Name: Areor mellan kurvor - Integraler (Ma 3) - %%sitename)%%
Brand: Eddler
Rating: 4.48 (27 reviews)

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Här lär du dig hur man använder integraler för att beräkna areor mellan graferna till två funktioner.

Så beräknas arean mellan kurvor

Arean mellan graferna ges av

$\int\limits_a^b (f(x) – g(x)) dx$

där $f\left(x\right)$ ƒ (x) är grafen till den översta funktionen och $g\left(x\right)$ g(x) den understa.

För att kunna beräkna den area som skapas mellan två grafer i ett intervall behöver du känna till följande.

Vilken av de bägge funktionernas grafer som är den översta. Rita gärna ut dem för att se detta tydligt.
Om du skall beräkna arean mellan deras skärningspunkter så kan du ta reda på dessa genom ekvationen $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ ƒ (x)=g(x).
Om du skall beräkna arean mellan graferna i ett intervall $a\le x\le b$ a≤x≤b så är den undre gränsen $a$ a och den övre är $b$ b.
Integralen har ingen enhet i sig själv, men då den i detta fall motsvarade en area anges enheten areaenhet, som förkortas a.e.

Vi tittar på ett exempel direkt denna gång och tar fördjupningen efter det.

Exempel 1

Graferna till de två funktionerna $f(x)=x+2$ ƒ (x)=x+2 och $y=x^2$ y=x² skär varandra i $x=-1$ x=−1 och $x=2$ x=2 .

Beräkna arean mellan dessa båda kurvor.

Lösning

Grafen till den övre funktionen är $f(x)$ och den undre är $y$ så arean kan beräknas med formeln

$\int\limits_a^b (f(x) – y) dx$

Vi får att

$\int\limits_{-1}^2 (x +2- x^2) dx =$

$\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^2=$ [x²2 +2x−x³3 ]₋₁²=

$\frac{2^2}{2}+$ 2²2 + $2\cdot2-$ 2·2− $\frac{2^3}{3}-(\frac{(-1)^2}{2}$ 2³3 −((−1)²2 $+2\cdot(-1)-$ +2·(−1)− $\frac{(-1)^3}{3})=$ (−1)³3 )=

$2+4-$ 2+4− $\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{1}{3}=$ 83 −12 +2−13 = $4,5$ 4,5

Integralens värde är $4,5$ 4,5 vilket innebär att arean mellan graferna är $4,5$ 4,5 a.e.

Fördjupning

Integralens värde kan förenklat liknas med arean mellan grafen och $x$ x-axeln.

Vi har i tidigare lektioner visat att integralen kan definieras med gränsvärdet av summa av oändligt många rektanglar med arean $\bigtriangleup y\cdot\bigtriangleup x$ △y·△x. Vi kommer även fortsatt se det så, med tillägget att $\bigtriangleup y$ △y motsvarar differensen mellan den övre funktionen och den undres uttryck oavsett om den undre funktionen är $x$ x -axeln eller någon annan funktion. Vi kommen använda oss av att $\bigtriangleup y=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ △y=ƒ (x)−g(x) för varje $x$ x -värde i intervallet.

Vi gestaltar beräkningens modellen ovan med hjälp av funktionerna $f\left(x\right)$ ƒ (x) och $g\left(x\right)$ g(x).

Om vi ritar de två integralerna i samma figur, så att de överlappar varandra, kommer ƒ (x) motsvara den över funktionen och $g\left(x\right)$ g(x) den undre.

Genom att ta bort arean som motsvarar integralen av den undre funktionen, den area som här markeras med en något mörkare blå färg, får vi arean som motsvarar arean mellan kurvorna.

Denna area som uppstår mellan två kurvor över intervallet $a$ till $b$ beräknas med integralen för differensen mellan den övre och den undre kurvan.

Integral mellan eller under kurvor?

I tidigare genomgångar har vi använt oss av beskrivningen att integralen $\int_a^bf(x)dx$ ∫_a^bƒ (x)dx motsvarar arean mellan grafen till $f\left(x\right)$ ƒ (x) och $x$ x-axeln, i stället för under grafen $f\left(x\right)$ ƒ (x). Varför har detta ändå gett oss korrekta beräkningar?

