00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
BC
/  Derivata och deriveringsregler
Derivata

Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoter

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Vad är en Ändringskvot?

Den genomsnittliga förändringshastigheten beskriver en ”kurvas genomsnittliga lutning” i ett intervall. Till hjälp för att beräkna detta använder man en sekant som är en rät linje som skär kurvan i minst två punkter.

Ändringskvotens förklaring

Man har bestämt att sekantens lutning motsvarar kurvans medellutning i intervallet. Värdet stämmer alltså inte exakt med förändringen i varje punkt i intervallet, men ger ett medelvärde. Ett mindre intervall ger oftast ett värde på ändringskvoten som stämmer bättre överens med kurvans faktiska förändring. Vi använder oss av kunskapen kring lutningen av en rät linjen där k=k=k= △y△x\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}△y△x , för att bestämma medelvärdet som motsvarar ändringskvoten.

Ändringskvot

Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med

 ΔyΔx=Fo¨ra¨ndring i ett IntervallIntervallets la¨ngd\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{Förändring i ett Intervall}}{\text{Intervallets längd}}ΔyΔx =Förändring i ett IntervallIntervallets längd   

Kvoten kallas för en ändringskvot, differenskvot eller förändringskvot.

Vi ska kunna bestämma ändringskvoten, numeriskt, grafisk och analytiskt. För det sist nämda ska vi introducera derivatan.

Ändringskvot- numerisk metod

Vi beskriver numerisk ändringskvot utifrån ett exempel.

Exempel 1

Bestäm ett närmevärde till f ’(3)f\text{ }’\left(3\right)ƒ  ’(3) med hjälp av tabellen.

Tabell över tillväxt hos nyfödd - förklaring

Lösning

Vi läser av de två koordinater som ligger så nära som möjligt och med samma avstånd till punkten där x=3x=3x=3.  Vi får att

Genomsnittlig förändringshastighet= △y△x=64−574−2=72=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{64-57}{4-2}=\frac{7}{2}=△y△x =64−574−2 =72 =3,53,53,5  cm/månad

Den ändringskvot som ger bäst närmevärde vid numerisk beräkning är den centrala differenskvoten. Det än den som beskrivit här ovan. Du väljer då ett värde med samma avstånd framåt som bakåt i förhållande till punkten du ska bestämma ändringskvoten till och beräknar sedan 

Genomsnittlig förändringshastighet =Fo¨ra¨ndringen i y-ledFo¨ra¨ndringen i x-led=△y△x=\frac{\text{Förändringen i y-led}}{\text{Förändringen i x-led}}=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=Förändringen i y-ledFörändringen i x-led =△y△x  

Man kan även använda välja att använde en punkt åt höger och beräkna differenskvoten framåt och en punkt åt vänster och beräkna differenskvoten bakåt. Men ofta ger alltså dess metoder ett sämre värde för den faktiska ändringskvoten.

Ändringskvot- grafisk metod

För att bestämma ändringskvoten kan du även använde grafen och läsa av punkter för att beräkna ändringskvoten.

Exempel 2

Bestäm ett närmevärde till f’(3)f’\left(3\right)ƒ ’(3) med hjälp av grafen.

Parabel

Lösning

Vi bestämmer f’(3)f’\left(3\right)ƒ ’(3) genom att dra en tangent i punkten (3, 4)\left(3,\text{ }4\right)(3, 4) och bestämma dess lutning. Tangentens lutning ger ett närmevärde till derivatan.

Genom att läsa av två punkter på tangenten bestämmer vi dess lutning. Vi väljer  (2, 7)(2,\text{ }7)(2, 7)  och (4, 1)(4,\text{ }1)(4, 1) .

Parabel

Genomsnittlig förändringshastighet= △y△x=7−12−4=6−2=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{7-1}{2-4}=\frac{6}{-2}=△y△x =7−12−4 =6−2 =  −3-3−3

För att får ett bättre närmevärde på ändringskvoten väljs två punkter på funktionen med mycket litet avstånd till punkten vi vill beräkna förändringen i. Tex  h=±0,000 001h=\pm0,000\text{ }001h=±0,000 001. Ju mindre avstånd, ju bättre värde. Men vill vi få ett exakt värde måste vi ha ett oändligt litet avstånd mellan punkterna. Vi behöver då räkna med gränsvärden.

Vad ska vi ha Ändringskvoter till?

