Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Derivera sin x och cos x
Innehåll
För att kunna studera förändringshastigheten av periodiska förlopp vill vi kunna derivera sin x och cos x. När vi använder vinkelmåttet radianer kommer derivatan till de trigonometriska funktionerna bli enkla att uttrycka.
Derivera sin x och cos x
För funktioner som innehåller sinus, cosinus och tangens gäller att att de har följande derivator.
Deriveringsregler för trigonometriska funktioner
Om $x$x anges i radianer gäller att
$ f(x)= \sin x $ $\Rightarrow$⇒ $ f(x)´=\cos x $
$ g(x) = \cos x $ $\Rightarrow $ $ g(x)´=-\sin x $
$ y = \tan x $ $\Rightarrow $ $y´=$y´= $\frac{1}{\cos^2x}$1cos2x
Med komplettering av några deriveringsregler som vi gått igenom i tidigare kurser kan vi nu börja så smått att derivera sin x och cos x.
För funktioner med flera termer gäller som vanligt att vi deriverar term för term.
För funktionen $D\left(f+g\right)=f´+g´$D(ƒ +g)=ƒ ´+g´
Och en konstant faktor kvarstår vid derivering.
För alla funktioner $f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)$ƒ (x)=k·g(x) där $k$k är en konstant, gäller att $f´\left(x\right)=k\cdot g´\left(x\right)$ƒ ´(x)=k·g´(x)
Vi kan alltså bryta ut en konstant ur funktionsuttrycket innan vi använder deriveringsregeln.
Exempel 1
Derivera
a) $f(x)=4\sin x$ƒ (x)=4sinx
b) $f(x)=-3\cos x$ƒ (x)=−3cosx
Lösning
Enligt deriveringsreglerna ovan får vi att
a) $f´(x)=4\sin x$ƒ ´(x)=4sinx eftersom att derivatan för $y=\sin x$y=sinx är lika med $y’=\cos x$y’=cosx.
b) $f'(x)=3\sin x$ƒ ’(x)=3sinx eftersom att $y=\cos x$y=cosx är lika med $y’=-\sin x$y’=−sinx och $-3\cdot\left(-\sin x\right)=3\sin x$−3·(−sinx)=3sinx
Härledning av derivatan av sin x
Enligt derivatans definition gäller att derivatan till $f\left(x\right)=\sin x$ƒ (x)=sinx kan beräknas på följande vis.
$f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$ƒ (x+h)−ƒ (x)h =$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$sin(x+h)−sinxh
Enligt additionsformeln för sinus får vi att
$f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin x\cdot\cos h+\sin h\cdot\cos x-\sin x}{h}$sinx·cosh+sinh·cosx−sinxh
Vi delar upp uttrycket i två termer för att lättare kunna slutföra härledningen.
$f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin x\cdot\cos h-\sin x}{h}+$sinx·cosh−sinxh +$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin h\cdot\cos x}{h}=$sinh·cosxh =
$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin x\left(\cos h-1\right)}{h}+$sinx(cosh−1)h +$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin h\cdot\cos x}{h}$sinh·cosxh
Faktorerna $\sin x$sinx och $\cos x$cosx påverkas inte av $h$h vid gränsvärdesberäkningen och vi bryter ut dem på följande vis för att lättare kunna studera de faktorer som påverkar enskilt.
$f'(x)=$$\sin x\cdot$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\cos h-1}{h}+$cosh−1h +$\cos x\cdot$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin h}{h}$sinhh
Vi bestämmer nu gränsvärdena för $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\cos h-1}{h}$cosh−1h och $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin h}{h}$sinhh för att se vad derivatan är.
Vi undersöker numeriskt för mindre och mindre värden på $h$h uttryckt i radianer genom insättning.
$\frac{\cos h-1}{h}\approx$cosh−1h ≈ $-0,005$−0,005 då $h=0,01$h=0,01 rad.
$\frac{\cos h-1}{h}\approx$cosh−1h ≈$-0,0005$−0,0005 då $h=0,0001$h=0,0001 rad.
$\frac{\cos h-1}{h}\approx$cosh−1h ≈$-0,000\text{ }0005$−0,000 0005 då $h=0,000\text{ }001$h=0,000 001 rad.