Eftersom att $x$ x -axelns funktionsuttryck är $y=0$ y=0 får vi att arean mellan en graf som ligger över $x$ x-axeln och själva $x$ x-axeln kan beräknas av integralen av differensen $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ ƒ (x)−g(x) där $g\left(x\right)=0$ g(x)=0. När $x$ x -axeln är den undre grafen gäller alltid att $f\left(x\right)-g\left(x\right)=f\left(x\right)-0=f\left(x\right)$ ƒ (x)−g(x)=ƒ (x)−0=ƒ (x). Därför har vi kunnat tolka integralen $\int_a^bf(x)dx$ ∫_a^bƒ (x)dx som arena mellan grafen och $x$ x -axeln, i stället för under $f\left(x\right)$ ‍ƒ (x), och ändå fått korrekta svar.

Men hur är det då om grafen inte ligger över $x$ x -axeln, utan under?

Areor under $x$ `x` -axeln

Då integralen motsvarar arean mellan graferna, där ofta $x$ x-axeln är en av graferna, kommer integralens värde att påverkas av om arean den motsvarar ligger över eller under $x$ x -axeln.

Integralens värdet beräknas med differensen $f\left(x\right)-0$ ƒ (x)−0 som integrand i de intervall där grafen ligger över $x$ x -axeln och med $0-f\left(x\right)$ 0−ƒ (x) i intervall där den ligger under $x$ x -axeln.

Integralens värde är summan av den totala arean ovanför $x$ x-axeln subtraherat den totala arean under axeln.

En area är aldrig negativ. Men en integrals värde kan vara negativ. Resultatet uppstår då areorna under $x$ x-axeln i integralens aktuella intervall sammanlagt är större än arean ovanför $x$ x-axeln.

Är din uppgift att bestämma värdet av en area som motsvarar en integral vars intervall innefattar både areor ovanför och under $x$ x-axeln måste intervallet delas upp i delintervall. Uppgiften löses genom att beräkna areorna ovanför och under var för sig, för att sedan omvandla till enbart positiva värden och summera.

Exempel 2

Figuren visar grafen till $f\left(x\right)$ ƒ (x) och en area som begränsas av $x$ x -axeln och $f\left(x\right)$ ƒ (x).

a) Beräkna integralen $\int_0^3\left(x^2-3x\right)\text{ }dx$ ∫₀³(x²−3x) dx

b) Beräkna det blåmarkerade områdets area.

c) Jämför dina värden i a) och b) och beskriv ett troligt samband.

Lösning

a) Vi beräknar integralen.

$\int_0^3\left(x^2-3x\right)\text{ }dx=$ ∫₀³(x²−3x) dx=

$\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]_{_0}^{^{^3}}=$ [x³3 −3x²2 ]_₀^{^³}=

$\frac{3^3}{3}-\frac{3\cdot3^2}{2}-\left(\frac{0^3}{3}-\frac{3\cdot0^2}{2}\right)=$ 3³3 −3·3²2 −(0³3 −3·0²2 )=

$\frac{27}{3}-\frac{27}{2}$ 273 −272 $-0\approx-4,5$ −0≈−4,5

Integralen har ingen enhet så vi svarar med $-4,5$ −4,5

b) Arena kan beräknas som en integral mellan två grafer. I detta exempel kommer $x$ x-axeln att motsvara den övre funktionens graf. Den undre är grafen till $f\left(x\right)=x^2-3x$ ƒ (x)=x²−3x . Vi ser att funktionen skär $x$ x -axeln då $x_1=0$ x₁=0 och $x_2=3$ x₂=3 . Dessa skärningspunkter ger oss intervallet för området.

Arean kan beräknas med integralen

$\int_0^3-f\left(x\right)\text{ }dx$ ∫₀³−ƒ (x) dx eftersom att ekvationen om motsvarar $x$ x -axeln är $y=0$ y=0 och vi då får att vi ska integrera med avseende på differensen $0-f\left(x\right)=-f\left(x\right)$ 0−ƒ (x)=−ƒ (x)

Vi beräknar arean med hjälp av integralen.

