Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Derivata och deriveringsregler
Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoter
Innehåll
Vad är en Ändringskvot?
Den genomsnittliga förändringshastigheten beskriver en ”kurvas genomsnittliga lutning” i ett intervall. Till hjälp för att beräkna detta använder man en sekant som är en rät linje som skär kurvan i minst två punkter.
Man har bestämt att sekantens lutning motsvarar kurvans medellutning i intervallet. Värdet stämmer alltså inte exakt med förändringen i varje punkt i intervallet, men ger ett medelvärde. Ett mindre intervall ger oftast ett värde på ändringskvoten som stämmer bättre överens med kurvans faktiska förändring. Vi använder oss av kunskapen kring lutningen av en rät linjen där $k=$k= $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$△y△x , för att bestämma medelvärdet som motsvarar ändringskvoten.
Ändringskvot
Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{Förändring i ett Intervall}}{\text{Intervallets längd}}$ΔyΔx =Förändring i ett IntervallIntervallets längd
Kvoten kallas för en ändringskvot, differenskvot eller förändringskvot.
Vi ska kunna bestämma ändringskvoten, numeriskt, grafisk och analytiskt. För det sist nämda ska vi introducera derivatan.
Ändringskvot- numerisk metod
Vi beskriver numerisk ändringskvot utifrån ett exempel.
Exempel 1
Bestäm ett närmevärde till $f\text{ }’\left(3\right)$ƒ ’(3) med hjälp av tabellen.
Lösning
Vi läser av de två koordinater som ligger så nära som möjligt och med samma avstånd till punkten där $x=3$x=3. Vi får att
Genomsnittlig förändringshastighet= $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{64-57}{4-2}=\frac{7}{2}=$△y△x =64−574−2 =72 =$3,5$3,5 cm/månad
Den ändringskvot som ger bäst närmevärde vid numerisk beräkning är den centrala differenskvoten. Det än den som beskrivit här ovan. Du väljer då ett värde med samma avstånd framåt som bakåt i förhållande till punkten du ska bestämma ändringskvoten till och beräknar sedan
Genomsnittlig förändringshastighet $=\frac{\text{Förändringen i y-led}}{\text{Förändringen i x-led}}=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$=Förändringen i y-ledFörändringen i x-led =△y△x
Man kan även använda välja att använde en punkt åt höger och beräkna differenskvoten framåt och en punkt åt vänster och beräkna differenskvoten bakåt. Men ofta ger alltså dess metoder ett sämre värde för den faktiska ändringskvoten.
Ändringskvot- grafisk metod
För att bestämma ändringskvoten kan du även använde grafen och läsa av punkter för att beräkna ändringskvoten.
Exempel 2
Bestäm ett närmevärde till $f’\left(3\right)$ƒ ’(3) med hjälp av grafen.
Lösning
Vi bestämmer $f’\left(3\right)$ƒ ’(3) genom att dra en tangent i punkten $\left(3,\text{ }4\right)$(3, 4) och bestämma dess lutning. Tangentens lutning ger ett närmevärde till derivatan.
Genom att läsa av två punkter på tangenten bestämmer vi dess lutning. Vi väljer $(2,\text{ }7)$(2, 7) och $(4,\text{ }1)$(4, 1) .
Genomsnittlig förändringshastighet= $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{7-1}{2-4}=\frac{6}{-2}=$△y△x =7−12−4 =6−2 = $-3$−3
För att får ett bättre närmevärde på ändringskvoten väljs två punkter på funktionen med mycket litet avstånd till punkten vi vill beräkna förändringen i. Tex $h=\pm0,000\text{ }001$h=±0,000 001. Ju mindre avstånd, ju bättre värde. Men vill vi få ett exakt värde måste vi ha ett oändligt litet avstånd mellan punkterna. Vi behöver då räkna med gränsvärden.
Vad ska vi ha Ändringskvoter till?
