00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
C
/  Trigonometri

Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkeln

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Här samlar vi i en tabell de viktigaste trigonometriska exakta värdena för cosinus, sinus och tangens. Du ser vinklarna på vinkelmåtten grader och radianer och vilket exakt värde de motsvarar.

I lektionen lär du dig även att använda dessa trigonometriska värden när du jobbar med uppgifter. Dessutom lär du dig hur du kan använda symmetri på enhetscirkeln för att härleda exakta trigonometriska värden.

Exakta trigonometriska funktionsvärden

I bilden nedan hittar du en tabell över de värden som finns listade i formelbladet till nationella prov.

Det är framförallt tabellen här ovan som du kommer att använda dig av vid provtillfällen så det är viktigt att du lär dig att använda den.

I Ma4 introduceras vinkelmåttet radianer längre fram i kapitlet om trigonometri. Det är definierat som den sträcka utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln. Ett helt varv i enhetscirkeln motsvarar 360360360 grader eller 2π2\pi2π radianer, eftersom att enhetscirkeln har radien 111 och därmed har omkretsen 2π2\pi2π.  Med det följer att  111 radian 57\approx5757 grader.

Tabell över alla exakta trigonometriska värden.

Nedan listar vi fler trigonometriska värden som går att härleda utifrån redan befintliga exakta värden och symmetri på enhetscirkeln. Det är bra att du känner till att dessa värden finns.

Grader Radianer Sinus Cosinus Tangens
   0°0\text{°}0°    000   000    111    000 
  30°30\text{°}30°    π6\frac{\pi}{6}π6    12\frac{1}{2}12     32\frac{\sqrt{3}}{2}32     33\frac{\sqrt{3}}{3}33  
  45°45\text{°}45°    π4\frac{\pi}{4}π4     12\frac{1}{\sqrt{2}}12     12\frac{1}{\sqrt{2}}12    111  
  60°60\text{°}60°    π3\frac{\pi}{3}π3     32\frac{\sqrt{3}}{2}32    12\frac{1}{2}12     3\sqrt{3}3  
  90°90\text{°}90°    π2\frac{\pi}{2}π2    111   000   Ej defEj\text{ }defEj deƒ   
  120°120\text{°}120°    2π3\frac{2\pi}{3}2π3  

 32\frac{\sqrt{3}}{2}32   

 12-\frac{1}{2}12   

 3-\sqrt{3}3  

  135°135\text{°}135°    3π4\frac{3\pi}{4}3π4     12\frac{1}{\sqrt{2}}12     22-\frac{\sqrt{2}}{2}22    1-11  
  150°150\text{°}150°    5π6\frac{5\pi}{6}5π6    12\frac{1}{2}12      32-\frac{\sqrt{3}}{2}32    33-\frac{\sqrt{3}}{3}33   
 180°180\text{°}180°   π\piπ   000   1-11   000 
 225°225\text{°}225°   5π4\frac{5\pi}{4}5π4    12-\frac{1}{\sqrt{2}}12    12-\frac{1}{\sqrt{2}}12    111 
 270°270\text{°}270°   3π2\frac{3\pi}{2}3π2    1-11   000   Ej defEj\text{ }defEj deƒ  
 315°315\text{°}315°   7π4\frac{7\pi}{4}7π4    12-\frac{1}{\sqrt{2}}12    12\frac{1}{\sqrt{2}}12    1-11 
 360°360\text{°}360°   2π2\pi2π   000    111   000 

Nedan härleder vi några av exakta värden i denna tabell.

Exakta värden för 0°, 90°, 180° och 270°

Med hjälp av enhetscirkeln kan vi härleda de exakta trigonometriska värdena för  0°, 90°90°90°,  180°180°180° och 270°270°270°. Vi använder här att på enhetscirkeln gäller att punkten vid cirkelns rand har  xxx koordinaten cosv\cos vcosv och  yyy koordinaten sinv\sin vsinv. För att ta fram värdet för tangens så används att tanv=sinvcosv\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}tanv=sinvcosv .

