Linjär Optimering - olikheter, plan och halvplan

Linjär optimering är en metod för att hitta ett så bra, eller optimalt, värde som möjligt utifrån en viss situation. En situation med ett antal olika villkor. Villkoren definieras utifrån situationens förutsättningar. Det kan handla om många olika begränsningar men ofta är de ekonomiska, rumsliga, mängd eller tidsmässiga begränsningar.

Begränsningarna kallas för villkor och beskrivs i denna kurs som linjära olikheter. Dessa olika villkor kommer tillsammans att begränsa ett område i planet. Alla punkter i området kommer att klara alla begränsningar, uppfylla alla villkor, och därmed vara värden som är möjliga utifrån villkoren. Med linjär optimering kan vi inte bara hitta alla möjliga värden, utan även det bästa värdet.

För att kunna räkna med linjär optimering behöver vi först repetera och introducera några begrepp. Nämligen olikheter, plan, halvplan, räta linjens ekvation och linjära ekvationssystem.

En olikhet beskriver ett storleksförhållande för t.ex. en variabel. Vanligtvis används symbolerna <, >, ≥, ≤ för att beskriva olikheten. Några exempel kan vara

• $x$ $< 999$ utläser vi som $x$ är mindre än $999$.
• $x ≥ -55$ utläser vi som $x$ är större eller lika med $-55$
• $0 ≤ x ≤ 10$ utläser vi som $x$ är större eller lika med $0$ och mindre eller lika med $10$.

På detta sätt kan vi på ett effektivt sätt beskriva ett oändligt antal olika värden på en variabel i ett intervall. 

På liknande sätt kan vi med linjära olikheter beskriva ett oändligt antal önskvärda punkter i ett plan.

Med ett plan menas ett tvådimensionellt geometriskt objekt som alltså har en höjd och en bredd men inget djup. I genomgången beskriver vi planet med hjälp av ett koordinatsystem så att det blir tydligt vad som är $x$-, respektive $y$-led.

Olikheterna avgör om vi avser planet ovan eller under linjen. 

Ett trick för att avgöra om planet är över eller under linjen är att föra handen mot linjen ovanifrån, med handflatan nedåt. När en del av handen når linjen får resten av handen vinklas för att också landa på den. Området under handen är under linjen, och området ovanför handen är ovanför linjen.

• Företaget ekonomibröderna AB erbjuder två kurser i bokföring. De kan max ha $80$ kurser per år med totalt max $1000$ deltagare. Intäkterna ges av tabellen i genomgången. Grundkursen i bokföring ger intäkter på $4000$ kr och att de max kan ha $10$ deltagare per kurs. Fortsättningskursen ger intäkter på $6000$ kr och att där kan de max ha $20$ deltagare per kurs. Frågan är nu hur många av varje typ av kurs företaget ska hålla för att maximera sina intäkter under ett år?
• Beskriv $x ≥ 1$ på en tallinje.
• Beskriv $x > 1$ på en tallinje.
• Beskriv $-1 < $ $x ≤ 4$ på en tallinje.
• Markera $ y ≥ x + 1$ i planet.