$\int_0^3-\left(x^2-3x\right)\text{ }dx=$ ∫₀³−(x²−3x) dx=

$\int_0^3-x^2+3x\text{ }dx=$ ∫₀³−x²+3x dx=

$\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_{_0}^{^{^3}}=$ [−x³3 +3x²2 ]_₀^{^³}=

$-\frac{3^3}{3}+\frac{3\cdot3^2}{2}-\left(-\frac{0^3}{3}+\frac{3\cdot0^2}{2}\right)=$ −3³3 +3·3²2 −(−0³3 +3·0²2 )=

$-\frac{27}{3}+\frac{27}{2}$ −273 +272 $-0\approx4,5$ −0≈4,5

Då integralen motsvara arean svarar vi med $4,5$ 4,5 a.e

c) Figuren visar grafen till funktionen $f\left(x\right)=x^2-3x$ ƒ (x)=x²−3x . Vi ser att funktionen skär $x$ x -axeln då $x_1=0$ x₁=0 och $x_2=3$ x₂=3 . Dessa skärningspunkter motsvarar intervallet för integralen. Integralens värde är alltså $-4,5$ −4,5 och area som är positivt $4,5$ 4,5 a.e vilket motsvarar absolutbeloppet av integralen, $\left|-4,5\right|=4,5$ |−4,5|=4,5. Detta eftersom att arena ligger under $x$ x -axeln.

Egenskaper hos integraler

För att underlätta beräkningen med integralen kan du använda följande egenskaper.

Egenskaper hos integraler

$\int_a^bk\text{ }\cdot f\left(x\right)\text{ }dx=k\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$ ∫_a^bk ·ƒ (x) dx=k ∫_a^bƒ (x) dx‍ där $k$ k är en konstant.

$\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx+\text{ }\int_b^cf\left(x\right)\text{ }dx=\int_a^cf\left(x\right)\text{ }dx$ ∫_a^bƒ (x) dx+ ∫_b^cƒ (x) dx=∫_a^cƒ (x) dx då $a\le b\le c$ a≤b≤c

$\int_a^bf\left(x\right)\text{ }\pm g\left(x\right)dx=\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx\text{ }\pm\text{ }\int_a^bg\left(x\right)\text{ }dx$ ∫_a^bƒ (x) ±g(x)dx= ∫_a^bƒ (x) dx ± ∫_a^bg(x) dx

$\text{ }\int_a^af\left(x\right)\text{ }dx=0$ ∫_a^aƒ (x) dx=0

$\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx=\text{ }-\int_b^af\left(x\right)\text{ }dx$ ∫_a^bƒ (x) dx= −∫_b^aƒ (x) dx

Man kan alltså tolka integralen som en summa av areorna över $x$ x -axeln minus areorna under $x$ x -axeln.

Exempel i videon

Beräkna arean mellan graferna till funktionerna $f(x)=4x-2x^2$ och $g(x)=x$ mellan skärningspunkterna $x=0$ och $x=1,5$ .
Beräkna arean mellan kurvorna $f(x)=cosx$ och $g(x)=sinx$ i intervallet $\pi/4≤ x ≤ \pi$ .
Kurvorna till $y=e^{0,2x}$ och $y=x^2$ innesluter tillsammans med $y-axeln$ ett område i första kvadranten. Teckna integralen för områdets area samt bestäm denna area med minst tre värdesiffror.

Nästa lektion: Areor under x – axeln

Kommentarer

Anders Johansson

2023-04-27

Kom ihåg att sätta ut parenteser i funktionsuttrycket i integralen — bortglömt på två ställen i videon — annars blir det fel t ex vid inmatning i Desmos.

Bra att exemplet med sinx och cosx ersätts med annat exempel i videon. Derivata av trigonometriska funktioner kommer ju först i Matematik 4

Simon Rybrand (Moderator)

2023-06-20

Bra poäng, vi kikar på om vi kan revidera denna video.

Kawa Ananni

2018-02-20

Se gärna över de rätta svaren och inkludera några olikformulerade svarsmöjligheter. Till exempel är det enda möjliga rätta svaret till fråga 1 inskrivet som ”4, 5 a.e” (med ett mellanrum mellan 4 och 5, samt utan punkt efter e). Varken 4,5 a.e. eller 4.5 a.e. (eller ens 4,5 a.e) räknas som rätta svar. Likadant är det för fråga 2, 3, 6 och 7, medan svar för fråga 8 är inskrivet som ”4/3 a.e” (med rätta utan mellanrum mellan 4 och 3, dock utan punkt efter e). Rätt svar för fråga 4 är till och med ”9/2a.e”! Lite slarvigt kan tyckas. Har stött på liknande problem flera gånger med tidigare uppgifter/kapitel.