Människan verkar ha en inre drivkraft för förändring. Det samhälle vi nu lever i är som aldrig förr intresserad av hur saker förändras. Man vill mäta och analysera olika skeende eller händelseförlopp, för att försöka förutse och påverkar hur utvecklingen ska ske framåt. Ofta handlar det idag om att försöka maximera eller minimera olika saker. Inte sällan handlar det om intäkter och kostnader. Med hjälp av ändringskvoten kan vi beräkna förändringen under ett tidsintervall och på så sätt jämföra och analysera olika förändringar med varandra, för att utvärdera om utvecklingen gått i den riktningen vi önskat.
Med hjälp av ändringskvoten kommer vi framöver även kunna introducera ett nytt begrepp, derivatan, som anger förändringen i en specifik punkt på kurvan, vilket är ett mer exakt mätinstrument än ändringskvoten.
Vad är Genomsnittlig Förändringshastighet?
När man använder sig av begreppet genomsnittlig förändringshastighet handlar det ofta om att vi vill ange hur mycket något förändras i medel över olika tidsintervall.
Till exempel kan det vara intressant att räkna ut en medelhastighet. Man använder sig då av formeln
$\text{Medelhastigheten}=$Medelhastigheten= $\frac{\text{Sträckan}}{\text{Tiden}}$SträckanTiden
Exempel 3
Din vän har $1$1 km till skolan och det tar $12$12 minuter för henne att gå dit. Vilken är då hennes medelhastighet?
Lösning
Vi börjar med att räkna ut hur stor andel av en timme $12$12 minuter är för att få svaret i enheten km/h.
$\frac{12}{60}$1260 $=0,2$=0,2 timmar.
Vi får fram medelhastigheten genom att dividera sträckan med tiden.
$\text{Medelhastigheten}=$Medelhastigheten= $\frac{\text{Sträckan}}{\text{Tiden}}=\frac{1}{0,2}=$SträckanTiden =10,2 = $5$5
Din vän går med en medelhastighet på $5$5 km/h.
När vi delar sträckan genom tiden står den genomsnittliga förändringshastigheten för medelhastigheten i tidsintervallet. Men begreppet genomsnittlig förändringshastighet kan handla om fler typer av förändringar. Alltifrån förändringar av temperaturer, energiförbrukning, hastigheter, kostnader, intäkter, populationer, volymer eller areor.
Exempel 4
Temperaturen i en stad ändrades från $24$24 °C till $18$18 °C på $100$100 minuter. Vilken var den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?
Lösning
Vi får fram den genomsnittliga förändringen genom att beräknar ändringskvoten
$\frac{\text{Föränring i temperatur}}{\text{Tidsintervallet}}=\frac{24-18}{100}=\frac{6}{100}$Föränring i temperaturTidsintervallet =24−18100 =6100 $=0,06\text{ }$=0,06 °C per minut.
Exempel 5
Beräkna den genomsnittliga förändringen i intervallet $2\le t\le4$2≤t≤4 för funktionen $s(t)=6+t^2$s(t)=6+t2
Lösning
Vi beräknar
$s(2)=6+2^2=10$s(2)=6+22=10
$s(4)=6+4^2=22$s(4)=6+42=22
Den genomsnittliga förändringen blir
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s\left(4\right)-s\left(2\right)}{4-2}=$ΔyΔx =s(4)−s(2)4−2 =$\frac{22-10}{4-2}=\frac{12}{2}=$22−104−2 =122 = $6$6
Exempel i videon
- Temperaturen i ett rum ändrades från $18$18 °C till $22$22 °C på $10$10 minuter. Vilken är den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?
- Grafen visar (se bild i video) sträckan s meter som en cyklist rört sig på tiden $t$t minuter. Bestäm cyklistens medelhastighet från $t=2$t=2 min till $t=10$t=10 min.
- Modellen beskriver hur en aktiefonds värde i $A\left(t\right)$A(t) miljoner kr ökar i värde där $t$t är tiden i år.
