...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Trigonometri

Areasatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Areasatsen är en av de tre triangelsatserna tillsammans med sinussatsen och cosinussatsen. Med hjälp av denna sats kan du beräkna arean för en triangel när du känner till längden av två av triangelns sidor samt den mellanliggande vinkeln. Alltså vinkeln vars vinkelben motsvarar de två kända längderna. Satsen ger följande.

Areasatsen

För en triangel $ABC$ABC ges arean av följande kvot.

Bild till areasatsen

  $\text{Area}=$Area= $\frac{b\text{ }c\text{ }\sin A}{2}$b c sinA2  

där  $C$C  är mellanliggande vinkel för sidorna  $a$a och  $b$b 

Då det finns tre vinklar i samma triangel gäller så klart att likhet råden mellan följande tre kvoter, eftersom att de alla motsvarar samma triangels area.  

 $\frac{a\text{ }b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\text{ }c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\text{ }c\cdot\sin B}{2}$a b·sinC2 =b c·sinA2 =a c·sinB2  

Vi använder oss alltså av en av de tre kvoterna i taget för att beräkna en triangels area. Vilken vi väljer beror på vilka sidor och vinklar på triangeln som är kända för oss.

Exempel 1

Beräkna triangelns area

Exempel 1 areasatsen

Lösning

Vi beräknar arean med hjälp av areasatsen. Den ger att

 $Area=$Area=$\frac{2,6\cdot5,0\cdot\sin68^{\circ}}{2}\approx$2,6·5,0·sin682 $6,03$6,03  

 Vi svarar här med enheten areaenhet då inga andra enheter har nämnts i figuren.

 $Area\approx6,03\text{ }a.e$Area6,03 a.e 

Exempel 2

Bestäm v så att arean blir 12

Bestäm vinkeln $v$v så att triangeln får arean $12\text{ }cm^2$12 cm2 

Lösning

Med hjälp av areasatsen ställer vi upp följande ekvation

 $\frac{6\cdot4,8\cdot\sin v}{2}=$6·4,8·sinv2 = $12$12 

Vi löser denna ekvation och börjar med att multiplicera bägge leden med 2

 $6\cdot4,8\cdot\sin v=24$6·4,8·sinv=24 

Nu delar vi med $6\cdot4,8$6·4,8 och får då

 $\sin v=$sinv= $\frac{24}{6\cdot4,8}$246·4,8   

Därefter tar vi sinusinversen i bägge leden och får

 $v=\sin^{-1}\left(\frac{24}{6\cdot4,8}\right)\approx56,4^{\circ}$v=sin1(246·4,8 )56,4 

Därför skall vinkeln vara $56,4^{\circ}$56,4 för att arean skall bli $12\text{ }cm^2$12 cm2 

Bevis av areasatsen

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Vi gör beviset först för när en vinkel A är spetsig. Därefter bevisar vi satsen när vinkel A är trubbig.

1. Spetsig vinkel

Bevis spetsig vinkel areasatsen

Vi antar att vinkeln $A$A är spetsig enligt figuren ovan. När en vinkel är spetsig är den mindre än $90^{\circ}$90 .

Sambandet för sinus kan skrivas som

 $\sin A=$sinA=$\frac{h}{b}$hb   där vi bryter ut   $h=b\cdot\sin A$h=b·sinA.

Arean för en triangel är $A=$A=  $\frac{\text{Basen }\cdot\text{Höjden}}{2}$Basen ·Höjden2   där basen motsvarar $c$c och höjden  $b\cdot\sin A$b·sinA.

Slutligen sätter vi in detta i formeln för att beräkna en triangels area och får att

 $\text{Arean}=$Arean= $\frac{\text{Basen }\cdot\text{Höjden}}{2}=\frac{c\cdot b\cdot\sin A}{2}$Basen ·Höjden2 =c·b·sinA2   vilket är areasatsen.

2. Trubbig vinkel

Bevis areasatsen trubbig vinkel

Nu är vinkeln $A$A trubbig istället i figuren ovan, dvs den är större än $90^{\circ}$90 .

Sambandet för sinus för vinkeln $180^{\circ}-A$180A kan skrivas som

 $\sin\left(180^{\circ}-A\right)=$sin(180A)= $\frac{h}{b}$hb    där vi bryter ut $h=b\cdot\sin\left(180^{\circ}-A\right)$h=b·sin(180A) 

Sambandet för vinklar och sinus ger att $\sin\left(180^{\circ}-A\right)=\sin A$sin(180A)=sinA.  I lektionen om enhetscirkeln bevisar vi det sambandet.

Därför får vi att

 $h=b\cdot\sin\left(180^{\circ}-A\right)=b\cdot\sin A$h=b·sin(180A)=b·sinA 

Då gäller även här att triangelns area kan beskrivas som

 $\text{Area}=$Area= $\frac{c\cdot b\cdot\sin A}{2}$c·b·sinA2   

Detta var beviset för areasatsen.

Exempel i videon

  • Bestäm triangelns area då vinkeln $C=30^{\circ}$C=30$AC=12\text{ }cm$AC=12 cm och $BC=15\text{ }cm$BC=15 cm.
  • En triangeln ABC har sidorna  $AB=8\text{ }m$AB=8 m och  $BC=12\text{ }m$BC=12 m. Bestäm vinkeln B så att triangeln får arean $24\text{ }m^2$24 m2 

Kommentarer

Emmy Palm

Varför är värdet på fråga 7: 6,1 och inte 5,1?

    Anna Admin (Moderator)

    Kan du ha glömt att addera $-\frac{p}{2}$ som är lika med 1 i uppgiften?

Simon Sundberg vux Vuxelev

På övning 8 så är ”3,0m” rätt svar men ”3m” är fel svar. Det kanske är medvetet, men jag har inte stött på det tidigare.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tack för att du sade till, det är korrigerat!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna arean med hjälp av areasatsen då måtten är angivna i enheten meter.

    Trianggel för beräkning av areasatsen

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Beräkna vinkeln $v$v då den spetsiga triangelns area är  $24$24  m².


    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    I den spetsvinkliga triangeln $ABC$ABC är  $AB=12$AB=12  och  $AC=10$AC=10.

    Beräkna vinkeln $A$A om triangelns area är $50$50

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

c-uppgifter (5)

  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Beräkna arean för den ljusblå triangeln i figuren.

    triangel för beräkning med areasatsen

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Beräkna arean med hjälp av areasatsen med en decimals noggrannhet. 

    Måtten är angivna i enheten meter.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm fyrhörningens area.

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    I den spetsvinkliga triangeln nedan är arean $9$9 m². Bestäm triangelns sida $a$a med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/2)
    ECA
    B1
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    I den spetsvinkliga triangeln  $\bigtriangleup ABC$ABC  är arean  $6$6 m². Bestäm triangelns kortaste sida med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (3)

  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K1

    Triangelns area är $20$20 a.e. Bestäm triangelns längsta sida.

    Likbent

    Avrunda till en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Beräkna den blåa arena då den regelbundna sexhörningen har sidan $4$4 l.e.

    Avrunda till en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K1

    Figuren visar en triangel med sidan $x$x

    Liksidig triangel

    Ange det värde på $k$k som ger att triangelns area kan beskrivas med formeln   $\text{Area}=k\cdot x^2$Area=k·x2 

    Avrunda till två decimalers noggrannhet.

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se