Människan verkar ha en inre drivkraft för förändring. Det samhälle vi nu lever i är som aldrig förr intresserad av hur saker förändras. Man vill mäta och analysera olika skeende eller händelseförlopp, för att försöka förutse och påverkar hur utvecklingen ska ske framåt. Ofta handlar det idag om att försöka maximera eller minimera olika saker. Inte sällan handlar det om intäkter och kostnader. Med hjälp av ändringskvoten kan vi beräkna  förändringen under ett tidsintervall och på så sätt jämföra och analysera olika förändringar med varandra, för att utvärdera om utvecklingen gått i den riktningen vi önskat.

Med hjälp av ändringskvoten kommer vi framöver även kunna introducera ett nytt begrepp, derivatan, som anger förändringen i en specifik punkt på kurvan, vilket är ett mer exakt mätinstrument än ändringskvoten.

Vad är Genomsnittlig Förändringshastighet?

När man använder sig av begreppet genomsnittlig förändringshastighet handlar det ofta om att vi vill ange hur mycket något förändras i medel över olika tidsintervall.

Till exempel kan det vara intressant att räkna ut en medelhastighet. Man använder sig då av formeln

 Medelhastigheten=\text{Medelhastigheten}=Medelhastigheten= Stra¨ckanTiden\frac{\text{Sträckan}}{\text{Tiden}}SträckanTiden 

Exempel 3

Din vän har 111 km till skolan och det tar 121212 minuter för henne att gå dit. Vilken är då hennes medelhastighet? 

Lösning

Vi börjar med att räkna ut hur stor andel av en timme 121212 minuter är för att få svaret i enheten km/h.

  1260\frac{12}{60}1260 =0,2=0,2=0,2 timmar.

Vi får fram medelhastigheten genom att dividera sträckan med tiden.

 Medelhastigheten=\text{Medelhastigheten}=Medelhastigheten= Stra¨ckanTiden=10,2=\frac{\text{Sträckan}}{\text{Tiden}}=\frac{1}{0,2}=SträckanTiden =10,2 = 555 

Din vän går med en medelhastighet på  555 km/h.

När vi delar sträckan genom tiden står den genomsnittliga förändringshastigheten för medelhastigheten i tidsintervallet. Men begreppet genomsnittlig förändringshastighet kan handla om fler typer av förändringar. Alltifrån förändringar av temperaturer, energiförbrukning, hastigheter, kostnader, intäkter, populationer, volymer eller areor. 

Exempel 4

Temperaturen i en stad ändrades från 242424 °C till 181818 °C på 100100100 minuter. Vilken var den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?

Lösning

Vi får fram den genomsnittliga förändringen genom att beräknar ändringskvoten

  Fo¨ra¨nring i temperaturTidsintervallet=24−18100=6100\frac{\text{Föränring i temperatur}}{\text{Tidsintervallet}}=\frac{24-18}{100}=\frac{6}{100}Föränring i temperaturTidsintervallet =24−18100 =6100  =0,06 =0,06\text{ }=0,06  °C per minut.

Exempel 5

Beräkna den genomsnittliga förändringen i intervallet  2≤t≤42\le t\le42≤t≤4  för funktionen  s(t)=6+t2s(t)=6+t^2s(t)=6+t2 

Lösning

Vi beräknar

 s(2)=6+22=10s(2)=6+2^2=10s(2)=6+22=10 
 s(4)=6+42=22s(4)=6+4^2=22s(4)=6+42=22 

Den genomsnittliga förändringen blir

 ΔyΔx=s(4)−s(2)4−2=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s\left(4\right)-s\left(2\right)}{4-2}=ΔyΔx =s(4)−s(2)4−2 =22−104−2=122=\frac{22-10}{4-2}=\frac{12}{2}=22−104−2 =122 = 666  

Exempel i videon

  • Temperaturen i ett rum ändrades från 181818 °C till 222222 °C på 101010 minuter. Vilken är den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?
  • Grafen visar (se bild i video) sträckan s meter som en cyklist rört sig på tiden  ttt  minuter. Bestäm cyklistens medelhastighet från  t=2t=2t=2  min till  t=10t=10t=10  min.
  • Modellen beskriver hur en aktiefonds värde i A(t)A\left(t\right)A(t) miljoner kr ökar i värde där ttt är tiden i år.
    A(t)=450⋅1,032tA\left(t\right)=450\cdot1,032^tA(t)=450·1,032t
    Beräkna den genomsnittliga tillväxten från år 444 till år 161616.
Nästa lektion: Gränsvärden

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server