...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Trigonometri

Repetition av sin, cos och tan

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I den här lektionen repeterar vi de grunder om trigonometri i rätvinkliga trianglar. Du tränar på hantering av sinus, cosinus och tangens och att lösa enklare trigonometriska ekvationer.

Sinus, cosinus och tangen inom trigonometrin

För fler uppgifter på grundnivå kan du återvända till lektionen om sinus, cosinus och tangens.

Trigonometri i Ma3c

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Det område, som i matematiken kallas för trigonometri handlar om samband mellan vinklar och sidor i en triangel.

Det finns många tillämpningsområden. I tidigare kurser har vi introducerat sambanden i rätvinkliga trianglar. I denna kurs ska vi utvidga användning av sinus, cosinus och tangens till att beräkna areor och sidor i alla godtyckliga trianglar, alltså i vilken triangel som helst, även de som inte är rätvinkliga.

Det kommer vi göra med hjälp av det som fått namnet triangelsatserna. Vi kommer titta på areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.

I denna kurs kommer vi även introducera cirkelns ekvation och enhetscirkeln. Men mer om det i kommande lektioner. Först repeterar vi.

De trigonometriska samband i rätvinkliga trianglar som du behöver känna till är följande.

Trigonometriska samband

I triangeln nedan kallas $a$a motstående katet och $b$b för närliggande katet och $c$c för hypotenusan i förhållande till vinkel $v$v.

bild på rätvinklig triangel

Då gäller att

 $\sin v=$sinv= $\frac{a}{c}$ac  

 $\cos v=$cosv=$\frac{b}{c}$bc   

 $\tan v=$tanv=$\frac{a}{b}$ab    

Utifrån dessa definitioner kan vi bestämma vinklar och längder i rätvinkliga trianglar.

Från vinkel till kvot

Beroende på vilken vinkel och sida som är känd på triangeln väljer du lämplig trigonometriskt samband för att bestämma en okänd sida.

Exempel 1

Bestäm längden av triangelns sida $x$x

Exempel 1

Ange med en decimals noggrannhet.

Lösning

Enligt definitionen för cosinus får vi att

 $\cos36^{\circ}=$cos36= $\frac{5}{x}$5x            Multiplicera med $x$x 

 $x\cdot\cos36^{\circ}=5$x·cos36=5          Dividera båda leden med $\cos36^{\circ}$cos36 

 $x=$x= $\frac{5}{\cos36^{\circ}}$5cos36   $\approx6,18\text{ }$6,18  

Triangelns sida är  $x=6,2$x=6,2 cm.

Från kvot till vinkel

Tidigare har vi även visat att du med hjälp av sinusinvers, cosinusinvers och tangensinvers kan bestämma en vinkel om du känner till två sidor i en rätvinklig triangel. Inverserna kan betecknas på två olika vis.

  • Sinusinvers betecknas $\sin^{-1}$sin1  eller $\arcsin$arcsin 
  • Cosinusinvers betecknas  $\cos^{-1}$cos1  eller $\arccos$arccos 
  • Tangensinvers betecknas  $\tan^{-1}$tan1  eller $\arctan$arctan

Även vid bestämmandet av en okänd vinkels storlek väljer du lämplig trigonometriskt samband utifrån vilka sidor som är kända på triangeln.

Följande samband gäller.

 $\sin v=$sinv=  $\frac{a}{c}$ac      ger att     $v=\sin^{-1}$v=sin1  $\left(\frac{a}{c}\right)$(ac ) 

 $\cos v=$cosv=  $\frac{b}{c}$bc      ger att     $v=\cos^{-1}$v=cos1  $\left(\frac{b}{c}\right)$(bc ) 

 $\tan v=$tanv=  $\frac{a}{b}$ab      ger att     $v=\tan^{-1}$v=tan1  $\left(\frac{a}{b}\right)$(ab ) 

Vi visar nu hur man utifrån två sidor på en rätvinklig triangel kan bestämma en vinkel.

Exempel 2

Bestäm vinkeln $v$v.

Lösning

Vi ställer upp sambandet

 $\tan v=$tanv=  $\frac{7}{5}$75          Invers av tangens

 $v=\tan^{-1}\left(\frac{7}{5}\right)\approx54,46^{\circ}$v=tan1(75 )54,46 

Utifrån dessa samband ska vi i kommande lektioner utvidga kunskapen till att kunna beräkna sambandet mellan triangelns area, sidor och vinklar. 

Två speciella trianglar

Det finns två trianglar som genom tiderna fått en särskild uppmärksamhet när de gäller att göra trigonometriska beräkningar.

Det är en likbent triangel som motsvarar en halv kvadrat med sidan $1$1 samt den triangel som uppstår när man dela en liksidig triangel med sidan  $2$2 på mitten.

För dessa båda kan teckna följande snygga exakta samband.

