy-koordinaten motsvarar yyy-värdet för punkterna i koordinatsystemet. Sammanbinder vi sedan dessa så får vi grafen till sinusfunktionen.

Sinusfunktionen

I enhetscirkeln ser vi hur flera olika vinklar ger samma yyy-värde, varv efter varv, och det är på grund av detta som de trigonometriska kurvorna får sina karaktäristiska periodiska utseenden.

Till exempel är sin30, sin150, sin390\sin30^{\circ},\text{ }\sin150^{\circ},\text{ }\sin390^{\circ}sin30, sin150, sin390 och  sin510\sin510^{\circ}sin510  alla lika med 0,50,50,5, vilket då motsvarar punkter med samma yyy-värde för olika xxx-värden.

Sambandet mellan enhetscirken och cosinuskurvan

Nu gör vi på liknande vis för cosinuskurvan, men läser istället av värdena för cosx\cos xcosx i enhetscirkeln, det vill säga värdena på xxx-axeln i enhetscirkeln för de olika vinklarna. I värdetabellen motsvarar fortfarande vinklarna xxx-värdet. Men nu är det istället cosinusvärdet i enhetscirkeln som motsvarar yyy-värdet i tabellen.

Enhetscirkeln och värdetabell

Plottar vi ut och sammanbinder vi punkterna från värdetabellen i ett koordinatsystem får vi grafen till funktionen y=cosxy=\cos xy=cosx.

Kurvan till cosinus

Även denna är periodisk och upprepas i sin form i oändlighet år höger och vänster.

Sambandet mellan enhetscirken och tangenskurvan

Slutligen titta vi på kurvan till tangens. Vi utgår från att tanx\tan xtanx kan bestämmas antingen som kvoter sinxcosx\frac{\sin x}{\cos x}sinxcosx  utifrån tabellerna ovan eller genom att med räknare beräkna de olika vinklarnas tillhörande yyy-värdena för tangens. Plottar vi sedan ut motsvarande punkter får vi följande.

Grafen till tangens med asymptoter

Grafen har lodräta asymptoter för de vinklar där cosx=0\cos x=0cosx=0 eftersom att vi där får nolldivision. Grafen närmar sig positiva oändligheten när vinkeln xxx närmar sig 9090^{\circ}90 från höger och åt negativa oändligheten när den närmar sig 9090^{\circ}90 från vänster.

Asymptoterna har här markerats med röda streck och för y=tanxy=\tan xy=tanx gäller till exempel att limx90°tanx=± \lim\limits_{x \to 90°} \tan x= \pm \infty

Detta upprepar sig med ett intervall på 180180^{\circ}180.

Exempel i videon

  • Användning av enhetscirkeln för att rita ut f(x)=sinx f(x)=\sin x , f(x)=cosx f(x)=\cos x och f(x)=tanx f(x)=\tan x