Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Vinkelmåttet radianer
Innehåll
Vad är radianer?
Vinkelmåttet radianer är precis som grader ett sätt att mäta vinklar. En anledning till att man använder radianer istället för grader är att det i vissa fall blir enklare att beräkna derivator och primitiva funktioner av de trigonometriska funktionerna.
Själva vinkelmåttet $1$1 radian är den vinkel som ger att cirkelbågen som uppstår mellan två radier och radien själv är lika långa.
Den mittpunktsvinkel som ger att cirkelbågen är lika lång som cirkelns radie kallas $1$1 radian.
Det ger att en cirkelbåge som till exempel är tre gånger så lång som radien motsvarar vinkel $3$3 radianer
och är cirkelbågen sex gånger så lång som radien är vinkel $6$6 rad.
Vi ser att $6$6 rad nästan motsvarar ett helt varv. Det fattas ungefär en tredjedels radie. Cirkelns omkrets är alltså ca $6,3$6,3 radier lång, vilket vi lärde oss redan i mellanstadiet. Mer exakt $2\pi\approx2\cdot3,14159..\approx6,3$2π≈2·3,14159..≈6,3 l.e
Exempel 1
Bestäm vinkel $v$v både i vinkelmåttet radianer och grader då cirkelbågen är $4$4 gånger så lång som cirkelns radie.
Lösning
Då cirkelbågen är $4$4 gånger så lång som cirkelns radie är vinkeln $4$4 radianer, vilket kan anges som $4$4 rad.
Då $1$1 rad$=\frac{180^{\circ}}{\pi}$=180∘π är
$4$4 rad$=\frac{4\cdot180^{\circ}}{\pi}=\frac{720^{\circ}}{\pi}\approx$=4·180∘π =720∘π ≈$229^{\circ}$229∘
Det spelar alltså ingen roll hur långa radien är. Vinkeln kommer ändå alltid varar $4$4 rad om den är fyra gånger så lång som radien.
Från grader till radianer och tillbaka igen
Låt oss ta några exempel där vi går från grader till radianer och vice versa. Viktigt att känna till när du jobbar med dessa omvandlingar är att $1˚ = $$\frac{\pi}{180}$π180 rad.
Exempel 2
Uttryck följande vinklar i radianer istället för i grader.
a) $55^{\circ}$55∘
b) $120^{\circ}$120∘
Lösning
Eftersom att $1˚ = $$\frac{\pi}{180}$π180 rad får vi att
a) $55˚=55\cdot$55˚=55·$\frac{\pi}{180}$π180 rad $=\frac{11\pi}{36}$=11π36 rad
b) $120˚=120\cdot$120˚=120·$\frac{\pi}{180}$π180 rad $=\frac{2\pi}{3}$=2π3 rad
Du kan med fördel ange den exakta vinkeln i förenklad bråkform istället för ett närmevärde när du anger en vinkel. Men om vinkeln vid en tillämpning motsvarar en tid eller längd kan du med fördel istället ange närmevärdet.
Exempel 3
Uttryck följande vinklar i grader istället för i radianer.
a) $\frac{\pi}{9}$π9 rad
b) $\frac{2\pi}{5}$2π5 rad
Lösning
Eftersom att $1$1 rad $=\frac{180^{\circ}}{\pi}$=180∘π får vi att
$π/9$ rad $=\frac{\pi}{9}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{180^{\circ}}{9}=$=π9 ·180∘π =180∘9 =$ 20˚$
$2π/5 $ rad $=\frac{2\pi}{5}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{360˚}{5}=$=2π5 ·180∘π =360˚5 =$72˚$
I kommande lektioner kommer du kunna träna på hur de trigonometriska funktionerna ser ut i koordinatsystemet och du får då träna på att rita dem och göra beräknar på både vinklar uttryckt i grader och radianer.
Några vanliga vinklar i vinkelmåttet radianer
Eftersom att vi beräknar cirkelns omkrets med $2\pi\cdot r$2π·r kommer vinkeln som motsvarar ett helt varv alltid vara $2\pi$2π radianer. Utifrån det kan vi konstatera följande samband mellan en vinkel mätt i grader och radianer.
