Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Här samlar vi i en tabell de viktigaste trigonometriska exakta värdena för cosinus, sinus och tangens. Du ser vinklarna på vinkelmåtten grader och radianer och vilket exakt värde de motsvarar.
I lektionen lär du dig även att använda dessa trigonometriska värden när du jobbar med uppgifter. Dessutom lär du dig hur du kan använda symmetri på enhetscirkeln för att härleda exakta trigonometriska värden.
Exakta trigonometriska funktionsvärden
I bilden nedan hittar du en tabell över de värden som finns listade i formelbladet till nationella prov.
Det är framförallt tabellen här ovan som du kommer att använda dig av vid provtillfällen så det är viktigt att du lär dig att använda den.
I Ma4 introduceras vinkelmåttet radianer längre fram i kapitlet om trigonometri. Det är definierat som den sträcka utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln. Ett helt varv i enhetscirkeln motsvarar 360360 grader eller 2π2π radianer, eftersom att enhetscirkeln har radien 11 och därmed har omkretsen 2π2π. Med det följer att 11 radian ≈57≈57 grader.
Tabell över alla exakta trigonometriska värden.
Nedan listar vi fler trigonometriska värden som går att härleda utifrån redan befintliga exakta värden och symmetri på enhetscirkeln. Det är bra att du känner till att dessa värden finns.
Grader | Radianer | Sinus | Cosinus | Tangens |
0°0° | 00 | 00 | 11 | 00 |
30°30° | 6ππ6 | 2112 | 23√32 | 33√33 |
45°45° | 4ππ4 | 211√2 | 211√2 | 11 |
60°60° | 3ππ3 | 23√32 | 2112 | 3√3 |
90°90° | 2ππ2 | 11 | 00 | Ej defEj deƒ |
120°120° | 32π2π3 | 23√32 | −21−12 | −3−√3 |
135°135° | 43π3π4 | 211√2 | −22−√22 | −1−1 |
150°150° | 65π5π6 | 2112 | −23−√32 | −33−√33 |
180°180° | ππ | 00 | −1−1 | 00 |
225°225° | 45π5π4 | −21−1√2 | −21−1√2 | 11 |
270°270° | 23π3π2 | −1−1 | 00 | Ej defEj deƒ |
315°315° | 47π7π4 | −21−1√2 | 211√2 | −1−1 |
360°360° | 2π2π | 00 | 11 | 00 |
Nedan härleder vi några av exakta värden i denna tabell.
Exakta värden för 0°, 90°, 180° och 270°
Med hjälp av enhetscirkeln kan vi härleda de exakta trigonometriska värdena för 0°0°, 90°90°, 180°180° och 270°270°. Vi använder här att på enhetscirkeln gäller att punkten vid cirkelns rand har xx koordinaten cosvcosv och yy koordinaten sinvsinv. För att ta fram värdet för tangens så används att tanv=cosvsinvtanv=sinvcosv .
Exakta värden för 45°, 135°, 225° och 315°
Vi ritar ut en vinkel v=45°v=45° i enhetscirkeln. Då skapas en rätvinklig triangel (blåmarkerad i figuren nedan) där de två kateterna aa är lika långa. Vi använder även symmetrin på enhetscirkeln för att markera ut några vinklar till som vi återkommer till nedan.
Med hjälp av pythagoras sats kan vi nu ställa upp och lösa ekvationen
a2+a2=1a2+a2=1
2a2=12a2=1
a2=21a2=12
a=a=21=21=21√12 =√1√2 =1√2
Nu har vi kateternas längd och med hjälp av de grundläggande trigonometriska sambanden kan vi lista de exakta värdena för 45°45°.
sin45°=sin45°=121=211√2 1 =1√2
cos45°=cos45°= 121=211√2 1 =1√2
tan45°=tan45°= 2121=1√2 1√2 =11
Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för 135°135°, 225°225° och 315°315°. Exempelvis har vinkeln 135°135° samma x- och y-koordinat som 45°45° men med skillnaden att x-koordinaten är negativ. Därför gäller att
Grader | Radianer | Sinus | Cosinus | Tangens |
135°135° | 43π3π4 | 211√2 | −22−√22 | −1−1 |
225°225° | 45π5π4 | −21−1√2 | −21−1√2 | 11 |
315°315° | 47π7π4 | −21−1√2 | 211√2 | −1−1 |
Exakta värden för 30° och 60°
Vi kan även härleda de exakta värdena för 30°30° och 60°60° på ett liknande vis. Nedan visas detta och därefter kan vi även lista ett antal exakta värden till.