Halv kvadrat med sidan $1$1

Figuren ger de trigonometriska sambanden

  $\sin45^{\circ}=$sin45= $\frac{1}{\sqrt{2}}$12  

  $\cos45^{\circ}=$cos45=$\frac{1}{\sqrt{2}}$12  

 $\tan45^{\circ}=1$tan45=1 

Halv liksidig triangel med sidan  $2$2 

Figuren ger de trigonometriska sambanden

  $\sin30^{\circ}=$sin30= $\frac{1}{2}$12  

  $\cos30^{\circ}=$cos30= $\frac{\sqrt{3}}{2}$32  

 $\tan30^{\circ}=$tan30= $\frac{1}{\sqrt{3}}$13   

  $\sin60^{\circ}=$sin60= $\frac{\sqrt{3}}{2}$32  

  $\cos60^{\circ}=$cos60= $\frac{1}{2}$12  

 $\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$tan60=3  

Dessa samband finns i formelsamlingen och är kraftfulla att använda när man ska lösa ekvationer eller bestämma vinklar utan digitala hjälpmedel.

Exempel 3

Bestäm det exakta värdet av  $\sin60^{\circ}+\cos30^{\circ}$sin60+cos30 utan räknare men med hjälp av följande figur.

Lösning

 Vi läser av sambanden i figuren och får att

  $\sin60^{\circ}+\cos30^{\circ}=$sin60+cos30= $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{2}=$32 +32 =2·32 =  $\sqrt{3}$3 

Tänk på att du själv kan skapa trianglar och vinklar i figurer genom dra olika radier och räta linjer i de givna figurerna. På så sätt kan du lösa uppgifter som till en början verka olösbara.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (11)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur definieras sinus för vinkeln $v$v i en rätvinklig triangel?
    trigonometrikst samband för rätvinklig triangel

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Bestäm den kvot som motsvarar värdet för $\cos v$cosv i triangeln nedan.

    bild på rätvinklig triangel

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $\cos x=0,9$cosx=0,9 

    Ange svaret med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ anger rätt värde på $v$v ?

    rätvinklig triangel med sidorna 3,4,5

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna sidan $a$a i triangeln.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna vinkeln $v$v.

    Rätvinklig triangel

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna vinkeln $v$v.

    Rätvinklig triangel

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Beräkna kraften $\vec{F}$ då $\vec{F}_x=200$ N.

    Avrunda till hela Newton.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm tangens för vinkeln $v$v i en rätvinklig triangel, om dess närliggande katet har längden $5$5 och dess motstående katet har längden $15$15.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm det exakta värdet av  $\left(\sin45^{\circ}\right)^2+\tan45^{\circ}$(sin45)2+tan45 utan räknare men med hjälp av följande figur.

       

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm det exakta värdet av  $\cos60^{\circ}+\sin30^{\circ}$cos60+sin30 utan räknare men med hjälp av följande figur.

    Trigonometri- halv liksidig triangel

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (7)

  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $\tan u$tanu  då  $\tan v=$tanv=  $\frac{7}{11}$711  

    Triangel med två okända vinklar

    Ange exakt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    I en rätvinklig triangel är $\sin v=$sinv=$\frac{\sqrt{3}}{2}$32 . Bestäm  $\cos v$cosv.

    Ange exakt värde.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R
    K

    En liksidig triangel med sidan  $6$6  l.e har delats på mitten till två lika dana räta trianglar.

    Bestäm längden av den längsta kateten i de räta trianglarna.

    Ange exakt värde.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Din vän påstår att i rätvinkliga trianglar gäller att  $\cos v>\sin v$cosv>sinv  för alla vinklar $v$v som är större än $45^{\circ}$45.

    Håller du med?

    Ange ditt svar med Ja eller Nej, men träna även på att motivera det.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R
    K

    Beräkna arean av en liksidig triangel med sidan $\sqrt{3}$3  l.e.

    Lös uppgiften utan räknare och svara exakt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Triangeln $\bigtriangleup ABC$ABC är likbent. Bestäm triangelns omkrets då $\tan x=1$tanx=1  och den längsta sidan på triangeln är $\sqrt{6}$6  l.e.

    Ange svaret med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 18. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/1)
    ECA
    B
    P
    PL11
    M1
    R
    K

    Din vän bor i ett höghus och har gått ut på balkongen för att vinka till dig.

    Du står $30$30 meter från foten av det hus där din vän bor och uppskattar därifrån vinkeln mellan marken och högsta punkten på höghuset till $53^{\circ}$53.

    Din vän vet att hans balkong sitter på en höjd som motsvarar $\frac{7}{10}$710  av hela husets höjd.

    Beräkna, utifrån de uppskattade värdena, hur stor vinkeln mellan marken och undersidan av balkongen är utifrån den plats du står på.

    Ange svaret avrundat till hela grader.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 19. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Ni har fått i uppgift att bestämma längden på en tredje okänd sida i en triangel, där de två kända sidorna är $4$4 och $6$6 cm långa, och vinkeln motstående mot sidan $4$4 är  $40^{\circ}$40.  

    Dina två vänner har fått olika resultat. Kan båda ha rätt?

    Träna på att motivera ditt svar, men ange här endast svaret Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 20. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K1

    Din vän håller på att konstruera ett fönster med formen av en halvcirkel. Figuren visar en ritning av fönstret.

    Ritning av ett fönster

    Bestäm längden $x$x.

    Ange svaret i hela centimeter.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se