Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Trigonometri
Trigonometriska ekvationer
Innehåll
En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller något av de trigonometriska sambanden sinus, cosinus eller tangens. I den här lektionen lär du dig att lösa ekvationer med sinus och cosinus fullständigt.
Allmän lösning till sinus
$\sin v=a$sinv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1
Alla lösningar ges av
$v=\sin^{-1}a+n\cdot360°$v=sin−1a+n·360° och $v=180°-\sin^{-1}a+n\cdot360°$v=180°−sin−1a+n·360° där $n$n är ett heltal
Allmän lösning till cosinus
$\cos v=a$cosv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1
Alla lösningar ges av
$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360°$v=±cos−1a+n·360° där $n$n är ett heltal
Metoden för att lösa trigonometriska ekvationer
Själva metoden för att lösa dessa ekvationer kan kortfattat beskrivas enligt följande:
- Se till att $\cos$cos eller $\sin$sinstår ensamt på ena sidan av likhetstecknet först.
- Ta inversen (sinusinvers eller cosinusinvers) på bägge sidor av likhetstecknet. Det som händer då är att du får två olika lösningar med oändligt antal variationer på. Eftersom den så kallade periodiciteten för både sinus och cosinus är $360^{\circ}$360∘ får du alltid variationerna $n\cdot360^{\circ}$n·360∘ där $n$n är ett heltal.
Några exempel på lösningar av trigonometriska ekvationer
Exempel 1
Lös ekvationen $\sin x=0,5$sinx=0,5 fullständigt
Lösning
$\sin x=0,5$sinx=0,5 ta sinusinversen i båda led
$x=\sin^{-1}0,5+n\cdot360°$x=sin−10,5+n·360° beräkna de två möjliga vinklarna i HL
$\begin{cases} x_1=30°+n\cdot 360° \\ x_2=(180°-30°)+n\cdot 360° \end{cases}$
vilket skrivs om till
$\begin{cases} x_1=30°+n\cdot 360° \\ x_2=150°+n\cdot 360° \end{cases}$ där $n$n är ett heltal
Exempel 2
Lös ekvationen $\cos2x=0,9$cos2x=0,9 fullständigt
Lösning
$\cos2x=0,9$cos2x=0,9 ta cosinusinversen i båda led
$2x=\pm\cos^{-1}0,9+n\cdot360^{\circ}$2x=±cos−10,9+n·360∘ beräkna vinklarna i HL
$2x\approx\pm25,8+n\cdot360^{\circ}$2x≈±25,8+n·360∘ dividera båda led med $2$2
$x\approx\pm12,9+n\cdot180^{\circ}$x≈±12,9+n·180∘ där $n$n är ett heltal
Observera att du ska dividera alla termer, det vill säga även perioden, när du löser ut $x$x.
Exempel 3
Ange alla lösningar till $2\cos x=0,764$2cosx=0,764 i intervallet $0\le x\le360^{\circ}$0≤x≤360∘.
Lösning
$2\cos x=0,764$2cosx=0,764 dividera båda led med $2$2
$\cos x=0,382$cosx=0,382 ta cosinusinversen i båda led
$x=\pm\cos^{-1}0,383+n\cdot360$x=±cos−10,383+n·360 beräkna vinklarna i HL
$x\approx\pm68^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x≈±68∘+n·360∘
De lösningar som ligger i intervallet är
$x_1=68^{\circ}$x1=68∘
och
$x_2=-68^{\circ}+360^{\circ}=292^{\circ}$x2=−68∘+360∘=292∘
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
Ange lösningen till $\cos x=-\frac{1}{2}$cosx=−12 i intervallet $0\le x\le180^{\circ}$0≤x≤180∘.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationerRättar...2. Premium
Lös ekvationen $\cos v=0,5$cosv=0,5 i intervallet $0\le v\le180°$0≤v≤180°
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Ange samtliga lösningar till ekvationen $\sin v=0,366$sinv=0,366.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Ange samtliga lösningar till ekvationen $2\cos v=0,852$2cosv=0,852
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationerRättar...5. Premium
Ange den vinkel i intervallet $0<v<360° $ som har samma $y$-värde som punkten $P$.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Lös ekvationen $4\cdot\sin v=2$4·sinv=2 i intervallet $0\le v\le360°$0≤v≤360°
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (4)
-
7. Premium
För vilken eller vilka av vinklarna här nedanför gäller att $\cos v=\cos60°$cosv=cos60° ?
A. $v=-300°$v=−300°
B. $v=-60°$v=−60°
C. $v=120°$v=120°
D. $v=300°$v=300°
E. $v=410°$v=410°Ange ditt svar med aktuella bokstäver.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln geometi sinus trigonometri trigonometriska sambandRättar...8. Premium
Lös ekvationen $\sin x=0,6$sinx=0,6 och ange alla värden på $x$x som uppfyller likheten.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Lös ekvationen $1+2\cos2x=0$1+2cos2x=0 fullständigt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
Din vän har försökt bevisa att $\tan v=-\tan(180°-v)$tanv=−tan(180°−v) men får inte riktigt till det.
I vilket steg anser du din vän gör fel?
Steg 1
Steg 2
Steg 3
Steg 4
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (2)
-
11. Premium
Din vän påstår att $v=45°$ och $u=225°$ har samma värde för tangens och att det kan bevisas utan räknare.
