Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
De trigonometriska funktionerna är funktioner vars oberoende variabeln är en vinkel. Vi kommer i denna kurs bekanta oss närmre med grafen till sinus, cosinus och tangens. Det vill säga funktionerna y=sinxy=sinx, y=cosxy=cosx och y=tanxy=tanx.
Grafen till sinus, cosinus och tangens
Funktionerna till y=sinxy=sinx och y=cosxy=cosx är ”vågformade” och periodiska. Det beror på att samma funktionsvärde återkommer om och om igen med ett visst intervall.
Grafen till tangens har ett karaktäristiskt utseende med lodräta asymptoter med intervallen ±180∘±180∘ med start i x=90∘x=90∘ eftersom att tanx=tanx=cosxsinxsinxcosx och cos90∘=0cos90∘=0 vilket ger nolldivision för x=90∘±180∘x=90∘±180∘ och tan90∘tan90∘ därmed inte är definierad.
Periodiska funktioner
Många fenomen i vår värld upprepar sig regelbundet, eller med ett annat ord, periodiskt. Ett exempel du kanske stött på är tidvatten (ebb och flod). Vattnets nivå höjs och sänks under ett dygn och upprepar sedan sin förändring dygn efter dygn.
Troligtvis är det även så att du använder dig av dessa periodiska fenomen dagligen. Många av de tekniska vardagsföremål vi använder idag sänder eller tar emot olika elektromagnetiska vågor. Till exempel används olika radiovågor för att din mobil ska fungera. Även andra typer av vågrörelser som ljud och vattenvågor tillhör vardagen. Inom fysiken är pendel (tex gungor), fjädrar och så kallade centralrörelser vanliga periodiska fenomen att studera och göra beräkningar utifrån.
En funktion f(x)ƒ (x) är periodisk med perioden PP om den uppfyller ekvationen f(x)=f(x+P)ƒ (x)=ƒ (x+P) för alla xx.
För att beskriva dessa fenomen med matematiska modeller kan vi ange dem som trigonometrisk samband. Och i denna kurs är det alltså funktionerna y=sinxy=sinx, y=cosxy=cosx och y=tanxy=tanx som vi kommer fokusera på.
Sambandet mellan enhetscirken och sinuskurvan
Vi visar nu sambandet mellan grafen till y=sinxy=sinx och enhetscirkeln. Vi läser först av vinkeln och yy-koordinaten i enhetscirkeln till ett antal rödmarkerade punkter.
Därefter ritar vi grafen till funktionen y=sinxy=sinx genom att plotta ut de motsvarande punkterna i koordinatsystemet.
xx-koordinaten i koordinatsystemet motsvarar vinkeln i enhetscirkeln och yy-koordinaten motsvarar yy-värdet för punkterna i koordinatsystemet. Sammanbinder vi sedan dessa så får vi grafen till sinusfunktionen.
I enhetscirkeln ser vi hur flera olika vinklar ger samma yy-värde, varv efter varv, och det är på grund av detta som de trigonometriska kurvorna får sina karaktäristiska periodiska utseenden.
Till exempel är sin30∘, sin150∘, sin390∘sin30∘, sin150∘, sin390∘ och sin510∘sin510∘ alla lika med 0,50,5, vilket då motsvarar punkter med samma yy-värde för olika xx-värden.
Sambandet mellan enhetscirken och cosinuskurvan
Nu gör vi på liknande vis för cosinuskurvan, men läser istället av värdena för cosxcosx i enhetscirkeln, det vill säga värdena på xx-axeln i enhetscirkeln för de olika vinklarna. I värdetabellen motsvarar fortfarande vinklarna xx-värdet. Men nu är det istället cosinusvärdet i enhetscirkeln som motsvarar yy-värdet i tabellen.
Plottar vi ut och sammanbinder vi punkterna från värdetabellen i ett koordinatsystem får vi grafen till funktionen y=cosxy=cosx.
Även denna är periodisk och upprepas i sin form i oändlighet år höger och vänster.
Sambandet mellan enhetscirken och tangenskurvan
Slutligen titta vi på kurvan till tangens. Vi utgår från att tanxtanx kan bestämmas antingen som kvoter cosxsinxsinxcosx utifrån tabellerna ovan eller genom att med räknare beräkna de olika vinklarnas tillhörande yy-värdena för tangens. Plottar vi sedan ut motsvarande punkter får vi följande.
Grafen har lodräta asymptoter för de vinklar där cosx=0cosx=0 eftersom att vi där får nolldivision. Grafen närmar sig positiva oändligheten när vinkeln xx närmar sig 90∘90∘ från höger och åt negativa oändligheten när den närmar sig 90∘90∘ från vänster.
Asymptoterna har här markerats med röda streck och för y=tanxy=tanx gäller till exempel att x→90°limtanx=±∞
Detta upprepar sig med ett intervall på 180∘180∘.
Exempel i videon
- Användning av enhetscirkeln för att rita ut f(x)=sinx, f(x)=cosx och f(x)=tanx
Kommentarer
e-uppgifter (5)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilket funktionsuttryck motsvarar grafen i bilden?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilket funktionsuttryck motsvarar grafen i bilden?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilket funktionsuttryck motsvarar grafen i bilden?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M R 1 K Vilken av punktera A, B, CA, B, C eller DD i enhetscirkeln motsvarar punkten PP på kurvan till y=sinxy=sinx?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Punkten B(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnRättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B P PL M R 1 K Vilken av punktera A, B, C, D, EA, B, C, D, E eller FF på kurvan till y=sinxy=sinx nedan motsvarar punkten PP i enhetscirkeln?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Punkten C(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnRättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (4)
6. Premium
(0/1/0)E C A B P PL 1 M R K Ange det exakta yy-värdet för punkten PP.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/1/0)ME C A B P PL 1 M R K Ange det exakta yy-värdet för punkten PP.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 21(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Skissa av koordinatsystemet och plotta ut de punkter som motsvarar vinkeln och xx-värdet för de fyra röda prickarna som är markerade i enhetscirkeln i koordinatsystemet. Sammanbind dem med en mjuk linje.
Vilken funktion har du skissat?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=cosx(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(0/1/0)E C A B P 1 PL M R K Skissa av koordinatsystemet och plotta ut de punkter som motsvarar vinkeln och yy-värdet för de fyra röda prickarna som är markerade i enhetscirkeln i koordinatsystemet. Sammanbind dem med en mjuk linje.
Vilken funktion har du skissat?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=sinx(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Endast Premium-användare kan kommentera.