Name: Tillämpning Integraler- E-uppgifter - (Matte 3, Matte 4) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4.5 (22 reviews)

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Tillämpning av integraler
Hastighet – Sträcka
Kraft – Arbete
Tillväxthastighet – Befolkningstillväxt
Acceleration – Hastighet
Längd – Area
Marginalkostnad – Kostnadsändring
Area – Volym
Utflöde – Volym
Effekt – Energiförbrukning
Vilken enhet ska tillämpningen ha?
Formler och begrepp som används vid tillämpningar
Arean mellan kurvor
Egenskaper hos integraler
Exempel i videon
Kommentarer

Tillämpning av integraler

Vid tillämpning av integraler bestämmer man ofta en storhet. Storheter uttrycks med ett mätetal och en enhet. Exempelvis är sträckan $4$ 4 km, kostnaden $10\text{ }000$ 10 000 kr och volymen $250$ 250 liter storheter.

Som hjälp för att avgöra vilken integrand som ger en viss integral, kan man tänka att integralen kan ses som en summa av en massa förändringar. Därför gör vi här nedan en uppräkning av tillämpningsområden. Dessa har du stor nytta av att använda som stöd vi dina beräkningar på tillämpningar med integraler.

Notera att en integral aldrig har enhet, utan endas ett värde. Men vid tillämpning kan man använda en integral som matematisk modell och en storhet kan då läggas till vid tolkningen av integralens värde. Så egentligen är det inte integralen som motsvarar en storhet, utan tolkningen av integralen som ges en storhet.

Hastighet – Sträcka

Kraft – Arbete

Tillväxthastighet – Befolkningstillväxt

Acceleration – Hastighet

Längd – Area

Marginalkostnad – Kostnadsändring

Area – Volym

Utflöde – Volym

Effekt – Energiförbrukning

Vilken enhet ska tillämpningen ha?

När vi tittade på hur man kan bestämma en area som motsvarar en integral, delade vi upp den i rektanglar. Deras areor beräknas med basen gånger höjden, vilket i detta fall motsvarar $\bigtriangleup y\cdot\bigtriangleup x$ △y·△x. När vi ska bestämma en enhet för en tillämpning som gjort med hjälp av en integral gäller samma sak. Nämligen att tillämpningens enhet fås genom multiplikation mellan $y$ y -axelns enhet med $x$ x -axelns enhet.

$\text{Integralens enhet}=y\text{-axelns enhet}\cdot x\text{-axelns enhet}$ Integralens enhet=y-axelns enhet·x-axelns enhet

Ett tips är att använda denna kunskap. För men hjälp av enheterna i uppgiften kan du förhoppningsvis lista ut vilken funktion som är integrandens och vilken som är integralens storhet, genom att jämföra enheterna.

Exempel 1

Vilken enhet motsvarar integralen, då integranden är hastigheten $v\left(t\right)$ v(t) angiven i km/h med avseende på tiden $t$ t i timmar?

Lösning

Genom att multiplicera $y$ y -axelns enhet med $x$ x -axelns enhet, får vi integralens enhet

till $\frac{km}{h}$ kmh $\cdot h=km$ ·h=km.

När integranden är en funktion för hastighet, motsvarar integralen en sträcka.

Exempel 2

Vilken enhet motsvarar integralen, då integranden är tillväxthastigheten hos en befolkning $N’\left(t\right)$ N’(t) angiven i personer/år med avseende på tiden $t$ t i år?

Lösning

Genom att multiplicera $y$ y -axelns enhet med $x$ x -axelns enhet, får vi integralens enhet

till $\frac{\text{personer}}{\text{år}}$ personerår $\cdot\text{år}=\text{personer}$ ·år=personer.

När integranden är en funktion för tillväxthastigheten i personer /år, motsvarar integralen befolkningstillväxten i antal personer.

Formler och begrepp som används vid tillämpningar

Ofta ligger svårigheten i tillämpningen att se sambandet mellan integralen och integranden. När vi väl lyckas teckna den integral som gör det möjligt att lösa problemet använder man de vanliga metoderna för att beräkna integralen. Därför har du stor hjälp av av exemplen på tillämpningar här ovan.

Integralkalkylens fundamentalsats

$\int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a)$ där

$a$ är den undre intervallgränsen och $b$ den övre.
$f(x)$ är integranden, dvs den funktion vi tar fram primitiv funktion $F(x)$ på.
För att få fram värdet på integralen beräknas sedan $F(b) – F(a)$

Arean mellan kurvor

I föregående lektion gick vi igenom hur man beräknar arean mellan två kurvor. Det kan du dessutom ha nytta av vid tillämpningar. Därför följer formeln för proceduren för beräkning av en sådan integral.

Area mellan kurvor

Arean mellan en övre kurva $f\left(x\right)$ ƒ (x) och en undre $g\left(x\right)$ g(x) i intervallet $a$ till $b$ motsvarar värdet av integralen

$\int\limits_a^b f(x) – g(x) dx$

Egenskaper hos integraler

Integraler har ett antal egenskaper. Som ett resultat av det har du nytta av att känna till följande.

Egenskaper hos integraler

$\int_a^bk\text{ }\cdot f\left(x\right)\text{ }dx=k\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$ ∫_a^bk ·ƒ (x) dx=k ∫_a^bƒ (x) dx där $k$ k är en konstant.

