Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Derivata och deriveringsregler
Gränsvärden och förberedelse inför Derivata
Från ändringskvot till derivata
Derivatan är mycket användbar när vi vill studera olika händelseförlopps utveckling och förändring. Derivatan är nämligen ett sätt att studera och beräkna funktioners förändring i varje punkt. För att göra detta behöver vi kunna teckna och förenkla en ändringskvot. Det är det vi övar på i denna lektion.
Eftersom denna ändringskvot, som beskriver derivatans definition, har nämnaren $h$h och definieras som gränsvärdet då $h\rightarrow0$h→0 kommer vi vanligtvis förenkla uttrycket genom att bryta ut $h$h och förkorta bort det.
Denna procedur upprepar vi varje gång när vi beräknar derivatan med definitionen ovan. Det går vi igenom närmre i videon Derivatans definition.
Exempel 1
Beräkna ändringskvoten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=2x+3$ƒ (x)=2x+3
Lösning
Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.
$f\left(x+h\right)=2\cdot\left(x+h\right)+3$ƒ (x+h)=2·(x+h)+3 och $f\left(x\right)=2x+3$ƒ (x)=2x+3
Vi tecknar kvoten.
$\frac{2\left(x+h\right)+3-\left(2x+3\right)}{h}=\frac{2x+2h+3-2x-3}{h}=\frac{2h}{h}=$2(x+h)+3−(2x+3)h =2x+2h+3−2x−3h =2hh = $2$2
Exempel 2
Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=x^2-5$ƒ (x)=x2−5
Lösning
Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.
$f\left(x+h\right)=\left(x+h\right)^2-5$ƒ (x+h)=(x+h)2−5 och $f\left(x\right)=x^2-5$ƒ (x)=x2−5
Vi tecknar kvoten.
$\frac{\left(x+h\right)^2-5-\left(x^2-5\right)}{h}=\frac{\left(x^2+2xh+h^2-5\right)-\left(x^2-5\right)}{h}=$(x+h)2−5−(x2−5)h =(x2+2xh+h2−5)−(x2−5)h = $\frac{x^2+2xh+h^2-5-x^2+5}{h}=$x2+2xh+h2−5−x2+5h = $\frac{2xh+h^2}{h}=\frac{h\left(2x+h\right)}{h}=$2xh+h2h =h(2x+h)h = $2x+h$2x+h
Nu beräknar vi gränsvärdet genom att låta $h$h gå mot noll.
$ \lim\limits_{h \to 0} $ $\left(2x+h\right)=2x+0=2x$(2x+h)=2x+0=2x
Gränsvärden
Att undersöka gränsvärdet av en funktion innebär, som vi tidigare nämnt, att undersöka vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, ofta $x$x, närmar sig ett visst värde. Detta kommer vi alltså att använda när vi ska definiera derivatan. Derivatan definieras nämligen som ändringskvotens gränsvärde.
Gränsvärde
För alla kontinuerliga funktioner gäller att
$ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a) $
Här ovan står alltså, att gränsvärdet för funktionen $f(x)$ då vi låter $x$ -värdet gå mot $a$, är lika med $f\left(a\right)$ƒ (a).
Exempel i videon
- Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=x^2+x$ƒ (x)=x2+x
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (2)
-
1. Premium
Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{h^2-2h}{h}$h2−2hh
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{6h^2-3h}{h}$6h2−3hh
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (4)
-
3. Premium
Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=x+1$ƒ (x)=x+1
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=x^2-x$ƒ (x)=x2−x
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata gränsvärde limesRättar...5. Premium
Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=2x^2-3x$ƒ (x)=2x2−3x
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Derivatans Definition gränsvärde gränsvärdenRättar...6. Premium
Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=5x^2+x-2$ƒ (x)=5x2+x−2
Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättningJämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.Rätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Derivatans Definition gränsvärde gränsvärdenRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Astrid W
Angående fråga 4.
Om f(x) = x² - x. Varför blir inte f(x + h) = x² - x + h.
Varifrån kommer allt det andra ifrån? Man byter ju ut x i f(x) mot uttrycket i dessa fall. Katastrof konstruerad uppgift, som mycket annat på denna sida.
Eddler
När vi beräknar $f(x+h)$ ersätts varje $x$ i uttrycket med hela $(x+h)$. Alltså:
$f(x+h) = (x+h)^2 - (x+h)$
Här är $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$, inte $x^2 + h$. Sedan ger $-(x+h) = -x - h$. Sammantaget:
$f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 - x - h$
Att bara lägga till $h$ i slutet vore detsamma som $f(x) + h$, men det är inte vad $f(x+h)$ betyder.
Daniel Manassis
I videon fick du fram ett h^2 som jag inte riktigt är med på??
Jonathan Hermelin
I fråga 3 står det "x→a" när det egentligen ska stå "h→a"
Endast Premium-användare kan kommentera.