Förskjutningar i höjdled och sidled

Förskjutningen  uppåt eller nedåt avgörs av om funktionsuttrycket har en konstantterm. Om denna konstant är positiv så förskjuts kurvan uppåt och är den negativ förskjuts kurvan nedåt.

Vi kan beräkna förskjutningen i höjdled genom att subtrahera funktionens största värde med amplituden.

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Förskjutningar åt höger eller vänster av kurvan avgörs av om det finns en angiven vinkel adderad variabeln $x$x. Alltså om funktionsuttrycket ser ut så här.

Vinkeln

Du kan alltså läsa av värdet för $v$v i grafen genom avståndet från $y$y -axeln och den punkt där kurvan har sitt jämnviktsläge. Är den förskjuten åt vänster adderar du vinkeln och är den förskjuten åt höger subtraherar du vinkeln.

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Vi skulle lika gärna kunna sätta $v=240^{\circ}$v=240^∘ och då istället utgå från en förskjutning åt vänster.

Det vet vi eftersom att alla lösningar till $\cos x=y$cosx=y  ges av $x=\pm\cos^{-1}y+n\cdot360°$x=±cos⁻¹y+n·360° då $n$n är ett heltal. Det i sin tur leder till att graferna till  $y=\cos\left(x+v\right)$y=cos(x+v) för alla $v\pm n\cdot360^{\circ}$v±n·360^∘ där $n$n är ett heltal sammanfaller.

Det vill säga $\cos x=\cos\left(x+360^{\circ}\right)=\cos\left(x+720^{\circ}\right)=\cos\left(x-360^{\circ}\right)$cosx=cos(x+360^∘)=cos(x+720^∘)=cos(x−360^∘) osv.  Prova själv att rita upp den med ett digitalt hjälpmedel!

Periodiciteten kommer påverka värdet på $v$v om funktionsuttrycket skrivs på formen $y=\sin\left(kx+v\right)$y=sin(kx+v).

Kurvan i bilden kan alltså beskrivas med funktionen  $y=\sin2\left(x+30^{\circ}\right)$y=sin2(x+30^∘) eller om vi vill multiplicera in  $2$2 :an,  $y=\sin\left(2x+60^{\circ}\right)$y=sin(2x+60^∘)

Varför ska man addera $60^{\circ}$60^∘ trots att punkten där grafen skär $x$x-axeln är $-60^{\circ}$−60^∘? Borde det inte vara $v=-60^{\circ}$v=−60^∘ istället?

Eftersom att kurvan är förskjuten åt vänster kommer man behöva addera $60^{\circ}$60^∘ till varje $x$x -värde för att få samma funktionsvärde, det vill säga $y$y-värde.

Den blå kurvan tillhör  $y=\sin2\left(x+60^{\circ}\right)$y=sin2(x+60^∘) och den röda streckade tillhör $y=\sin2x$y=sin2x.

Vi ser att $x=30^{\circ}$x=30^∘ i den blå grafen ger att

$\sin2\left(30^{\circ}+60^{\circ}\right)=\sin2\cdot90^{\circ}=$sin2(30^∘+60^∘)=sin2·90^∘= $\sin180^{\circ}=0$sin180^∘=0

I den röda streckade grafen motsvaras samma $y$y-värde av vinkeln $x=90^{\circ}$x=90^∘, det vill säga $60^{\circ}$60^∘ mer, eftersom att

$\sin2\cdot90^{\circ}=\sin180^{\circ}=0$sin2·90^∘=sin180^∘=0

På liknade vis gäller att $x=150^{\circ}$x=150^∘ för $y=\sin2\left(x+60^{\circ}\right)$y=sin2(x+60^∘) ger samma värde som $x=210^{\circ}$x=210^∘ för $y=\sin2x$y=sin2x eftersom att

$\sin2\left(150^{\circ}+60^{\circ}\right)=\sin2\left(210^{\circ}\right)=\sin420^{\circ}\approx0,87$sin2(150^∘+60^∘)=sin2(210^∘)=sin420^∘≈0,87

Det är alltså viktigt att göra skillnad på vad som finns i och utanför parentesen.

Så som alltid, var noga med paretenserna!

Här sammanfattar vi begrepp kring de trigonometriska funktionera. Återvänd till respektive lektion för mer information.

• Skissa kurvan till $ f(x) = 4 \sin x + 2 $.
• Skissa kurvan till $ f(x) = 2 \cos 2x $.
• Skissa kurvan till $ f(x) = -2 \sin x $.