$\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx+\text{ }\int_b^cf\left(x\right)\text{ }dx=\int_a^cf\left(x\right)\text{ }dx$ ∫_a^bƒ (x) dx+ ∫_b^cƒ (x) dx=∫_a^cƒ (x) dx då $a\le b\le c$ a≤b≤c

$\int_a^bf\left(x\right)\text{ }\pm g\left(x\right)dx=\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx\text{ }\pm\text{ }\int_a^bg\left(x\right)\text{ }dx$ ∫_a^bƒ (x) ±g(x)dx= ∫_a^bƒ (x) dx ± ∫_a^bg(x) dx

$\text{ }\int_a^af\left(x\right)\text{ }dx=0$ ∫_a^aƒ (x) dx=0

$\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx=\text{ }-\int_b^af\left(x\right)\text{ }dx$ ∫_a^bƒ (x) dx= −∫_b^aƒ (x) dx

Man kan alltså tolka integralen som en summa av areorna över $x$ x -axeln minus areorna under $x$ x -axeln.

Exempel 3

Beräkna integralen $\int_1^330\left(\frac{x^2}{3}-4x\right)\text{ }dx$ ∫₁³30(x²3 −4x) dx

Lösning

Genom att $\int_a^bk\text{ }\cdot f\left(x\right)\text{ }dx=k\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$ ∫_a^bk ·ƒ (x) dx=k ∫_a^bƒ (x) dx där $k$ k är en konstant, kan vi beräkna integralen som

$\int_1^330\left(\frac{x^2}{3}-4x\right)\text{ }dx=30\text{ }\int_1^3\frac{x^2}{3}-4x\text{ }dx$ ∫₁³30(x²3 −4x) dx=30 ∫₁³x²3 −4x dx

$30\text{ }\int_1^3\frac{x^2}{3}-4x\text{ }dx=30\left[x^3-2x^2\right]^{^3}_1=$ 30 ∫₁³x²3 −4x dx=30[x³−2x²]^³₁=

$30\left(\left(3^3-2\cdot3^2\right)-\left(1^3-2\cdot1^2\right)\right)=$ 30((3³−2·3²)−(1³−2·1²))=

$30\left(9-\left(-1\right)\right)=30\cdot10=300$ 30(9−(−1))=30·10=300

Exempel i videon

Den kraft F(s) som krävs för att flytta en låda framåt en sträcka ges av F(s) = 400 där s är sträckan i meter. Beräkna arbetet som krävs för att flytta lådan 6 meter.
Eva kastar en boll till Juan. Bollens hastighet v m/s beskrivs av funktionen v(t) = -0,2t² + 10 där t är tiden i sek. Det tar 3 sekunder för bollen att nå
fram till Juan. Hur lång sträcka har bollen färdats?

Nästa lektion: Tillämpning Integraler – CA-uppgifter

Kommentarer

Albin Holmgren

2019-08-18

Tror ni har missat att ta 15^2 på sista uträkningen av fråga 12. Rätt svar ska vara 22500 istället för 43500. Tack för annars strålande lektioner!

Simon Rybrand (Moderator)

2019-08-19

Vi kikar på denna fråga så fort vi kan och korrigerar den om så behövs!

Gustav Nyström

2017-09-18

Hej
På fråga 2 ovan skall arean för det streckade området under funktionen. På bilden är arean som skall beräknas streckad från x=-1 till x=5 men i lösningen beräknas arean från x=0 till x=5. Undrar således om det blivit något fel eller om det är jag som har missat något?
Tack på förhand! // Gustav

Simon Rybrand (Moderator)

2017-09-29

Hej
Du har inte missat något, vi korrigerar det.

Mattefreak

2016-02-10

Hej!

Sitter fast på en uppgift.

Bestäm den maximala arean för den rektangel som har ett hörn i origo och det motstående hörnet på grafen till den räta linjen x+2y=200. Tänk på höjden över x ges av värdet y som kan bestämmas av hjälp av linjens ekvation.

Tacksam för hjälp

Simon Rybrand (Moderator)

2016-02-10

Hej
Skriv först om linjens ekvation så att du löser ut $y$ ,dvs som
$y=-\frac{x}{2}+100$
Rektangelns bredd är $x$ och höjden är $y=-\frac{x}{2}+100$
Så arean kommer att bara
$A(x)=x·(-\frac{x}{2}+100)=-\frac{x^2}{2}+100x$
Denna funktion optimerar du nu med hjälp av derivata för att hitta den maximala arean. Hoppas att detta hjälper dig vidare!

Mattefreak

2016-02-10

Tack! Det hjälpte bra 🙂

Har en till som är lite knepig.

Bestäm med hjälp av en integral storleken på den yta som ligger mellan grafen till f(x)=5x-X^2 och x-axeln.

Simon Rybrand (Moderator)

2016-02-11

Först tar du reda på var grafen skär x-axeln genom ekvationen
$5x-x^2=0 ⇔$
$x(5-x)=0 ⇔$
$x_1=0$ och $x_2=5$
För att ta reda på arean mellan x-axeln och grafen beräknar du integralen
$\int\limits_{0}^{5}\,5x-x^2\,dx$
Kommer du vidare utifrån detta?
Grafen ser ut på följande vis

johnrobert

2014-12-04

Hej jag undrar om inte fråga 5 har blivit lite fel eller så har jag inte förstått frågan.mvh Johnrobert

Simon Rybrand (Moderator)

2014-12-05

Hej
Ja det var fel i formuleringen av frågan, integralgränserna skall vara från (k-1) till k och inte 5. Tack för att du påpekade detta.

Matematik 3

Välj kurs

KURSER /

Matematik 3

/ Primitiva funktioner och integraler

Tillämpning Integraler- E-uppgifter

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Exempel 1

Lösning

Exempel 2

Lösning

Integralkalkylens fundamentalsats

Area mellan kurvor

Egenskaper hos integraler

Exempel 3

Lösning

Albin Holmgren

Simon Rybrand (Moderator)

Gustav Nyström

Simon Rybrand (Moderator)

Mattefreak

Simon Rybrand (Moderator)

Mattefreak

Simon Rybrand (Moderator)

johnrobert

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...