Exakta värden för 45°, 135°, 225° och 315°

Vi ritar ut en vinkel  v=45°v=45°v=45° i enhetscirkeln. Då skapas en rätvinklig triangel (blåmarkerad i figuren nedan) där de två kateterna aaa är lika långa. Vi använder även symmetrin på enhetscirkeln för att markera ut några vinklar till som vi återkommer till nedan.

Med hjälp av pythagoras sats kan vi nu ställa upp och lösa ekvationen

 a2+a2=1a^2+a^2=1a2+a2=1 

 2a2=12a^2=12a2=1 

 a2=12a^2=\frac{1}{2}a2=12  

 a=a=a=12=12=12\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}12 =12 =12   

Nu har vi kateternas längd och med hjälp av de grundläggande trigonometriska sambanden kan vi lista de exakta värdena för 45°45°45°.

 sin45°=\sin45°=sin45°=121=12\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}12 1 =12   

 cos45°=\cos45°=cos45°=  121=12\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}12 1 =12  

 tan45°=\tan45°=tan45°= 1212=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=12 12  =111  

Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för 135°135°135°,  225°225°225° och 315°315°315°. Exempelvis har vinkeln 135°135°135° samma x- och y-koordinat som 45°45°45° men med skillnaden att x-koordinaten är negativ. Därför gäller att

Grader Radianer Sinus Cosinus Tangens
  135°135\text{°}135°    3π4\frac{3\pi}{4}3π4     12\frac{1}{\sqrt{2}}12     22-\frac{\sqrt{2}}{2}22    1-11  
 225°225\text{°}225°   5π4\frac{5\pi}{4}5π4    12-\frac{1}{\sqrt{2}}12   12-\frac{1}{\sqrt{2}}12    111 
 315°315\text{°}315°   7π4\frac{7\pi}{4}7π4    12-\frac{1}{\sqrt{2}}12   12\frac{1}{\sqrt{2}}12    1-11 

Exakta värden för 30° och 60°

Vi kan även härleda de exakta värdena för 30°30°30° och 60°60°60° på ett liknande vis. Nedan visas detta och därefter kan vi även lista ett antal exakta värden till.

Vi markerar ut en liksidig triangel som innehåller två rätvinkliga trianglar. I den rätvinkliga triangeln kallar vi den motstående kateten aaa och den närliggande kateten bbb.

Då vi har en liksidig triangel får vi att

 1=2a1=2a1=2a 

 a=a=a= 12\frac{1}{2}12   

Då kan vi ta reda på bbb genom pythagoras sats.

 (12)2+b2=1\left(\frac{1}{2}\right)^2+b^2=1(12 )2+b2=1 

 14+b2=1\frac{1}{4}+b^2=114 +b2=1

 b2=b^2=b2= 34\frac{3}{4}34   

 b=b=b= 34=34=32\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}34 =34 =32   

Då vi nu har de bägge kateterna aaa och bbb så kan vi ta fram de exakta värdena för 30°30°30° och 60°60°60°. Vi använder de grundläggande trigonometriska sambanden och får

 sin30°=\sin30°=sin30°= 121=12\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}12 1 =12   

 cos30°=\cos30°=cos30°=  321=32\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}32 1 =32  

 tan30°=\tan30°=tan30°=  12/32=13\frac{1}{2}\text{/}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}12 /32 =13  

 sin60°=\sin60°=sin60°= 321=32\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}32 1 =32   

 cos60°=\cos60°=cos60°=  121=12\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}12 1 =12  

 tan60°=\tan60°=tan60°= 32/12=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{/}\frac{1}{2}=32 /12 = 3\sqrt{3}3  

Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för 120°120°120°, 150°150°150°,  210°210°210°,  240°240°240°300°300°300° och  330°330°330° . Vi ritar ut dessa tillsammans med vinklarna 30°30°30° och 60°60°60°.