Vi markerar ut en liksidig triangel som innehåller två rätvinkliga trianglar. I den rätvinkliga triangeln kallar vi den motstående kateten aa och den närliggande kateten bb.
Då vi har en liksidig triangel får vi att
1=2a1=2a
a=a= 2112
Då kan vi ta reda på bb genom pythagoras sats.
(21)2+b2=1(12 )2+b2=1
41+b2=114 +b2=1
b2=b2= 4334
b=b= 43=43=23√34 =√3√4 =√32
Då vi nu har de bägge kateterna aa och bb så kan vi ta fram de exakta värdena för 30°30° och 60°60°. Vi använder de grundläggande trigonometriska sambanden och får
sin30°=sin30°= 121=2112 1 =12
cos30°=cos30°= 123=23√32 1 =√32
tan30°=tan30°= 21/23=3112 /√32 =1√3
sin60°=sin60°= 123=23√32 1 =√32
cos60°=cos60°= 121=2112 1 =12
tan60°=tan60°= 23/21=√32 /12 = 3√3
Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för 120°120°, 150°150°, 210°210°, 240°240°, 300°300° och 330°330° . Vi ritar ut dessa tillsammans med vinklarna 30°30° och 60°60°.
Kommentarer
e-uppgifter (6)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Ange en vinkel där cosinusvärdet är lika med sinusvärdet.
Svara med enheten grader
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 45°(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(2/0/0)ME C A B 1 P PL M R 1 K Ange två olika vinklar som har samma cosinusvärde
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se förklaring för svar(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm tan45∘+2sin90∘tan45∘+2sin90∘ exakt
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 3(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm sin270°−3⋅cos180°sin270°−3·cos180° exakt
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)ME C A B P 1 PL M R K Bestäm punkten Q:sQ:s koordinater.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Q=(−0,91; 0,42)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(2/1/0)M NPE C A B P 2 1 PL M R K Lös ekvationen sin4x=23sin4x=√32 och använd exakta trigonometriska värden som svar.
Använd enheten grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=15∘+n⋅90∘ och x=30∘+n⋅90∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (3)
7. Premium
(1/1/0)ME C A B 1 1 P PL M R K Bestäm sin390∘+cos(−30∘)sin390∘+cos(−30∘) exakt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 21+3 eller 21+23(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(0/2/0)ME C A B P PL M R 2 K Använd enhetscirkeln och symmetrin på den för att motivera att sambandet sinv=sin(180∘−v)sinv=sin(180∘−v) gäller
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se förklaring för motivering(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(0/2/0)ME C A B P PL M R 2 K Använd enhetscirkeln och symmetrin på den för att motivera att cosv=cos(−v)cosv=cos(−v)
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se förklaring för motivering(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (1)
10. Premium
(0/1/1)E C A B P PL M R 1 1 K Använd enhetscirkeln för att visa att sin45°=21sin45°=1√2
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Rätt svar(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Yunus Noori
Det står fel i tabellen för exakta värden när ni skrivit exakta värdet för cos 135 grader = ruten ur 2 delad på 2. Ska det inte stå 1/ruten ur 2
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Yunus,
här gäller liknande din tidigare fråga.
22=2⋅22=21=
Så det är bara två olika sätt att skriva samma sak.
Yunus Noori
I tabellen som ni har skrivit alla exakta trigonometriska värden står det tan 30 grader = ruten ur 3 / 3, borde inte det stå 1/ruten ur 3
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Yunus,
eftersom att 33=3⋅31⋅3=31 kan vi använda vilket som av värdena.
Iman Nagati
Tack!
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Varså god.
Meron amanuel
var hittar man en lista på de allra vanligaste värdena?
Dvs de som man ska minnas utantill
David Admin (Moderator)
Hej Meron,
i fromelbladet från det Nationellaproven i Ma3 kan du se vilka som är de vanligaste värdena. Det är vanligt att läraren låter en ha tillgång till dessa vid prov och därmed behöver du inte memorera något utantill.
Formelblad Ma3
Men stäm av med din lärare. Och kan du Enhetscirkeln kan du själv räka ut en hel del av värdena.
Lycka till!
Tina Westring
När behöver man som elev kunna standardvärden för trig.funktioner?
används det senare i tex. ”envariabelanalyskurser” ?
Simon Rybrand (Moderator)
Oftast har man tillgång till tabeller med dessa värden när man skriver prov på gymnasienivå. Vad det gäller högskolestudier så kan det vara bra att kunna använda enhetscirkeln för de allra vanligaste värdena.
anders vitale
Det är bra att det finns en tabell.
Anna Admin (Moderator)
Ja, eller hur.
Endast Premium-användare kan kommentera.