Fortsätter vi kommer vi upptäcka att $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\cos h-1}{h}=$cosh−1h =$0$0
$\frac{\sin h}{h}\approx$sinhh ≈ $0,999\text{ }983$0,999 983 då $h=0,01$h=0,01 rad
$\frac{\sin h}{h}\approx$sinhh ≈ $0,999\text{ }999\text{ }998$0,999 999 998 då $h=0,0001$h=0,0001 rad
$\frac{\sin h}{h}\approx$sinhh ≈ $1$1 då $h=0,000\text{ }001$h=0,000 001 rad
Fortsätter vi kommer vi upptäcka att $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin h}{h}=$sinhh = $1$1
Det ger att
$f'(x)=\sin x\cdot$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\cos h-1}{h}+$cosh−1h +$\cos x$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin h}{h}=$sinhh =
$\sin x\cdot 0 +\cos x\cdot 1=\cos x$
Vi konstaterar därmed att $f\left(x\right)=\sin x$ƒ (x)=sinx har derivatan $f’\left(x\right)=\cos x$ƒ ’(x)=cosx.
På liknande vis kan du härleda derivatan för cosinusfunktionen. Men för att derivera sin x och cos x behöver du såklart inte göra alla steg ovan utan bara använda deriveringsreglerna som vi just härlett.
Derivatan och tangentens lutning
Vi påminner om att derivatans värde, förändringshastigheten och punktens och tangents lutning antar samma värde för varje $x$x i funktionens definitionsmängd.
Exempel 2
Funktionen $f\left(x\right)=3\sin x$ƒ (x)=3sinx har en tangent i punkten $P=\left(\frac{\pi}{2},\text{ }3\sin\frac{\pi}{2}\right)$P=(π2 , 3sinπ2 ).
Ange tangents ekvation.
Lösning
Tangentens lutning är detsamma som derivatans värde i tangeringspunkten. Enligt deriveringregeln för sinus får vi att
$f’\left(x\right)=3\cos x$ƒ ’(x)=3cosx
Då funktionen har en maximipunkt i $P=\left(\frac{\pi}{2},\text{ }3\sin\frac{\pi}{2}\right)$P=(π2 , 3sinπ2 ) gäller att tangentens lutning är noll. Vi kan dubbelkolla detta med beräkningen $\cos\frac{\pi}{2}=0$cosπ2 =0 får vi att $f’\left(\pi\right)=3\cdot0=0$ƒ ’(π)=3·0=0
Enligt tangentens ekvation gäller att
$y=f’\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot x+m$y=ƒ ’(π2 )·x+m
Vi sätter in punktens $x$x– och $y$y-koordinat för att beräkna $m$m-värdet genom att först beräkna $3\sin\frac{\pi}{2}=3\cdot1=3$3sinπ2 =3·1=3.
$3=0\cdot\frac{\pi}{2}+m$3=0·π2 +m
$m=3$m=3
Tangentens ekvation är $y=3$y=3.
Kedjeregeln
När funktionsuttrycket inte enbart har ett $x$x som sinus och cosinus ska ”verka” på, tex om $y=-7\sin\left(3x+5\right)$y=−7sin(3x+5) eller $y=\cos^2\left(7-x\right)$y=cos2(7−x) säger man att funktionen är sammansatt av en ”inre” och ”yttre” funktion. Man behöver då använda den så kallade kedjeregeln för att kunna derivera rätt. Denna säger att om man har en funktion enligt $f(g(x))$ så blir derivatan av denna $f ’(g(x)) \cdot g’(x)$. Dvs man tar den yttre derivatan och multiplicerar med den inre derivatan.
$ y=f(g(x))$ har derivatan $ f´(g(x)) \cdot g´(x) $
Denna regel tittar vi närmre på i kommande lektion.
