...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 3
 /   Primitiva funktioner och integraler

Tillämpning Integraler- E-uppgifter

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Tillämpning av integraler

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Vid tillämpning av integraler bestämmer man ofta en storhet. Storheter uttrycks med ett mätetal och en enhet. Exempelvis är sträckan $4$4 km, kostnaden $10\text{ }000$10 000 kr och volymen $250$250 liter storheter.

Som hjälp för att avgöra vilken integrand (funktionen som begränsar arean tillsammans med $x$x-axeln) som ger en viss integral, kan man tänka att integralen kan ses som en summa av en massa förändringar. Därför gör vi här nedan en uppräkning av tillämpningsområden. Dessa har du stor nytta av att använda som stöd vi dina beräkningar på tillämpningar med integraler.

Hastighet – Sträcka

tillämpning Integral för sträckan

Kraft – Arbete

tillämpning Integraler för arbetet

Tillväxthastighet – Befolkningstillväxt

tillämpning Integral tillväxthastighet

Acceleration – Hastighet

Integral till hastighet

Längd – Area

Integral för arean

Marginalkostnad – Kostnadsändring

Integral för marginalkostnad

Area – Volym

tillämpning Integral till volym

Utflöde – Volym

Integral för volym

Effekt – Energiförbrukning

tillämpningar av integral för energiförbrukning

Vilken enhet ska integralen ha?

När vi tittade på hur man kan bestämma integralens area, delade vi upp den i rektanglar. Deras areor beräknas med basen gånger höjden, vilket i detta fall motsvarar  $\bigtriangleup y\cdot\bigtriangleup x$y·x.  När vi ska bestämma en integrals enhet gäller samma sak. Nämligen att integralens enhet fås genom multiplikation mellan $y$y -axelns enhet med $x$x -axelns enhet. 

 $\text{Integralen enhet}=y\text{-axelns enhet}\cdot x\text{-axelns enhet}$Integralen enhet=y-axelns enhet·x-axelns enhet 

Ett tips är att använda denna kunskap. För men hjälp av enheterna i uppgiften kan du förhoppningsvis lista ut vilken funktion som är integrandens och vilken som är integralens storhet, genom att jämföra enheterna.

Exempel 1 

Vilken enhet motsvarar integralen, då integranden är hastigheten $v\left(t\right)$v(t) angiven i km/h med avseende på tiden $t$t i timmar?

Lösning:

Genom att multiplicera $y$y -axelns enhet med $x$x -axelns enhet, får vi integralens enhet till  $\frac{km}{h}$kmh  $\cdot h=km$·h=km .

Integral som sträcka

När integranden är en funktion för hastighet, motsvarar integralen en sträcka.

Exempel 2

Vilken enhet motsvarar integralen, då integranden är tillväxthastigheten hos en befolkning $N’\left(t\right)$N(t) angiven i personer/år med avseende på tiden $t$t i år?

Lösning:

Genom att multiplicera $y$y -axelns enhet med $x$x -axelns enhet, får vi integralens enhet till  $\frac{\text{personer}}{\text{år}}$personerår  $\cdot\text{år}=\text{personer}$·år=personer 

år $=$= personer.

Integral som befolkningsmängd

När integranden är en funktion för tillväxthastigheten i personer /år, motsvarar integralen befolkningstillväxten i antal personer.

Formler och begrepp som används vid tillämpningar

Ofta ligger svårigheten i tillämpningen att se sambandet mellan integralen och integranden. När vi väl lyckas teckna den integral som gör det möjligt att lösa problemet använder man de vanliga metoderna för att beräkna integralen. Därför har du stor hjälp av av exemplen på tillämpningar här ovan.

Integralkalkylens fundamentalsats

$ \int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a) $ där

a är den undre gränsen och b den övre.
f(x) är integranden, dvs den funktion vi tar fram primitiv funktion F(x) på.
För att få fram värdet på integralen beräknas sedan F(b) – F(a)

Arean mellan kurvor

I föregående lektion gick vi igenom hur man beräknar integralen mellan två kurvor. Det kan du dessutom ha nytta av vid tillämpningar. Därför följer formeln för proceduren för beräkning av en sådan integral.

Area mellan kurvor

Arean mellan en övre kurva  $f\left(x\right)$ƒ (x) och en undre  $g\left(x\right)$g(x) i intervallet $a$ till $b$ motsvarar värdet av integralen

$ \int\limits_a^b (f(x) – g(x)) dx $

Egenskaper hos integraler

Integraler har ett antal egenskaper. Som ett resultat av det har du nytta av att känna till följande.

Egenskaper hos integraler

 $\int_a^bk\text{ }\cdot f\left(x\right)\text{ }dx=k\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$abk ·ƒ (x) dx=k abƒ (x) dx    där  $k$k är en konstant.

 $\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx+\text{ }\int_b^cf\left(x\right)\text{ }dx=\int_a^cf\left(x\right)\text{ }dx$abƒ (x) dx+ bcƒ (x) dx=acƒ (x) dx  då  $a\le b\le c$abc 

  $\int_a^bf\left(x\right)\text{ }\pm g\left(x\right)dx=\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx\text{ }\pm\text{ }\int_a^bg\left(x\right)\text{ }dx$abƒ (x) ±g(x)dx= abƒ (x) dx ± abg(x) dx

 $\text{ }\int_a^af\left(x\right)\text{ }dx=0$ aaƒ (x) dx=0 

 $\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx=\text{ }-\int_b^af\left(x\right)\text{ }dx$ abƒ (x) dx= baƒ (x) dx  

Man kan alltså tolka integralen som en summa av areorna över  $x$x -axeln minus areorna under  $x$x -axeln.