$1˚ = $ $\frac{\pi}{180}$π180 rad
$30˚ = $ $\frac{\pi}{6}$π6 rad
$45˚ = $ $\frac{\pi}{4}$π4 rad
$90˚ = $ $\frac{\pi}{2}$π2 rad
$180˚ = π $ rad
$360˚ = 2π $ rad
$720˚ = 4π $ rad
För att lättare kunna uppskatta om omvandlingen är rimlig är det bra att känna till att $1$1 rad $=\frac{180^{\circ}}{\pi}$=180∘π $\approx57,3^{\circ}$≈57,3∘ och $1^{\circ}\approx$1∘≈ $\frac{\pi}{180}\approx$π180 ≈$0,02$0,02 radianer.
I formel bladet vid nationella proven får du tillgång till denna tabellen.
I lektionen Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkeln tittar vi närmre på sambanden.
När ska jag använda vinkelmåttet radianer istället för grader?
Står det bara $\sin3$sin3 är det underförstått $\sin3$sin3 radianer. Man utelämnar alltså ofta enheten rad. Om man istället vill ange vinkeln i grader skriver man $\sin3^{\circ}$sin3∘.
Nu kanske du frågar dig varför du egentligen skall använda radianer istället för grader? Vad är egentligen meningen med det?
Det finns lite olika fördelar med detta. Till exempel kan vinkelmåttet radianer i vissa fall ge en enklare huvudräkning vid ekvationslösning, derivering och bestämning av primitiv funktion till trigonometriska funktioner. Så för att underlätta din beräkning när du jobbar med trigonometriska funktioner så använd gärna radianer om du får välja.
En annan sak att hålla utkik efter är om $\pi$ används i ett funktionsuttryck. Då används oftast radianer.
Lösa ekvationer med vinkelmåttet radianer
Vi titta nu på några exempel på ekvationer med vinkelmåttet radianer, men sammanfattar först alla lösningar till grundekvationerna för sinus och cosinus.
Alla lösningar till $\sin v=a$sinv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1 ges av
$v=$v=$\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \\\pi -\sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \end{cases}$ där $n$n är ett heltal
Alla lösningar till $\cos v=a$cosv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1 ges av
$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot2\pi$v=±cos−1a+n·2π där $n$n är ett heltal
Exempel 4
Lös ekvationen $\cos x=$cosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32 utan ett digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Lösning
Vi ser i formelbladet att $\cos$cos$\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$π3 =√32 vilket ger att vinkeln $x=$x=$\frac{\pi}{3}$π3 rad är en lösning till ekvationen.
Vi lägger till även den andra lösningen för cosinus, nämligen den negativa vinkeln, och perioden $2\pi$2π.
$x=\pm\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi$x=±π3 +n·2π
Exempel 5
Lös ekvationen $\sin2x=$sin2x= $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 utan ett digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Lösning
Vi ser i formelbladet att $\sin$sin $\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$π4 =1√2 vilket ger att vinkeln $x=$x=$\frac{\pi}{4}$π4 rad är en lösning till ekvationen.
Vi lägger till även den andra lösningen för cosinus, nämligen $\pi-$π−vinkeln, och perioden $2\pi$2π.
$2x=$2x= $\begin{cases} \frac{\pi}{4}+n\cdot 2\pi \\ \pi -\frac{\pi}{4}+n\cdot 2\pi \end{cases}$
$2x=$2x= $\begin{cases} \frac{\pi}{4}+n\cdot 2\pi \\ \frac{3 \pi}{4}+n\cdot 2\pi \end{cases}$
Dividera båda led med $2$2 för att få $x$x ensamt.
$x=$x=$\begin{cases} \frac{\pi}{8}+n\cdot \pi \\ \frac{3 \pi}{8}+n\cdot \pi \end{cases}$
Digitala hjälpmedel och vinklar
De allra flesta räknare och digitala hjälpmedel kan göra beräkningar utifrån både vinkelmåttet radianer och grader. Men det är viktigt att du kontrollerar vilket vinkelmått som ditt digitala hjälpmedel är inställt på och hur du kan ändra det eftersom att det kommer att ge helt olika värden.
Man kan alltid använda båda vinkelmåtten genom att omvandla vinklarna, men du måste veta utifrån vilket vinkelmått tex en modell är utformad. Vi tittar närmre på detta i lektionen Trigonometriska funktioner i GeoGebra.