Exempel i videon
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (10)
-
1. Premium
Derivera $f(x)=\sin x$ƒ (x)=sinx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan trigonometri Trigonometriska funktionerRättar...2. Premium
Derivera $f\left(x\right)=\cos x$ƒ (x)=cosx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan trigonometri Trigonometriska funktionerRättar...3. Premium
Derivera $f(x)=-6\sin x$ƒ (x)=−6sinx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan Trigonometriska funktionerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Derivera $f(x)=-2\cos x$ƒ (x)=−2cosx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan Trigonometriska funktionerRättar...5. Premium
Derivera $f(x)=4\sin x-\cos x$ƒ (x)=4sinx−cosx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan Trigonometriska funktionerRättar...6. Premium
Derivera $f(x)=$ƒ (x)= $-\frac{\sin x}{2}$−sinx2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan trigonometri Trigonometriska funktionerRättar...7. Premium
Beräkna $f’\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ƒ ’(3π4 ) då $f(x)=4\sin x-\cos x$ƒ (x)=4sinx−cosx
med ett digitalt hjälpmedel och ange svaret med två decimalers noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan GeoGebra Trigonometriska funktionerRättar...8. Premium
Beräkna $f’\left(\frac{\pi}{2}\right)$ƒ ’(π2 ) då $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{\sin x}{2}+\frac{\cos x}{4}$sinx2 +cosx4
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan trigonometri Trigonometriska funktionerRättar...9. Premium
Bestäm gränsvärdet för $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\cos h-1}{h}$cosh−1h numeriskt där $h$h anges i radianer.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: GränsvärdenLiknande uppgifter: derivatan gränsvärde sinusRättar...10. Premium
Bestäm gränsvärdet för $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin h}{h}$sinhh numeriskt där $h$h anges i grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: GränsvärdenLiknande uppgifter: derivatan gränsvärde sinusRättar...c-uppgifter (5)
-
11. Premium
Vilket är det största värdet derivatan till $y=$y= $\frac{2\cos x}{3}$2cosx3 kan anta?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan Trigonometriska funktionerRättar...12. Premium
För vilken vinkel i intervallet $0\le x\le2\pi$0≤x≤2π radianer återfinns det största värdet derivatan till $y=$y= $\frac{2\cos x}{3}$2cosx3 ?
Lös uppgiften algebraiskt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan Trigonometriska funktionerRättar...13. Premium
Förenkla $y=f\left(x\right)+f”\left(x\right)$y=ƒ (x)+ƒ ”(x) om $f\left(x\right)=2\sin x-\cos x$ƒ (x)=2sinx−cosx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...14. Premium
För funktionen $f\left(x\right)=A\sin x+B\cos x$ƒ (x)=Asinx+Bcosx gäller att $\begin{cases} f(\pi)=4 \\ f'(\pi)=-2\end{cases}$
Bestäm konstanterna $A$A och $B$B.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan Trigonometriska funktionerRättar...15. Premium
Funktionen $f\left(x\right)=2\cos x$ƒ (x)=2cosx har en tangent i punkten $P=\left(\frac{\pi}{2},\text{ }2\cos\frac{\pi}{2}\right)$P=(π2 , 2cosπ2 ) .
Ange tangents ekvation.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Tangentens ekvation och lutningLiknande uppgifter: derivatan trigonometriska funtkionerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Armend Berisha
Ska man inte derivera term för term?
Syftar på fråga 1, sin(x) blir ju cos(x) men borde inte -(1/2) bli = 0? Att derivera en konstant ska inte gå enligt det jag lärt mig.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej,
Det är samt att derivatan av en konstant är lika med noll. En konstant är ju just konstant och har därmed ingen förändring, vilket är det derivatan motsvarar.
Men i denna uppgift är $-\frac{1}{2}$ inte en konstant utan en koefficient. Alltså den konstanta faktor variabeln multipliceras med. Och koefficienten har inte derivatan noll, utan förblir en faktor som derivatans värde, förändringen, ska multipliceras med.
Så hade det stått $y=-\frac{1}{2}+\sin(x)$ hade derivatan varit $y=-0 + \cos(x)=\cos(x)$. Men i denna uppgiften är $-\frac{1}{2}$ en koefficient, inte en konstantterm.
randsara
hej Simon!
jag har en fråga här som jag inte kunde lösa
bestäm det exakta värde f´ ( pi/4)
f(X)= sinx/2 – cosx/3 ?
hur ska man bestämma exakta värde här ?
Simon Rybrand (Moderator)
Jag antar att du menar
$ f(x) = \frac{sinx}{2}-\frac{cosx}{3} $
Först så deriverar du funktionen så att du får:
$f'(x)=\frac{cosx}{2}+\frac{sinx}{3}$
Nu sätter vi in $\pi/4$
$ f'(\pi/4)=\frac{cos(\pi/4)}{2}+\frac{sin(\pi/4)}{3}=$
(ta fram exakta trigonometriska värden genom exempelvis en formelsamling)
$ \frac{1/\sqrt{2}}{2}+\frac{1/\sqrt{2}}{3} = $
$ \frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}} $
Maria
Hej jag har försökt lösa det här talet men jag får olika svar
En tangent dras till kurvan i X= Pi/3
Ange tangentens ekvation
Då y= 2sin(X+2)
Tack på förhand!
Leila
Sista frågan som kattla ställde:
Jag har svarat så:
-3 sin x (2+cos x)^2
Har jag svarat rätt?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, ja det är samma sak som vi nämner ovan.
Leila
Hej Simon!
