...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Trigonometri

Areasatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Areasatsen är en av de tre triangelsatserna tillsammans med sinussatsen och cosinussatsen. Med hjälp av denna sats kan du beräkna arean för en triangel när du känner till två längder i en triangeln och vinkeln mellan dessa bägge längder.

Areasatsen

Bild till areasatsen

Vi kan beräkna arean med areasatsen på tre olika sätt beroende på vilka sidor och vinklar som används.

  $\text{Area}=$Area=$\frac{absinC}{2}=\frac{bcsinA}{2}=\frac{acsinB}{2}$absinC2 =bcsinA2 =acsinB2  

Exempel 1

Beräkna triangelns area

Exempel 1 areasatsen

Lösning

Vi beräknar arean med hjälp av areasatsen. Den ger att

 $Area=\frac{2,6\cdot5,0\cdot sin68^{\circ}}{2}\approx6,03$Area=2,6·5,0·sin682 6,03 

 Vi svarar här med enheten areaenhet då inga andra enheter har nämnts i figuren.

 $Area\approx6,03\text{ }a.e$Area6,03 a.e 

Exempel 2

Bestäm v så att arean blir 12

Bestäm vinkeln $v$v så att triangeln får arean $12\text{ }cm^2$12 cm2 

Lösning

Med hjälp av areasatsen ställer vi upp följande ekvation

 $\frac{6\cdot4,8\cdot sinv}{2}=12$6·4,8·sinv2 =12

Vi löser denna ekvation och börjar med att multiplicera bägge leden med 2

 $6\cdot4,8\cdot sinv=24$6·4,8·sinv=24 

Nu delar vi med $6\cdot4,8$6·4,8 och får då

 $sinv=\frac{24}{6\cdot4,8}$sinv=246·4,8  

Därefter tar vi arcsin i bägge leden och får

 $v=arcsin\left(\frac{24}{6\cdot4,8}\right)\approx56,4^{\circ}$v=arcsin(246·4,8 )56,4

Därför skall vinkeln vara $56,4^{\circ}$56,4 för att arean skall bli $12\text{ }cm^2$12 cm2 

Bevis av areasatsen

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Vi gör beviset först för när en vinkel A är spetsig. Därefter bevisar vi satsen när vinkel A är trubbig.

1. Spetsig vinkel

Bevis spetsig vinkel areasatsen

Vi antar att vinkeln $A$A är spetsig enligt figuren ovan. När en vinkel är spetsig är den mindre än $90^{\circ}$90 .

Sambandet för sinus kan skrivas som

 $sinA=\frac{h}{b}$sinA=hb  där vi bryter ut  $h=b\cdot sinA$h=b·sinA.

Arean för en triangel är $A=\frac{bas\cdot höjd}{2}$A=bas·höjd2  och här kan detta beskrivas som $bas=c$bas=c och $h=b\cdot sinA$h=b·sinA.

Slutligen sätter vi in detta i areaformeln och får att

 $Area=\frac{bas\cdot höjd}{3}=\frac{c\cdot b\cdot sinA}{2}$Area=bas·höjd3 =c·b·sinA2  vilket är areasatsen!

2. Trubbig vinkel

Bevis areasatsen trubbig vinkel

Nu är vinkeln $A$A trubbig istället i figuren ovan, dvs den är större än $90^{\circ}$90 .

Sambandet för sinus för vinkeln $180^{\circ}-A$180A kan skrivas som

 $sin\left(180^{\circ}-A\right)=\frac{h}{b}$sin(180A)=hb  där vi bryter ut $h=b\cdot sin\left(180^{\circ}-A\right)$h=b·sin(180A) 

Dessutom kan vi skriva $sin\left(180^{\circ}-A\right)=sinA$sin(180A)=sinA. Se denna lektion om enhetscirkeln.

Därför får vi att

 $h=b\cdot sin\left(180^{\circ}-A\right)=b\cdot sinA$h=b·sin(180A)=b·sinA

Då gäller även här att triangelns area kan beskrivas som

 $Area=\frac{c\cdot b\cdot sinA}{2}$Area=c·b·sinA2  

Exempel i videon

  • Bestäm triangelns area då vinkeln $C=30^{\circ}$C=30$AC=12\text{ }cm$AC=12 cm och $BC=15\text{ }cm$BC=15 cm.
  • En triangeln ABC har sidorna  $AB=8\text{ }m$AB=8 m och  $BC=12\text{ }m$BC=12 m. Bestäm vinkeln B så att triangeln får arean $24\text{ }m^2$24 m2 

Kommentarer

Simon Sundberg vux Vuxelev

På övning 8 så är ”3,0m” rätt svar men ”3m” är fel svar. Det kanske är medvetet, men jag har inte stött på det tidigare.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tack för att du sade till, det är korrigerat!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna arean med hjälp av areasatsen då måtten är angivna i enheten meter.

    Trianggel för beräkning av areasatsen

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Beräkna vinkeln $v$ då den spetsiga triangelns area är $24$ m².


    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    I den spetsvinkliga triangeln $ABC$ är $AB=12 $ och $AC=10$. Beräkna vinkeln $A$ om triangelns area är $50$ m²

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

c-uppgifter (5)

  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Beräkna arean för den ljusblå triangeln i figuren.

    triangel för beräkning med areasatsen

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Beräkna arean med hjälp av areasatsen med en decimals noggrannhet. 

    Måtten är angivna i enheten meter.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm fyrhörningens area.

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    I den spetsvinkliga triangeln nedan är arean $9$9 m². Bestäm triangelns sida $a$a med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/2)
    ECA
    B1
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    I den spetsvinkliga triangeln  $\bigtriangleup ABC$ABC  är arean  $6$6 m². Bestäm triangelns kortaste sida med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se