Exempel i videon

  • Den kraft F(s) som krävs för att flytta en låda framåt en sträcka ges av F(s) = 400 där s är sträckan i meter. Beräkna arbetet som krävs för att flytta lådan 6 meter.
  • Eva kastar en boll till Juan. Bollens hastighet v m/s beskrivs av funktionen v(t) = -0,2t² + 10 där t är tiden i sek. Det tar 3 sekunder för bollen att nå
    fram till Juan. Hur lång sträcka har bollen färdats?

Kommentarer

Albin Holmgren

Tror ni har missat att ta 15^2 på sista uträkningen av fråga 12. Rätt svar ska vara 22500 istället för 43500. Tack för annars strålande lektioner!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi kikar på denna fråga så fort vi kan och korrigerar den om så behövs!

Gustav Nyström

Hej
På fråga 2 ovan skall arean för det streckade området under funktionen. På bilden är arean som skall beräknas streckad från x=-1 till x=5 men i lösningen beräknas arean från x=0 till x=5. Undrar således om det blivit något fel eller om det är jag som har missat något?
Tack på förhand! // Gustav

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du har inte missat något, vi korrigerar det.

Mattefreak

Hej!

Sitter fast på en uppgift.

Bestäm den maximala arean för den rektangel som har ett hörn i origo och det motstående hörnet på grafen till den räta linjen x+2y=200. Tänk på höjden över x ges av värdet y som kan bestämmas av hjälp av linjens ekvation.

Tacksam för hjälp

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Skriv först om linjens ekvation så att du löser ut $y$,dvs som
    $y=-\frac{x}{2}+100$
    Rektangelns bredd är $x$ och höjden är $y=-\frac{x}{2}+100$
    Så arean kommer att bara
    $A(x)=x·(-\frac{x}{2}+100)=-\frac{x^2}{2}+100x$
    Denna funktion optimerar du nu med hjälp av derivata för att hitta den maximala arean. Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Mattefreak

      Tack! Det hjälpte bra 🙂

      Har en till som är lite knepig.

      Bestäm med hjälp av en integral storleken på den yta som ligger mellan grafen till f(x)=5x-X^2 och x-axeln.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Först tar du reda på var grafen skär x-axeln genom ekvationen
        $ 5x-x^2=0 ⇔$
        $ x(5-x)=0 ⇔$
        $x_1=0$ och $x_2=5$
        För att ta reda på arean mellan x-axeln och grafen beräknar du integralen
        $\int\limits_{0}^{5}\,5x-x^2\,dx$
        Kommer du vidare utifrån detta?
        Grafen ser ut på följande vis

johnrobert

Hej jag undrar om inte fråga 5 har blivit lite fel eller så har jag inte förstått frågan.mvh Johnrobert

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det var fel i formuleringen av frågan, integralgränserna skall vara från (k-1) till k och inte 5. Tack för att du påpekade detta.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Eva har tagit fram en graf som beskriver med vilken hastighet  $v(t)$v(t)  hon cyklar när hon åker till skolan  $t$t  sekunder efter att hon startat.

    Vad kan man beräknar med hjälp av arena mellan grafen och  $x$x -axeln?

    drawit-diagram-50

    Träna på att motivera ditt svar.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Figuren visar integralen  $\int_2^6a(t)\text{ }dt$26a(t) dt  där $t$t är tiden i sekunder.

    Tillämpning av acceleration

    Vad motsvarar integralens värde? Använd figuren.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Marginalkostnaden på att tillverka en viss mobilmodell kan beskrivas med funktionen  $K’\left(n\right)=120\text{ }000\cdot e^{-0,0002n}$K(n)=120 000·e0,0002n  kr/mobil vid tillverkning av $0\le n\le50\text{ }000$0n50 000 enheter.

    Beräkna marginalkostnaden för den hundrade mobilen.

    Avrunda till hela tusental.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K

    Marginalkostnaden på att tillverka en viss mobilmodell kan beskrivas med funktionen  $K’\left(n\right)=120\text{ }000\cdot e^{-0,0002n}$K(n)=120 000·e0,0002n  kr/mobil vid tillverkning av $0\le n\le50\text{ }000$0n50 000 enheter.

    Beräkna kostnadsökningen $K\left(n\right)$K(n) för produktionen om den ökar från tio tusen till tjugo tusen mobiler.

    Avrunda till hela tusen tal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $v\left(t\right)$v(t) motsvarar fotbollens hastighet i $m/s$m/s , $t$t sekunder efter en specifik utspark. 

    Vad kan man beräkna med integralen $\int_0^8v\left(t\right)\text{ }dt$08v(t) dt?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K

    Under en tioårsperiod följde befolkningstillväxten  $N’\left(t\right)$N(t) invånare/år i en stad funktionen  $N’\left(t\right)=23\text{ }500+500t$N(t)=23 500+500t  där $t$t motsvarar antalet år efter $2005$2005.

    Beräkna ökningen av antalet invånare i staden mellan  $2007$2007 och $2015$2015.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se