Tack!

Simon Rybrand (Moderator)

2018-03-04

Hej
Vi kikar igenom dessa uppgifter direkt.
Viktigt att veta är att det är inte bara det alternativ som visas som kan vara det korrekta svaret. 4,5 a.e. 4.5 a.e. räknas även de som rätta svar även om det inte syns. Vi skall göra så att vi lägger till vilka varianter som kan vara korrekta så att detta syns. Mellanslag spelar ingen roll när det rättas,dvs systemet tolkar ett ”mellanrum” som ingenting.
Vi har dock gått igenom dessa uppgifter och uppdaterat dem så att det är lättare att få korrekt svar.
Tack för din kommentar!

Henrik Åslin

2017-03-29

Tjena,
Jag har några frågor om testet.
På fråga 5 kryssade jag i rätt svar men det blev fel när det rättades(facit sa samma som det jag kryssade i)

på fråga 8 får jag det till1.333 samma med min kalkylator.
(2*4^1.5)/3 -(4^2)/4 = (16/3)-4 = 4/3

Vart har jag räknat fel?

Tack för svar.

Simon Rybrand (Moderator)

2017-03-30

Hej
Vi har fått in felrapportering på detta och det är nu fixat, tack för att du påpekade detta!

Jim Klintrup

2017-03-29

Hej. Undrar om ni kan se över uppgifterna 5 och 8 i detta avsnitt om arean mellan kurvor. I uppgift 5 klickar jag i rätt svar enligt beskrivningen i förklaringen men får fel ändå. I uppgift 8 så skriver jag in integralen i min räknare och får svaret 1,333333544 men enligt facit så är det 3,2. Är rätt så övertygad om att jag inte gjort fel men man vet aldrig, kanske missat något….

Simon Rybrand (Moderator)

2017-03-30

Hej
En bugg och ett fel i svaret är fixat, tack för att du sade till!

Max Bremberg Gårdinger

2017-01-05

Hej,

Jag har en fråga angående radianer kontra grader, jag har fått direktiv att använda mig av grader, men här verkar du använda dig av radianer. vad är det egentligen som gäller? är det olika standard beroende på vilket område inom matten man befinner sig i? att det exempelvis är radianer när man jobbar med integraler men grader när man jobbar med trigonometri?

mvh
max

Simon Rybrand (Moderator)

2017-01-09

Vanligt är att man använder sig av radianer när man jobbat med tex derivata och integraler i samband med detta. Men det är ju också lite olika beroende på vilken kurs som du läser. Om du läser matematik 3 så används framförallt grader i trigonometrin. Vi håller på och omstrukturerar vårt material en aning och kommer plocka bort radianbegreppet från Matematik 3.

Rasheed

2015-11-24

Hejsan. Jag tycker att era videor är jättebra. Men tyvärr så laddar videona jättsakta. Gör man pauser för att anteckna eller bara för att fånga upp information så får man 8 ggr av 10 börja om från början av video. Detta gör att man inte vill pausa. Det måste förbättras tycker jag.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-11-25

Hej
Det låter verkligen inte bra att du upplever detta. Det skall inte fungera på detta vis och det kan förstås bero på vilken dator i kombination med webbläsare som man använder sig av. Du får gärna kontakta oss på support@matematikvideo.se så kan vi se om vi kan ge dig några tips för att få detta att fungera bättre.

Alex

2015-05-16

På uppgift 2, varför blir x1 och x2 1 och 4 när de va 2,5 och 1,5 efter pq-formen??

Alex

2015-05-17

Never minde

maggix

2015-05-10

Hej!
Du säger flera gånger att tex att den primitiva funktionen sinx = -cosx
Jag har inte fått någon genomgång av de här och förstår inte riktigt varför?
har du nån video där du går igenom derivering och primitiva funktioner med sin/cos? eller något dokument?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-10

Hej
Kika på den här videon om att derivera sinx och cos x. Sedan kan du även kika på den här videon om primitiva funktioner.
Där hittar du grunderna till att derivera dessa funktioner och att ta fram primitiv funktion.
Hoppas att det hjälper dig vidare, annars får du gärna ställa fler frågor!

darrrrUC

2014-07-01

Hej ett litet tips till sidan bara, en snabb länk under varje video med stil :

<<>> vore toppen så man snabbt kan navigera mellan lektionerna. Riktigt grymma videos, pluggar på distans och dessa videos förklarar otroligt tydligt och bra!

