Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkeln

I bilden nedan hittar vi en tabell över de värden som finns listade i formelbladet till nationella prov.

Det är framför allt tabellen här ovan som vi kommer att använda vid provtillfällen, och därför är det viktigt att vi lär oss att använda den.

I Ma4 introduceras vinkelmåttet radianer längre fram i kapitlet om trigonometri. Det är definierat som den sträcka utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln. Ett helt varv i enhetscirkeln motsvarar $360$360 grader eller $2\pi$2π radianer, eftersom enhetscirkeln har radien $1$1 och därmed har omkretsen $2\pi$2π.  Av det följer att  $1$1 radian $\approx57$≈57 grader.

Nedan listar vi fler trigonometriska värden som går att härleda utifrån redan befintliga exakta värden och symmetri på enhetscirkeln. Det är bra att känna till att de finns.

Nedan härleder vi några av de exakta värdena i denna tabell.

Med hjälp av enhetscirkeln kan vi härleda de exakta trigonometriska värdena för  $0°$0°, $90°$90°,  $180°$180° och $270°$270°. Vi använder här att på enhetscirkeln gäller att punkten vid cirkelns rand har  $x$x-koordinaten $\cos v$cosv och  $y$y-koordinaten $\sin v$sinv. För att ta fram värdet för tangens använder vi att $\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}$tanv=sinvcosv .

Vi ritar ut en vinkel  $v=45°$v=45° i enhetscirkeln. Då skapas en rätvinklig triangel (blåmarkerad i figuren nedan) där de två kateterna $a$a är lika långa. Vi använder även symmetrin på enhetscirkeln för att markera ut några vinklar till som vi återkommer till nedan.

Med hjälp av Pythagoras sats kan vi nu ställa upp och lösa ekvationen

 $a^2+a^2=1$a²+a²=1 

 $2a^2=1$2a²=1 

 $a^2=\frac{1}{2}$a²=12  

 $a=$a=$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$√12 =√1√2 =1√2   

Nu har vi kateternas längd och med hjälp av de grundläggande trigonometriska sambanden kan vi lista de exakta värdena för $45°$45°.

 $\sin45°=$sin45°=$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 1 =1√2   

 $\cos45°=$cos45°=  $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 1 =1√2  

 $\tan45°=$tan45°= $\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=$1√2 1√2  =$1$1  

Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för $135°$135°,  $225°$225° och $315°$315°. Exempelvis har vinkeln $135°$135° samma $x$- och $y$-koordinat som $45°$45° men med skillnaden att $x$-koordinaten är negativ. Därför gäller att

Vi kan även härleda de exakta värdena för $30°$30° och $60°$60° på liknande sätt. Nedan visas detta och därefter kan vi även lista ett antal exakta värden till.

Vi markerar ut en liksidig triangel som innehåller två rätvinkliga trianglar. I den rätvinkliga triangeln kallar vi den motstående kateten $a$a och den närliggande kateten $b$b.

Då vi har en liksidig triangel får vi att

 $1=2a$1=2a 

 $a=$a= $\frac{1}{2}$12   

Då kan vi ta reda på $b$b genom Pythagoras sats.

 $\left(\frac{1}{2}\right)^2+b^2=1$(12 )²+b²=1 

 $\frac{1}{4}+b^2=1$14 +b²=1

 $b^2=$b²= $\frac{3}{4}$34   

 $b=$b= $\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$√34 =√3√4 =√32   

Då vi nu har de bägge kateterna $a$a och $b$b kan vi ta fram de exakta värdena för $30°$30° och $60°$60°. Vi använder de grundläggande trigonometriska sambanden och får

 $\sin30°=$sin30°= $\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$12 1 =12   

 $\cos30°=$cos30°=  $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 1 =√32  

 $\tan30°=$tan30°=  $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$12 √32  =1√3  

 $\sin60°=$sin60°= $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 1 =√32   

 $\cos60°=$cos60°=  $\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$12 1 =12  

 $\tan60°=$tan60°= $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=$√32 12  = $\sqrt{3}$√3  

Med hjälp av symmetrin på enhetscirkeln kan vi även ta fram de exakta värdena för $120°$120°, $150°$150°,  $210°$210°,  $240°$240°, $300°$300° och  $330°$330° . Vi ritar ut dessa tillsammans med vinklarna $30°$30° och $60°$60°.