Areasatsen

Vi gör beviset först för när en vinkel A är spetsig. Därefter bevisar vi satsen när vinkel A är trubbig.

1. Spetsig vinkel

Vi antar att vinkeln $A$A är spetsig enligt figuren ovan. När en vinkel är spetsig är den mindre än $90^{\circ}$90^∘ .

Sambandet för sinus kan skrivas som

 $\sin A=$sinA=$\frac{h}{b}$hb   där vi bryter ut   $h=b\cdot\sin A$h=b·sinA.

Arean för en triangel är $A=$A=  $\frac{\text{Basen }\cdot\text{Höjden}}{2}$Basen ·Höjden2   där basen motsvarar $c$c och höjden  $b\cdot\sin A$b·sinA.

Slutligen sätter vi in detta i formeln för att beräkna en triangels area och får att

 $\text{Arean}=$Arean= $\frac{\text{Basen }\cdot\text{Höjden}}{2}=\frac{c\cdot b\cdot\sin A}{2}$Basen ·Höjden2 =c·b·sinA2   vilket är areasatsen.

2. Trubbig vinkel

Nu är vinkeln $A$A trubbig istället i figuren ovan, dvs den är större än $90^{\circ}$90^∘ .

Sambandet för sinus för vinkeln $180^{\circ}-A$180^∘−A kan skrivas som

 $\sin\left(180^{\circ}-A\right)=$sin(180^∘−A)= $\frac{h}{b}$hb    där vi bryter ut $h=b\cdot\sin\left(180^{\circ}-A\right)$h=b·sin(180^∘−A) 

Sambandet för vinklar och sinus ger att $\sin\left(180^{\circ}-A\right)=\sin A$sin(180^∘−A)=sinA.  I lektionen om enhetscirkeln bevisar vi det sambandet.

Därför får vi att

 $h=b\cdot\sin\left(180^{\circ}-A\right)=b\cdot\sin A$h=b·sin(180^∘−A)=b·sinA 

Då gäller även här att triangelns area kan beskrivas som

 $\text{Area}=$Area= $\frac{c\cdot b\cdot\sin A}{2}$c·b·sinA2   

Detta var beviset för areasatsen.

• Bestäm triangelns area då vinkeln $C=30^{\circ}$C=30^∘, $AC=12\text{ }cm$AC=12 cm och $BC=15\text{ }cm$BC=15 cm.
• En triangeln ABC har sidorna  $AB=8\text{ }m$AB=8 m och  $BC=12\text{ }m$BC=12 m. Bestäm vinkeln B så att triangeln får arean $24\text{ }m^2$24 m²