Tredjegradsekvationer

Exempel 1

Lös ekvationen  $x^3-4x^2-5x=0$x³−4x²−5x=0 

Lösning

Vi har en tredjegradsekvation med tredjegradsterm, andragradsterm och en förstagradsterm , men ingen konstantterm. Vi löser den genom att först faktorisera och sedan lösa med en kombination av nollproduktmetoden och PQ.

 $x^3-4x^2-5x=0$x³−4x²−5x=0        Bryt ut $x$x 

 $x(x^2-4x-5)=0$x(x²−4x−5)=0 

Den första lösningen ges av nollproduktmetoden och är $x_1=0$x₁=0 

Vi använder pq-formeln för att ta reda på lösningarna som ges från parentesen genom att sätt den lika med noll.

 $x^2-4x-5=0$x²−4x−5=0 

 $x=2\pm\sqrt{4+5}$x=2±√4+5 

 $x=2\pm\sqrt{9}$x=2±√9 

 $x=2\pm3$x=2±3 

$ \begin{cases} x_2 =5 \\  x_3 = -1  \end{cases} $

Det tre lösningarna är

$ \begin{cases} x_1=0 \\ x_2 =5 \\  x_3 = -1  \end{cases} $

Exempel 2

Lös ekvationen  $2x^3+16=0$2x³+16=0   

Lösning

Då ekvationen bara har en tredjegradsterm och konstantterm använder vi rotmetoden.

 $4x^3+32=0$4x³+32=0    Dividerar båda leden med $4$4 

 $x^3+8=0$x³+8=0    Subtraherar båda leden med $8$8 

 $x^3=-8$x³=−8    Dra tredjeroten ur båda leden

$ \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =-2 \\  x_3 = -2  \end{cases} $

Denna ekvation har en reell trippelrot. Alltså alla tre lösningarna på ekvationen är  $x=-2$x=−2 . 

Man skulle även kunna lösa denna ekvation med två komplexa rötter  $x=1\pm i\sqrt{3}$x=1±i√3.

$ \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =1+i\sqrt3 \\  x_3 =1-i\sqrt3  \end{cases} $

I faktorform skulle den i så fall skrivas som $\left(x+2\right)\left(x+\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)=0$(x+2)(x+(1−i√3))(x−(1−i√3))=0 Men det behöver vi inte tänka på så mycket i denna kurs.

Exempel 3

Lös ekvationen  $\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0$(x+1)x²−(x+1)4=0   

Lösning

Vi börjar med att faktorisera VL.

  $\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0$(x+1)x²−(x+1)4=0        Bryt ut  $\left(x+1\right)$(x+1) 

 $\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)=0$(x+1)(x²−4)=0    

Med nollprodukt- och kvadratrotsmetoden kan vi nu ta fram lösningarna.

Den första faktorn ger att  $x=-1$x=−1  är en lösning eftersom att

 $\left(x+1\right)=0$(x+1)=0           Subtrahera båda leden med $1$1 

 $x=-1$x=−1 

Den andra faktorn ger att  $x=\pm2$x=±2 eftersom att

  $x^2-4=0$x²−4=0         Addera båda leden med $4$4 

 $x^2=4$x²=4               Dra roten ut båda leden 

 $x=\pm2$x=±2 

Vi får rötterna

$ \begin{cases} x_1=-1 \\ x_2 =2 \\  x_3 = -2  \end{cases} $