Amplitud och Period

De trigonometriska funktionerna är så kallade periodiska funktioner. Detta innebär att samma funktionsvärde återkommer med jämna, upprepade intervall. Följden är att utseendet av en period på kurvan upprepar sig obegränsat i båda riktningar, det vill säga periodiskt.

Grafen till $y=A\sin kx$y=Asinkx och  $y=A\cos kx$y=Acoskx har "samma vågrörelse" men kan variera i höjd och bredd. 

Amplituden $A$A anger höjden på svängningarna och koefficienten $k$k bestämmer perioden, det kortaste avståndet mellan två punkter där kurvans utseende upprepar sig. Exempelvis kan perioden läsas av som avståndet mellan två intilliggande maximi- eller minimipunkter.

Amplituden motsvarar avståndet i $y$y-led från kurvans jämviktsläge. Jämviktsläget motsvarar en tänkt vågrät linje genom kurvan placerad så att funktionens största och minsta värden ligger lika långt ifrån linjen.

Detta motsvarar i formeln koefficienten till $\sin$sin eller $\cos$cos. För att beräkna amplituden ställer vi upp följande kvot.

Ordet amplitud kommer från latinets amplitudo som betyder vidd eller omfång.

Vi tittar på ett exempel.

Som du ser har vi markerat jämviktsläget i bilden med en streckad linje $y=-1$y=−1. Det har vi gjort för att tydligare visa på jämviktsläget.

Vi anger alltid amplituden med ett positivt tal. Vi får värdet genom att beräkna absolutbeloppet av kvoten  $\frac{\text{Största värdet}-\text{Minsta värdet}}{2}$Största värdet−Minsta värdet2 . Det vill säga

 $\text{Amplitud}=\left|A\right|$Amplitud=|A| 

Det innebär att  $f\left(x\right)=3\sin x$ƒ (x)=3sinx och  $f\left(x\right)=-3\cos x$ƒ (x)=−3cosx har samma amplitud, nämligen $3$3. Det gäller eftersom  $\left|3\right|=\left|-3\right|=3$|3|=|−3|=3. Vi ser det som att amplituden anger ett avstånd, men utan riktning.

För dig som känner dig osäker på absolutbeloppet kan vi förenklat säga: tänk bara bort minustecknet.

En period motsvarar den längd på intervallet i $x$x-led som uppstår innan kurvan upprepar sig.

Perioden för funktionen $y=\sin kx$y=sinkx beräknar vi så här.

där $k$k motsvarar koefficienten till vinkeln i uttrycket.

Ordet period kommer från grekiskans periodos som betyder omlopp.

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Amplituden  $-1$−1 ger en spegling i $x$x-axeln. Detta beror på att varje funktionsvärde vid multiplikation med  $-1$−1 resulterar i det motsatta talet. Det i sin tur resulterar i att varje punkt på grafen för respektive $x$x-värde hamnar på samma avstånd från $x$x-axeln, fast under i stället för över eller tvärt om.

Här ser vi kurvan till $y=\sin x$y=sinx  rödstreckad och  $y=-\sin x$y=−sinx med blå linje.

Här ser vi kurvan till $y=\cos x$y=cosx  rödstreckad och  $y=-\cos x$y=−cosx  med blå linje.

En negativ amplitud ger alltså alltid en spegling i $x$x-axeln, oavsett hur stort negativt talet är. Storleken avgör hur mycket kurvan avviker från jämviktsläget.

Olika konstanter påverkar de trigonometriska funktionerna på olika vis. Här är en sammanfattning av påverkan på sinusfunktionen. Konstanterna ger exakt samma effekt på cosinusfunktionen.

Undersök själv hur de olika konstanterna i funktionsuttrycket påverkar grafens utseende, genom att dra punkterna i reglagen nedan.

Hittar du sambanden?

Nedan finner du en kort sammanfattning av hur ytterligare några konstanter påverkar grafens utseende. I kommande lektioner tittar vi närmare på och fördjupar detta.

Förskjutningen uppåt eller nedåt avgörs av om funktionsuttrycket har en konstantterm. Om denna konstant är positiv förskjuts kurvan uppåt och är den negativ förskjuts kurvan nedåt.

Vi beräknar förskjutningen i höjdled genom att subtrahera amplituden från funktionens största värde.

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Förskjutningar åt höger eller vänster av kurvan avgörs av om det finns en konstant inuti argumentet till sinus/cosinusfunktionen. Alltså om funktionsuttrycket ser ut så här.

Du läser av värdet för $v$v i grafen genom avståndet från $y$y -axeln och den punkt där kurvan normalt har sin "utgångspunkt".

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.