Jag har slutprov övermorgon. Det känns mycket mindre nervös nu när jag pluggar med hjälp av matematikvideo. Jag rekomenderar denna sida till alla mina vänner som pluggar matte med:)
Den perfekta undervisningen!
TACK!
Med vänlig hälsning,
Leila
Simon Rybrand (Moderator)
Kul att höra, lycka till med provet!
kattla
Hej och tack för en mycket bra sida som kommer rädda mina studier! Jag har lärt mig mer på några minuter här än efter ett helt kapitel i boken!
Jag är dock lite osäker på en uppgift. y=(2+cosx)^3
Jag har följ din video och kommit fram till följande.
Inre funktionen:(2+cos x)=u
Inre derivata: u’=-sinx
Yttre funktionen: u^3
Yttre derivata: 3u^2=3(2+cosx)^2
Detta ger:
y’=3u^2∙u’ = 3(2+cosx)^2∙(-sinx) =3(cosx)^2 ∙(- sinx)
När jag skriver in funktionen på tex wolfram alpha så står det att derivatan till funktionen blir:
-3(2+cos(x))^2∙sin(x)
Vart har jag gjort fel i min uträkning? Eller är det så enkelt att man multiplicerat -1 framför sin x med 3an framför första parentesen? Borde man inte ta bort konstanten 2 när man deriverar?
Mvh
Kattis
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Kattis, du är mycket nära rätt lösning där och det är bara den yttre derivatan som blir fel, du tar bort 2:an där vilket du inte skall göra. Jag skriver derivatan här och förenklar den även så att du ser likheten med wolfram:
$ y = (2+cosx)^3 $
$ y´ = 3⋅(2+cosx)^2 ⋅ (-sinx) = $
$ -3⋅(2+cosx)^2 ⋅ sinx $
På slutet läggs minustecknet framför 3:an istället, hoppas att detta hjälper dig att förstå!
kattla
Tack så mycket!
Sebastian
Hej!
Jag undrar hur man deriverar sinx/2 ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Sebastian, när man deriverar det så får du
$ f´(x) = \frac{cosx}{2} $
emmaknutsdotter
Hej! Jag har fastnat på en typ av tal som jag inte hittar i din video.
sin(3x-pi/4)
2cos pi-3x/12
Jätte snällt om du ville förklara dessa! Det är svårt att de vad som är inre och yttre derivata…
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det brukar vara lite krångligt att komma på vad som är inre och yttre derivata i början så det får man träna på en del.
I funktionen y = sin(3x-pi/4) så har du den inre derivatan inom parantesen, så derivatan är
$ y’ = cos(3x – \pi/4) \cdot 3 = 3cos(3x – \pi/4) $
Den andra derivatan löser du på samma vis.
David Stephan
Jag anade att det talet var en konstant 🙂 Tack Simon för en grym sida! Du hjälper många genom att förenkla matten, och inte som många läroverk gör, dvs. komplicerar mer än nödvändigt.
David Stephan
Tjena Simon! Har en fråga gällande derivering. Om en inre funktion ser ut t.ex. så här: (x – 5a), deriverar man endast x? eller även 5a? Antingen bara 1, eller 1 – 5 som blir isåfall -4?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej David,
Antagligen så är det så att med a menas en konstant, dvs ett tal, så denna konstant deriveras som vilken konstant som helst. Så om vi exempelvis har funktionen
$ f(x) = (x – 5a)^3 $
$ f'(x) = 3(x – 5a)^2 \cdot 1 $
för att derivatan av x – 5a är 1 – 0 = 1
Gunilla Jacobsson
Hej! Jag försöker lösa följande tal men utan att lyckas: $ sin^4(2x-1) $. Fyran efter sin är upphöjt. Ger detta tal dubbla inre och yttre funktioner och derivata?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Gunilla,
Ja det stämmer att det ger ”dubbla” inre funktioner då även den inre funktionen har en inre funktion.
Vi har alltså
$ y = sin^4(2x-1) = (sin(2x-1))^4 $
Derivatan blir då
$ y ’ = 4(sin(2x-1))^3⋅( cos(2x – 1)⋅2 ) = $
$ y ’ = 4(sin(2x-1))^3⋅2cos(2x – 1) = $
$ y ’ = 8sin^3(2x-1)⋅cos(2x – 1) $
Gunilla Jacobsson
Tack Simon! Vet inte om jag hade klarat matematik 4 utan matematikvideo. Rekommenderar den här sidan till alla mina vänner som pluggar matte!
Endast Premium-användare kan kommentera.