Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Amplitud och Period
Innehåll
Amplitud, Period och förskjutningar
Olika konstanter påverkar de trigonometriska funktionerna på olika vis. Här är en sammanfattning av påverkan på sinusfunktionen. Men de ger samma effekt på cosinusfunktionen.
Undersök själv hur de olika talen i funktionsuttrycket påverkar grafens utseende, genom att dra punkterna i reglagen nedan.
Hittar du sambanden?
Nedan finner du en sammanfattning av de olika begreppen för trigonometriska funktioner och hur de påverkar grafens utseende.
Amplitud Premium
Innebörden av begreppet amplitud är avståndet i $y$y – led från kurvans jämviktsläge, eller mittenläget lodrätt sett, till det högsta eller minsta värdet för funktionen. Detta motsvaras i formeln av koefficient till $\sin$sineller $\cos$cos. För att beräkna amplituden kan vi ställa upp följande kvot.
$\text{Amplitud}=$Amplitud= $\frac{\text{Största funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet}}{2}$Största funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet2
Period Premium
En perioden motsvarar den längd på intervallet i $x$x -led som uppstår innan kurvan upprepar sig. Detta motsvaras i formeln av koefficienten till vinkeln. Om man till exempel vill beräkna perioden utifrån funktionen $ y=sin(kx) $ så får man perioden genom att beräkna
$\text{Periodicitet}=$Periodicitet= $\frac{360^{\circ}}{k}$360∘k
Detsamma gäller för funktionen för cosinus.
Förskjutning uppåt/nedåt Premium
Förskjutningen uppåt eller nedåt avgörs av om funktionsuttrycket har en konstantterm. Om denna konstant är positiv så förskjuts kurvan uppåt och är den negativ förskjuts kurvan nedåt.
$ y= \sin (x)+d $
Om konstanten $d>0$d>0 förskjuts kurvan uppåt.
Om konstanten $d<0$d<0 förskjuts förskjuts kurvan nedåt.
Vi kan beräkna förskjutningen i höjdled genom att subtrahera funktionens största värde med amplituden.
Förskjutningen i höjdled $d=\text{Största funktionsvärdet – Amplituden}$d=Största funktionsvärdet – Amplituden
Detsamma gäller för funktionen för cosinus.
Förskjutning höger/vänster Premium
Förskjutningar åt höger eller vänster av kurvan avgörs av om det finns en konstant inuti argumentet till sinus/cosinusfunktionen. Alltså om funktionsuttrycket ser ut så här.
$ y= \sin (x + v) $
Om $v>0$v>0 förskjuts kurvan åt vänster.
Om $v<0$v<0 förskjuts kurvan åt höger.
Du kan läsa av värde för $v$v i grafen genom avståndet från $y$y -axeln och den punkt där kurvan nar sitt jämnviktsläge.
Detsamma gäller för funktionen för cosinus.
Exempel i videon Premium
- Exempel på Amplitud, period och förskjutningar för $ f(x)=3sinx $, $ f(x)=sin2x $ och $f(x)=2+cos2x$.
- Exempel på Amplitud, period och förskjutningar för $ f(x)=sin(x-60°) $ och $ f(x)=sin(x+60°)$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B 1 P PL M R K Ange amplituden för funktioner $f(x)=3\sin(2x)+1$ƒ (x)=3sin(2x)+1
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B P PL M 1 R K Vilken funktion har amplituden $1$ och perioden $180°$ samt är förskjuten ett steg nedåt?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B 1 P PL M R K Vad är amplituden för funktionen?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NPE C A B 1 P PL M R K Hur kan formeln till en funktion som är förskjuten $40°$ åt höger se ut?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Anders Johansson
Amplitud, period och förskjutningar — kanske det är ett mer relevant namn på det här avsnittet — eleverna har svårt att snabbt se var genomgång om förskjutningar finns.
Andreas Ährlund-Richter
Fel fel på fråga 2 trots att rätt svar hade angivits av mig.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi fixar det, tack för att du sade till!
Eleonora Ahlbäck
Hej!
Jag har en uppgift som jag inte förstår eller vet hur jag ska lösa.
f(x)=sin(x+30 grader)
Ange nollställena till funktionen f(x)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Här söker du när $ f(x) = 0 $ så det du behöver göra är att lösa ekvationen
$ sin(x+30°)=0 $
När du tar arcsin här får du två fall
1)
$x+30°=arcsin0+n⋅360⇔$
$x=0-30°+n⋅360⇔$
$x=-30°+n⋅360$
2)
$x+30°=(180°-arcsin0) +n⋅360$
$x+30°=180° +n⋅360$
$x=150°+n⋅360$
Du kan också skriva bägge lösningarna som
$ $x=150°+n⋅180$ $
John Winlund
Svarade rätt på fråga 4 och fick förklaringen : FÖRKLARING
För att kurvan ska förskjutas 40° till höger måste vi lägga till 40° till vinkeln, vilket innebär att y=sin(x+40) är det rätta svare
___________
ÄR inte det fel förklaring? Borde det inte stå (x-40) ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, ja det borde det göra. Vi har korrigerat förklaringen till uppgiften. Tack för att du tog dig tid och påpekade detta!