Exempel i videon
- Exempel på vinklarna $ 1$ rad, $ a $ rad och $ 2 \pi $ rad i en cirkel.
- Bestämning av $180°$, $90°$ och $1°$ i radianer.
- Bestämning av $2 \pi$ rad, $\pi $ rad och $1$ rad i grader.
- Lös ekvationen $ \sin x=0,9 $ och svara i radianer.
- Lös ekvationen $ \cos x = 0,9$ och svara i radianer.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (17)
-
1. Premium
Hur många grader är $2\pi$2π rad?
Svara med enheten grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometri och trigonometriska funktioner Vinkelmåttet radianerRättar...2. Premium
Hur många grader är $\pi$π rad?
Svara med enheten grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometri och trigonometriska funktioner Vinkelmåttet radianerRättar...3. Premium
Hur många grader är $1,4$1,4 radianer? Endast svar krävs.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: omvandling grader och radianer radianerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Hur många grader är $\frac{\pi}{3}$π3 rad?
Svara med enheten grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometri och trigonometriska funktioner Vinkelmåttet radianerRättar...5. Premium
Hur många radianer är $90°$90°?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometri och trigonometriska funktioner Vinkelmåttet radianerRättar...6. Premium
Hur många radianer är $130°$130° ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometri och trigonometriska funktioner Vinkelmåttet radianerRättar...7. Premium
Bestäm vinkel $v$v både i vinkelmåttet radianer och grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Bestäm vinkel $v$v både i vinkelmåttet radianer och grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Bestäm vinkel $v$v både i vinkelmåttet radianer och grader då cirkelbågen är $5$5 gånger så lång som cirkelns radie.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
Lös ekvationen $\cos x=-1$cosx=−1 utan digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: radianer trigonometriska ekvationerRättar...11. Premium
Lös ekvationen $\sin x=1$sinx=1 utan ett digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...12. Premium
Beräkna värdet av uttrycket $\cos\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{\pi}{4}$cosπ4 ·sinπ4 utan digitalt hjälpmedel.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkelnLiknande uppgifter: cosinus sinus trigonometriska värdenRättar...13. Premium
Beräkna värdet av uttrycket $\cos2x-\sin3x$cos2x−sin3x utan digitalt hjälpmedel då $x=$x=$\frac{\pi}{6}$π6
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Exakta trigonometriska värden och symmetrier på enhetscirkelnLiknande uppgifter: cosinus sinus trigonometriska värdenRättar...14. Premium
Lös ekvationen $\cos x=$cosx= $\frac{1}{\sqrt{2}}$1√2 utan digitalt hjälpmedel och ange svaret i radianer.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: radianer trigonometriska ekvationerRättar...15. Premium
Lös ekvationen $\cos x=0,1$cosx=0,1 och svara i radianer.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometri och trigonometriska funktioner Vinkelmåttet radianerRättar...16. Premium
Lös ekvationen $\cos2x=0,5$cos2x=0,5 och svara i radianer.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometri och trigonometriska funktioner Vinkelmåttet radianerRättar...17. Premium
Lös ekvationen $\sin x=0,5$sinx=0,5 och svara i radianer.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometri och trigonometriska funktioner Vinkelmåttet radianerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!Redigera uppgift Stäng Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Elliot Myrsten
Fråga 8 ni skriver att rätt svar är (270 grader och 3pi/4 rad) men det bör vara (270 grader och 3pi/2 rad)
Meron amanuel
Dessa videofilmer är väldigt bra och pedagogiska.
David Admin (Moderator)
Tack, vad roligt att höra, Meron!
Andreas Ährlund-Richter
Svarade rätt på 6an, fick ändå fel svar :/
Simon Rybrand (Moderator)
Vi fixar det, tack för att du sade till!
LindaE
Hej!
Detta kanske är en dum fråga, men hur gör man om man t.ex. har
2x=1,06+n*2π
Blir x då x=0.53+n*π
eller ”behåller” man 2π så att det blir x=0.53+n*2π?
Alltså vad händer med 2π då det är 2x. Divideras 2π eller inte?
Jag tänker att det alltid ska vara n*360 och att 2π därför ej bör divideras.