$A\left(t\right)=450\cdot1,032^t$A(t)=450·1,032t
Beräkna den genomsnittliga tillväxten från år $4$4 till år $16$16.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
Vilket av följande alternativ är INTE ett sätt att bestämma den genomsnittliga förändringshastigheten?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvoter Differenskvot Genomsnittlig förändringshastighet kurvans lutning sekantens lutningRättar... -
2. Premium
Vilket av följande alternativ ger ett värde på den genomsnittliga förändringshastigheten?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvoter Differenskvot Genomsnittlig förändringshastighet kurvans lutning sekantens lutningRättar... -
3. Premium
Din vän cyklar $30$30 km på $2$2 timmar. Teckna en ändringskvot och beräkna hennes medelhastighet.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvot Differenskvot förändringskvot Genomsnittlig förändringshastighetRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Tabellen beskriver en nyfödd bäbis längd de sex första månaderna.
Beräkna med en ändringskvot den genomsnittliga förändringshastigheten av längden den först halvåret.
Avrunda till en decimals noggrannhet och ange svaret i antal cm per månad.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvot Differenskvot förändringskvot Genomsnittlig förändringshastighetRättar...5. Premium
En nyårsraket skjuts iväg lodrätt uppåt och når sin maxhöjd $160$160 meter efter $10$10 sekunder. Vilken är raketens medelhastighet på vägen upp till maxhöjden?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvot Differenskvot förändringskvot Genomsnittlig förändringshastighet medelhastighetRättar...6. Premium
Ange med hjälp av tabellen ett närmevärde till $y’\left(3\right)$y’(3).
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tillämpning med DerivataLiknande uppgifter: Central differenskvot Differenskvot numerisk derivataRättar...7. Premium
För funktionen $y=f(x)$y=ƒ (x) vet man att $f(3)=8$ƒ (3)=8 och $f(6)=2$ƒ (6)=2. Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten mellan punkterna.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvot Differenskvot förändringskvot Genomsnittlig förändringshastighetRättar...c-uppgifter (4)
-
8. Premium
Grafen beskriver hur man uppskattar att befolkningen i en kommun antas utvecklas de kommande hundra åren.
Beräkna med en ändringskvot den uppskattade genomsnittliga förändringen av befolkningen mellan år $2010$2010 och $2055$2055.
Avrunda till ett heltal och ange svaret med antal personer per år.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvot Differenskvot förändringskvot Genomsnittlig förändringshastighetRättar...9. Premium
Louise lagar bakad potatis i ugnen och värmen $y$y i hennes ugn kan beskrivas av funktionen $y=f\left(x\right)=20+10x-0,098x^2$y=ƒ (x)=20+10x−0,098x2 där $x$x är tiden i minuter.
Vilken är den genomsnittliga förändringshastigheten av temperaturen i intervallet $10\le x\le60$10≤x≤60?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvot Differenskvot förändringskvot funktionsvärden Genomsnittlig förändringshastighetRättar...10. Premium
Beräkna ändringskvoten för funktionen $f(x)=2x^2-3x-1$ƒ (x)=2x2−3x−1 i intervallet $1\le x\le3$1≤x≤3.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvot Differenskvot förändringskvot Genomsnittlig förändringshastighetRättar...11. Premium
En sekant till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) går genom punkterna $(0,\text{ }-2)$(0, −2) och $(4,\text{ }a)$(4, a). Bestäm värdet på $a$a som ger att sekantens lutning blir $2$2.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ändringskvot delta x delta y förändringshastighet Genomsnittlig förändringshastighet lutning sekantRättar...a-uppgifter (1)
-
12. Premium
En sekant till funktionen $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{x^2}{2}$x22 $-2$−2 då $x=2$x=2 har lutningen $3$3. Ange koordinaterna till den andra punkten som sekanten går igenom.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoterRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Sanna Lindqvist
I förklaringen till uppgift 9 står det att f(10)=20+10⋅10+0,098⋅10^2 =110,2, men det stämmer väl inte? Det ska väl vara ett minustecken framför 0,098 för att det ska bli 110,2? Annars blir det ju 120 + 9,8 = 129,8
Vivian Jordan
Hej!