Sussicake
Hej och tack för bra och okomplicerade förklaringar!
fastnade dock på fråga nr.2 Som frågar vilken funktion som är förskjuten nedåt.
Och eftersom det är sinus så förskjuts kurvan endast åt höger eller vänster enligt videon.. om jag har varit uppmärksam som jag tro mig vart hehe 🙂
är det inte bara cosinus som kan bli förskjuten nedåt eller uppåt?..eller?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, nej både sinus- och cosinusfunktioner kan förskjutas uppåt och nedåt genom att lägga till en konstant i funktionsuttrycket.
PatrikHBG
Hej!
Har två frågor som du säkert kan besvara snabbt och enkelt.
1. I en hel del uppgifter i Matteboken Matematik 4 (Sjunnesson, Holmström, Smedhamre) så återkommer tecknet ”e” i uppgifter, ofta upphöjt i något, ex e^2x osv. Vad är detta e och behöver man veta något värde på det? (Verkar mest förekomma i funktioner där det försvinner pga x=0 eller liknande)
2. När man tar sin av pi så blir svaret: 0,054803… Jag sitter just nu med primitiva funktioner och i samtliga fall verkar facit räkna sin på pi som noll. Blir talet så litet så att man automatiskt ska räkna bort det i dessa sammanhang?
Ex. F(2)= sin ”pi” + 2 enligt facit (Finns flera liknande uppgifter)
Tacksam för hjälp!
Mvh Patrik
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Patrik!
1. Det är talet e som det syftas på. Man kan till viss del likna det vid talet pi då talet har ett fast värde ≈ 2.71828. Talet e har många bra egenskaper, framförallt för att derivatan av e^x är just e^x.
2. Du behöver ställa in din räknare på vinkelmåttet radianer. Ofta finns en MODE knapp där detta görs.
Jellycow
Hej!
Jag är lite förvirrad över fråga 3 och 4:
På fråga 3 svarade jag ”2” fast fick fel ändå, och på fråga 4 borde det väll vara (x-40) istället för (x+40)?
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan! Tack för att du kommenterade detta, det verkar ha blivit fel när testet programmerades in. Det är nu korrigerat!
BotenAnnie
tack för bra videos . En fråga , om du har en ekvation som ser ut såhär;
cos(2x – 10 grader )=0
hur ska jag räkna det ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
I en sådan ekvation kan du börja med att ta arccos så att du får
$ 2x – 10° = ±arccos(0) + n⋅360° $
$ 2x – 10° = ±90° + n⋅360° $
Nu vill vi få x ensamt och jobbar vidare med ekvationen.
$ 2x – 10° = ±90° + n⋅360° $ (+10°)
$ 2x = ±90° + 10° + n⋅360° $
Här ställer vi upp två fall, det ena när vi har +90 och det andra när vi har -90:
1)
$ 2x = 90° + 10° + n⋅360° $
$ 2x = 100° + n⋅360° $ (/2)
$ x = 50° + n⋅180° $
2)
$ 2x = -90° + 10° + n⋅360° $
$ 2x = -80° + n⋅360° $ (/2)
$ x = -40° + n⋅180° $
Här ovan har du lösningarna på denna ekvation.
Ayah
Hej jag undrar varför kurvorna förskjuts åt höger när det är minus inne i parantesen och vänster när det är plus inne i parantesen. Varför är det inte tvert om? Hur ska man tänka för att förstå det istället för att bara lära in? Tack
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Ayah, det kan ju rent intuitivt kännas som att kurvan borde förskjutas åt vänster om det är minus men så är alltså inte fallet. Jag skall försöka göra en förklaring för dig här och vi tar ett exempel från videon. Låt oss titta på
sin (x – 60°) och jämföra den mot sin x
—————-
Låt nu säga att vi har x = 20° och vi får då
sin (20° – 60°) = sin(-40°)
—————-
När x = 20° så får vi alltså samma y värde som för sin(-40) när vi bara har sin x. Och -40° befinner ju sig till vänster från sin 20° när vi alltså har funktionen y = sinx.
—————
Alltså: När vi har sin(x – 60°) så skjuts alla värden från vänster åt höger 60°!
Fråga gärna mera om jag är otydlig, det är alltid svårare att svara i skrift.
Simon Rybrand (Moderator)
Vad bra Daniel! Lycka till med studierna.
Daniel Larsson
Tack små saker som jag saknat faller nu på plats
Endast Premium-användare kan kommentera.