Simon Rybrand (Moderator)

2014-07-03

Hej, tack för ditt förslag, vi kommer att implementera detta till hösten!
Kul också att du gillar våra videos!

yussuf

2014-05-09

Hej!

I uppgiften i videon där du får svar 2,414 a.e. får jag svaret till 1. Tänker att sin och cos pi fjärdedelar är samma och därför borde ta ut varandra? Vad gör jag ev fel?

Simon Rybrand (Moderator)

2014-05-12

Hej, ja de har ju samma värde men eftersom att du har
$-(-cos(\pi/4)-sin(\pi/4))= -(-1/\sqrt{2}-1/\sqrt{2})=$
$-(-2/\sqrt{2})=+2/\sqrt{2}$
så tar de alltså ändå inte ut varandra.

Dandono

2014-01-26

Hej Simon!

Jag undrar hur man räknar ut gränserna, funktionerna x^2-2 och x är givna, förutom att kolla på grafräknaren så vill jag veta hur man räknar ut gränserna alltså x

Simon Rybrand (Moderator)

2014-01-27

Hej
För att hitta gränserna mellan den övre och den undre funktionen kan du sätta de bägge funktionerna lika med varandra och lösa den ekvation som då uppstår. Alltså lösa ekvationen
$x^2-2=x ⇔$
$x^2-x-2=0$
Här kan du använda pq formeln för att lösa ut x – värdet för undre och övre gräns.

folkuniv

2013-11-21

Hej!
Undrar jag om det finns något genom gång för asymptot och samband mellan förändrings hastighet? För att jag kunde inte hitta något!
Tack

Simon Rybrand (Moderator)

2013-11-22

Hej, i nuläget har vi väldigt lite kring just begreppet asymptoter. Det ligger i planeringen framåt att få med detta i kursen då det är ett viktigt område.

soulpat

2012-06-05

Har en fråga till. Hur vet man vilken kurva som är f(x) och vilken som är g(x) om man har: y=x^2 och y=1/x^2

Simon Rybrand (Moderator)

2012-06-05

Det enklaste är att ta reda på vilken av dessa bägge kurvor som är den övre genom att använda grafritande räknare eller grafprogram på datorn. Alternativet till detta är att ta reda på var kurvorna skär varandra först och sedan välja ett x värde och undersöka y värdet mellan dessa bägge skärningspunkter för att se vilken kurva som ligger överst.

soulpat

2012-06-05

Tack så mycket!

soulpat

2012-06-05

Försöker lösa: e^(0,2x)=x^2 algebraiskt men får skärningspunkten till x=e^0,2=1,22. Alltså inte samma svar som när jag gör det grafiskt. Vad gör jag för fel? Skulle du kunna lösa det algebraiskt steg för steg?
Tack,

Simon Rybrand (Moderator)

2012-06-05

Den typen av ekvation som du nämner här ovan är i regel enklare att lösa grafiskt genom att rita ut funktionerna
$y = e^{(0,2x)}$
$y = x^2$
och se var dessa skär varandra. Det är en komplicerad historia att lösa dem algebraiskt så min rekommendation är att lösa den grafiskt istället.

Matematik 4

Välj kurs

KURSER /

Matematik 4

/ Integraler

Areor mellan kurvor

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Exempel 1

Lösning

Exempel 2

Lösning

Egenskaper hos integraler

Anders Johansson

Simon Rybrand (Moderator)

Kawa Ananni

Simon Rybrand (Moderator)

Henrik Åslin

Simon Rybrand (Moderator)

Jim Klintrup

Simon Rybrand (Moderator)

Max Bremberg Gårdinger

Simon Rybrand (Moderator)

Rasheed

Simon Rybrand (Moderator)

Alex

Alex

maggix

Simon Rybrand (Moderator)

darrrrUC

Simon Rybrand (Moderator)

yussuf

Simon Rybrand (Moderator)

Dandono

Simon Rybrand (Moderator)

folkuniv

Simon Rybrand (Moderator)

soulpat

Simon Rybrand (Moderator)

soulpat

soulpat

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

12. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...