Försök att fundera ut hur din väns bevis skulle kunna se ut och skriv ner det på ett papper. Försök att göra beviset utan räknare. Välj sedan det alternativ du anser stämmer bäst med ditt resultat.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
12. Premium
Lös ekvationen $\cos(x-42°)=0,52$cos(x−42°)=0,52 fullständigt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Sebastian PB
Hej! Har en fråga, i t.ex uppgift 9. Så tar man på slutet 60 grader+ n*180 grader. Varför tar man inte n*360 grader? Vad är själva nledninge till att man ibland skriver 180 och inte 360 för i videon i ex1 och 2. skriver han n*360 på slutet…
tack på förhand!
Louise Widebrant
För att jag läste intervallet fel….. 😛
Louise Widebrant
Hej!
Hur kommer det sig att svaret på första övningsuppgifter är endast x = 120 grader när också x = -120 grader + 360 grader = 240 grader också ligger i intervallet? 🙂
Maja Almlöf
Hej, fråga 7 verkar ge fel svar. Jag svarade abd men fick fel. I förklaringen till uppgiften verkar jag ha rätt.
Johan Ahlberg
Det finns frågor här angående tangens men ingenstans i genomgången förklara det hur tangens fungerar utan den får man först efter att man svarat på frågorna och klickar på förklaring.
Clockwork Cadaver
Om man svarar utan gradtecken på uppgift 4 får man fel svar. Ifall det krävs att man ska svara med gradtecken kanske det borde klargöras i frågan?
E S
Hej!
Uppgifterna visar bara (1/0/0)
Kan man ändra till högre nivå?
Tack.
Mateusz Romanowski
Hej!
Jag undrar över fråga 6. Varför är svaret ±60° om -60° ligger inte i intervallet 0≤v≤360°?
Jag förstår inte riktigt.
Tova Bergman
Verkar vara fel på fråga 6 och 7, det står att jag har fel när jag har svarat rätt.
Andreas Ährlund-Richter
Väldigt konstigt, står att jag har 3 rätt, när jag i själva verket har 2 fel enligt facit.
Anika Hossain
frågan lyder exakt som jag formulerat den ovan ”lös ekvationen svara med en decimal”
Anika Hossain
Finns det ingen video som visar hur man ska slå ihop trigonometriska funktioner?
Jag är på ett tal som lyder såhär:
Lös ekvationen svara med en decimal.
2sinx(sinx-0,3)=0
Så eftersom detta är nollproduktsmetoden får jag i VL att:
x= 0 + n * 180
x= 90 + n*180
i facit står det att man kan slå ihop dem till
x = n * 180
Hur gör man det? Känner mig förvirrad då jag inte hittar någon sida i matteboken som förklarar detta grundligt…
A.
Hej!
Varför är svaren i grader i videon men inte i testfrågorna?
Och varför blir svaret i sista testfrågan inte +- 100,7?
Jag förstår lite varför ett av svaren är -16,7, eftersom -58,7 + 42 = -16,7, jag förstår bara inte varför de andra cosxekvationerna bara hade +- som svar. Hur vet man skillnaden? Kan man se i början på en ekvation om det blir två olika svar eller ett +- svar? (Självklart är det olika svar i alla ekvationer…men jag vet inte hur jag ska förklara det annars.)
Sandra
Hej
Jag sitter och försöker förstå tredje exemplet.
cos(x – 42°) = 0,52
Ni skriver Först tar vi arccosinus – Varför gör man det?? Förstår ej vad sinus kommer in i det hela.
Finns det någonstans med formler /regler hur man ska göra vid dessa typer av ekvationer. Vart finner jag dem.
Tack för svar
darrrrUC
Hej jag har fastnat på ett tal som lyder följande:
sin^2(x) = cos(x) – 1
som jag efter kvadrering och annat blir cos(x) = 1 och svaret står är 0 + 2*pi*n jag förstår inte var detta kommer ifrån.
Borde jag inte kunna göra om cos(x) = 1 till x = arccos (1) och få svaret 0?
Var kommer 2*pi*n ifrån?
mvh Emil Carlsson
AntonWallin
Hej! Jag kollade på cos(x-42°)=-0,33 i min mattebok, och får att en av lösningarna är x ungefär lika med 151 grader + n*360 (lika som i facit). Men det står att den andra lösningen är x ungefär lika med 293 grader + n*360. Stämmer det, och i så fall – hur kommer man fram till det?
Leila
Arccos 0.5 är 60,
Hur man ska slå arccos -0.5?
Förmodligen jag slog fel.
Leila
Min miniräknare ger mig 60 grader för arccos -0.5!!
Men dit svar är 120 grader. Slår jag fel eller?!
samah
va slår man på för att få värdet sinx=0.6 ?
samah
jag slog på miniräknaren som står på hemsidan asin(0.6) men jag fick 0 stämmer det ??
nti_ma4
det är första gången jag ser att du förklarar väldigt bra ^^
nti_ma4
x= (180-30)+n.360
vad är ”n” här?
kan nån förklara det?
nti_ma4
Nr 3 i testfrågorna:
Hur blir det -16,7?
soulpat
Räcker det inte med endast ett svar? Jag menar, -90 och 270 är väl samma sak, eller?
soulpat
Är det korrekt att SinX= – 1 endast ger en lösning?
Niklas81
Väldigt, väldigt bra förklarat. Tack.
Tycker att den här videon, på ett sätt mer än alla andra, visar på kopplingar från början till slutet på ett väldigt pedagogiskt vis.
Men det kanske är fördelen med enhetscirkeln.
Endast Premium-användare kan kommentera.