Jättetacksam för svar!
mvh
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, när du delar med två så delar du även $2\pi$ med två, precis som du beskriver först.
mariam.safia
Hej
En dum fråga!!
När ska man räkna med radianer? Alltså när man löser trigonometriska funktioner?
Tack!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det är inte en dum fråga, det är det många som funderar på. Du hittar en förklaring i texten nedanför videon (Klicka på läs mer).
Alice Kuhlman
Okej, tack! Nej, x skall vara ett gånger tecken, ursäkta för det!
Alice Kuhlman
Hej, jag undrar om en uppgift som ser ut så här:
cos² 5π/3 – sin² 5π/3 = cos 2x 5π/3 = cos 10π/3 = cos (10π/3 – 2π) = cos 4π/3 = -1/2
Hur kommer man fram till första uträkningen? Och tredje? Vilka regler använder man sig av?
Tacksam för svar!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, i det första steget så används formeln för dubbla vinkeln, du hittar den här. Sen vet jag inte riktigt vart du får x ifrån? Var det med från början?
Leila
Hej!
Jag svarade rätt på första frågan det blev pi/2
Men när det rättades skrevs fel svar!!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det beror på att det inte var markerat rätt vilket som är det korrekta svaret i testet, vi har korrigerat detta.
Elsalouise
Hej!
Jättebra förklaringar till grundbegreppen men jag skulle behöva lite tips på hur man går tillväga när man skall börja räkna utan räknare och genom enhetscirkeln.
Ex,
Lös ekv. Fullständigt utan räknare, svara exakt:
Cos(x-pi/4)= (roten ur 2)/2
Jag vet att pi/4=180/4 dvs 45grader men jag vet verkligen inte hur jag ska lösa det, har försökt hitta tabell i formelsamlingen vilket jag ej finner.
Fråga två är hur jag tänker när jag på sin ekv. Ska ta -180 dvs pi- mitt svar, hur skriver jag det u bråk?!
Jag använder Ma-bok matematik 5000 för Ma 4!
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan, du har alltså ekvationen
$ cos(x- \frac{\pi}{4})= \frac{ \sqrt{2} }{2} $
Här kan vi börja med att att ta arccos så att vi får
$ x- \frac{\pi}{4}= ±arccos( \frac{ \sqrt{2} }{2} ) + n⋅2 \pi $
Här gäller att
$ arccos(\frac{ \sqrt{2} }{2})=arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4} $
så vi får
$ x- \frac{\pi}{4}= ±\frac{\pi}{4} + n⋅2 \pi $
Vi får två olika lösningar här där
1) $ x = \frac{\pi}{2} + n⋅2 \pi $
eller
2) $ x = n⋅2 \pi $
Lite svårt att först dina andra fråga här, har du ett exempel vi kan utgå ifrån?
skola111
Hej, jag har fastnat på tre uppgifter, vet inte riktigt om det har med den här genomgången att göra, men uppgifterna är på ett lösblad så kan inte se vilket kapitel det tillhör, hoppas de e okej att jag frågar ändå!
Första: lös ekvationen 4cos*x/2 = 1 ( i grader)
Andra: lös ekvationen 2cos(x+40) =1 (grader)
Tredje: lös ekvationen 2+3 sin5x = 5
Tacksam för svar! för övrigt så är jag jätte nöjd med denna sidan!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Kul att du är nöjd med sidan! Det här är tre trigonometriska ekvationer och alla har ungefär samma lösningsmetod så jag kan hjälpa dig på vägen med några av dem:
1)
4cos(x/2) = 1 (dividera med 4)
cos(x/2) = 0,25 (arccos)
x/2 = ± 75,5° + n⋅360° (*2)
x = ± 151° + n⋅720°
2)
2cos(x+40) =1 (dividera med 2)
cos(x+40) =0,5 (arccos)
x+40 = ±60° + n⋅360°
x = 20° + n⋅360° eller x = -100° + n⋅360°
loefet9
2) – hur kommer det sig att det blir +- 100? Och inte 20?
Simon Rybrand (Moderator)
Det skall inte vara +-100 utan 20 som du skriver, slarvfel från min sida 🙁
Endast Premium-användare kan kommentera.