Areor mellan kurvor

Arean mellan graferna ges av

$ \int\limits_a^b (f(x) – g(x)) dx $

där  $f\left(x\right)$ƒ (x) är grafen till den översta funktionen och $g\left(x\right)$g(x) den understa.

För att kunna beräkna den area som skapas mellan två grafer i ett intervall behöver du känna till följande.

• Vilken av de bägge funktionernas grafer som är den översta. Rita gärna ut dem för att se detta tydligt.
• Om du skall beräkna arean mellan deras skärningspunkter så kan du ta reda på dessa genom ekvationen $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ƒ (x)=g(x).
• Om du skall beräkna arean mellan graferna i ett intervall $a\le x\le b$a≤x≤b så är den undre gränsen $a$a och den övre är $b$b.
• Integralen har ingen enhet i sig själv, men då den i detta fall motsvarade en area anges enheten areaenhet, som förkortas a.e.

Vi tittar på ett exempel direkt denna gång och tar fördjupningen efter det.

Integralens värde kan förenklat liknas med arean mellan grafen och $x$x-axeln.

Vi har i tidigare lektioner visat att integralen kan definieras med gränsvärdet av summa av oändligt många rektanglar med arean $\bigtriangleup y\cdot\bigtriangleup x$△y·△x. Vi kommer även fortsatt se det så, med tillägget att $\bigtriangleup y$△y motsvarar differensen mellan den övre funktionen och den undres uttryck oavsett om den undre funktionen är $x$x -axeln eller någon annan funktion. Vi kommen använda oss av att $\bigtriangleup y=f\left(x\right)-g\left(x\right)$△y=ƒ (x)−g(x) för varje $x$x -värde i intervallet.

Vi gestaltar beräkningens modellen ovan med hjälp av funktionerna $f\left(x\right)$ƒ (x) och $g\left(x\right)$g(x).

Om vi ritar de två integralerna i samma figur, så att de överlappar varandra, kommer ƒ (x) motsvara den över funktionen och $g\left(x\right)$g(x)  den undre.

Genom att ta bort arean som motsvarar integralen av den undre funktionen, den area som här markeras med en något mörkare blå färg, får vi arean som motsvarar arean mellan kurvorna.

Denna area som uppstår mellan två kurvor över intervallet $a$ till $b$ beräknas med integralen för differensen mellan den övre och den undre kurvan.

I tidigare genomgångar har vi använt oss av beskrivningen att integralen $\int_a^bf(x)dx$∫_a^bƒ (x)dx motsvarar arean mellan grafen till  $f\left(x\right)$ƒ (x) och $x$x-axeln, i stället för under grafen $f\left(x\right)$ƒ (x). Varför har detta ändå gett oss korrekta beräkningar?

Eftersom att $x$x -axelns funktionsuttryck är $y=0$y=0 får vi att arean mellan en graf som ligger över $x$x-axeln och själva $x$x-axeln kan beräknas av integralen av differensen $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ƒ (x)−g(x) där $g\left(x\right)=0$g(x)=0. När $x$x -axeln är den undre grafen gäller alltid att $f\left(x\right)-g\left(x\right)=f\left(x\right)-0=f\left(x\right)$ƒ (x)−g(x)=ƒ (x)−0=ƒ (x). Därför har vi kunnat tolka integralen  $\int_a^bf(x)dx$∫_a^bƒ (x)dx som arena mellan grafen och $x$x -axeln, i stället för under $f\left(x\right)$‍ƒ (x), och ändå fått korrekta svar.

Men hur är det då om grafen inte ligger över $x$x -axeln, utan under?

Då integralen motsvarar arean mellan graferna, där ofta $x$x-axeln är en av graferna, kommer integralens värde att påverkas av om arean den motsvarar ligger över eller under $x$x -axeln.

Integralens värdet beräknas med differensen  $f\left(x\right)-0$ƒ (x)−0 som integrand i de intervall där grafen ligger över $x$x -axeln och med $0-f\left(x\right)$0−ƒ (x) i intervall där den ligger under $x$x -axeln.

Integralens värde är summan av den totala arean ovanför $x$x-axeln subtraherat den totala arean under axeln.

En area är aldrig negativ. Men en integrals värde kan vara negativ. Resultatet uppstår då areorna under $x$x-axeln i integralens aktuella intervall sammanlagt är större än arean ovanför $x$x-axeln.

Är din uppgift att bestämma värdet av en area som motsvarar en integral vars intervall innefattar både areor ovanför och under $x$x-axeln måste intervallet delas upp i delintervall. Uppgiften löses genom att beräkna areorna ovanför och under var för sig, för att sedan omvandla till enbart positiva värden och summera.

För att underlätta beräkningen med integralen kan du använda följande egenskaper.

Man kan alltså tolka integralen som en summa av areorna över $x$x -axeln minus areorna under $x$x -axeln.

GeoGebra kan beräkna arean mellan två kurvor direkt med kommandot IntegralMellan. Det sparar tid jämfört med att beräkna två
separata integraler och subtrahera dem för hand. GeoGebra beräknar då automatiskt $\int_a^b (f(x) – g(x)) \, dx$ där $f(x)$ är den övre kurvan och $g(x)$ är den undre.

Notera att GeoGebra alltid beräknar $f(x) – g(x)$. Om du skriver funktionerna i fel ordning får du ett negativt svar. Kontrollera alltid i grafläget vilken
kurva som ligger överst i det aktuella intervallet.

Steg 1 – Rita upp de två funktionerna i GeoGebra för att se vilket intervall som är relevant och vilken kurva som ligger överst.

Steg 2 – Identifiera integrationsgränserna $a$ och $b$, vilka ofta är skärningspunkterna mellan kurvorna eller med $x$‍x– eller $y$y-axeln. 

Steg 3 – Skriv kommandot i inmatningsfältet med den övre funktionen först.

Steg 4 – Tryck Enter. GeoGebra beräknar arean och markerar det färgade området mellan kurvorna i grafläget.

Vi kan kontrollera svaret för hand:

$\int_{-1}^{2} (x + 2 – x^2) \, dx = \left[\dfrac{x^2}{2} + 2x – \dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \dfrac{9}{2}$ 

• Beräkna arean mellan graferna till funktionerna $f(x)=4x-2x^2$ och $g(x)=x$ mellan skärningspunkterna $x=0$ och $x=1,5$.
• Beräkna arean mellan kurvorna $f(x)=cosx$ och $g(x)=sinx$ i intervallet $ \pi/4≤ x ≤ \pi $.
• Kurvorna till $ y=e^{0,2x} $ och $y=x^2$ innesluter tillsammans med $y-axeln$ ett område i första kvadranten. Teckna integralen för områdets area samt bestäm denna area med minst tre värdesiffror.