Undrar varför i uppgift 12 är koordinaten (3,3) rätt, fast den har lutningen 3 och bildar en rät linje med första punkten (2,0) och punkten som stor i facit (4,6) ?
Pelin Glemark
Det står ”Inväntar rättning” efter att jag har gjort uppgifterna till denna föreläsning, vilket jag aldrig har sett tidigare. Rättas allt manuellt? När får man svar i så fall?
Judith Lysell
Hej!
Fråga 7
Borde det inte vara 30 000/45?
AdurianJ
f(10) saknas i förklaringen till uppgift 4
NSchultz
Med risk att låta helt lost måste jag fråga om sekantlinjer, spelar det någon roll i var man sätter ut dessa punkter för att sedan få ut en sekantlinje? Har lite svårt att förstå mig på detta,
NSchultz
Insåg nu att jag bara varit lite virrig, du behöver inte förklara 🙂
Yosefd
Jag förstår inte uträkningen f(60)−f(10)50=267−11050=15750=3,14° , tänker jag fel när jag skriver såhär? y=f(60)=20+10*60−0,098*60^2?
Caroline
Undrar även här, 6:00 in i videon, var kommer grafen ifrån?
Giovanna.Hilke
Hej!
Videon verkar endast fungera 2/3 ? Är det någon bugg eller är det bara min dator som inte klarar av det? Har gått bra med de andra videos.
MVH Giovanna
Nikolaj Kønig
Hej!
Jag har en uppgift som jag inte fattar hur jag ska göra, den lyder följande:
Tabellen visar Johans resultat i längdhopp från 2008 till år 2011.
År l 2008 l 2009 l 2010 l 2011 l
Längd (m) l 5.35 l 5.58 l 5.92 l 6.16 l
Hur stor var den genomsnittliga förändringshastigheten för Johans resultat från 2008 till 2011?
Rätt svar: 0.27m/år
Tack på förhand!
nti_ma3
Kan man lösa den här frågan med samma metod, hur?
Avstånd mellan Helsingborg och Stockholm är 500KM. En buss åker 80KM/T i genomsnitt från stockhom och en bil med 120 KM/t i genomsnitt från Stockholm. Var bilarna kommer att träffa varandra?
nti_ma3
tack!
hampusvh1
Uppgift 4.
( f(60) – f(10) ) / 60 – 10
Jag håller med att f (10) = 110 (eller 110,2 renare sagt).
Men f(60) ?? Jag får ett helt annorlunda svar?
När jag gör detta:
f(x) = 20 + 10x – 0,98 x ^ 2
f(60) = 20 + 10(60) – (0,98(60)^2)
f(60) = 20 + 600 – 0,98(60)^2)
f(60) = 620 – 3528 = 2962 ??
Jag förstår inte, jag får liknande svar, jag har provat 3135641 olika möjligheter men kommer inte fram till lösningen ni har kommit fram till. Snälla hjälp mig
hampusvh1
Jag menade självklart minus 2962 i slutet, alltså -2962
linnearonsten
Uppgift 4
uträkningen för att få fram y2=267 förstår jag.
men att y1=f(10)=20+10*10 – 0.098*100= 119 gör mig förvirrad, hur jag än försöker får jag 110.2 genom (120-9.8)
Jag får alltså 267.2-110.2/50=156.8
156.8/50=3.136 grader i ugnen. misstänker att det har att göra med starttemp på 20 grader som man ska räkna bort. Tacksam för svar
Avan103
Hej!
Jag har problem med ett tal där jag inte får ut rätt svar.
Kl 10.20 avläste Emma bilens vägmätare till 85 321 km och kl 12.35 till 85 582 km. Beräkna Emmas genomsnittliga hastighet.
Då har jag bara gjort att jag tar 85 582- 85321/ 12.35-10.20 och får ut svaret 121. Men det är fel då det blir 116?
Endast Premium-användare kan kommentera.