Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus

Vi utgår från enhetscirkeln och markerar två punkter på cirkelns rand samt tillhörande vinklar och koordinater.

Vi drar nu en linje mellan de två punkterna och kallar längden för $d$d. Den motstående vinkeln är  $u-v$u−v.

Vi kan nu uttrycka $d^2$d² på två olika sätt, med hjälp av tidigare kända formler:

Cosinussatsen anger ett samband mellan de tre sidorna i en triangel samt en av vinklarna. I detta fall får vi

 $d^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos\left(u-v\right)=$d²=1²+1²−2·1·1·cos(u−v)= $2-2\cos\left(u-v\right)$2−2cos(u−v)  

Avståndet $d$d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x₁, y₁) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x₂, y₂) ges av avståndsformeln:  $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=√(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)² .

I detta fall är punkten  $\left(x_1,\text{ }y_1\right)=\left(\cos v,\sin v\right)$(x₁, y₁)=(cosv,sinv)  och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)=\left(\cos u,\sin u\right)$(x₂, y₂)=(cosu,sinu) vilket ger

 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=$d=√(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²= $\sqrt{\left(\cos u-\cos v\right)^2+\left(\sin u-\sin v\right)^2}$√(cosu−cosv)²+(sinu−sinv)²     kvadrera båda led

 $d^2=\left(\cos u-\cos v\right)^2+\left(\sin u-\sin v\right)^2$d²=(cosu−cosv)²+(sinu−sinv)² 

Vi använder andra kvadreringsregeln och utvecklar parenteserna.

 $d^2=\cos^2u-2\cos u\cos v+\cos^2v+\sin^2u-2\sin u\sin v+\sin^2v$d²=cos²u−2cosucosv+cos²v+sin²u−2sinusinv+sin²v 

Vi flyttar om termerna i högerledet och ser att trigonometriska ettan finns på två ställen.

 $d^2=\left(\sin^2u+\cos^2u\right)-2\cos u\cos v+\left(\sin^2v+\cos^2v\right)-2\sin u\sin v$d²=(sin²u+cos²u)−2cosucosv+(sin²v+cos²v)−2sinusinv 

 $d^2=1-2\cos u\cos v+1-2\sin u\sin v$d²=1−2cosucosv+1−2sinusinv 

Vi sätter uttrycken för  $d^2$d²  från cosinussatsen och avståndsformeln lika med varandra, och förenklar.

 $2-2\cos\left(u-v\right)=$2−2cos(u−v)= $1-2\cos u\cos v+1-2\sin u\sin v$1−2cosucosv+1−2sinusinv  

 $-2\cos\left(u-v\right)=$−2cos(u−v)= $-2\cos u\cos v-2\sin u\sin v$−2cosucosv−2sinusinv  

 $\cos\left(u-v\right)=$cos(u−v)= $\cos u\cos v+\sin u\sin v$cosucosv+sinusinv  

Detta är subtraktionsformeln för cosinus.

Vi skriver om   $\cos\left(u+v\right)=$cos(u+v)= $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)$cos(u−(−v))  

Subtraktionsformeln för cosinus ger då att

 $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)=$cos(u−(−v))= $\cos u\cos\left(-v\right)+\sin u\sin\left(-v\right)$cosucos(−v)+sinusin(−v)  

Vi vet att  $\cos\left(-v\right)=\cos v$cos(−v)=cosv  och  $\sin\left(-v\right)=-\sin v$sin(−v)=−sinv.

 $\cos\left(u-\left(-v\right)\right)=$cos(u−(−v))= $\cos u\cos v+\sin u\left(-\sin v\right)$cosucosv+sinu(−sinv)  

 $\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosv−sinusinv 

Detta är additionsformeln för cosinus.

Vi använder att  $\cos\left(90^{\circ}-x\right)=\sin x$cos(90^∘−x)=sinx  och skriver om  $\sin\left(u+v\right)$sin(u+v):

 $\sin\left(u+v\right)=$sin(u+v)= $\cos\left(90^{\circ}-\left(u+v\right)\right)=$cos(90^∘−(u+v))= $\cos\left(90^{\circ}-u-v\right)=$cos(90^∘−u−v)=  $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)$cos((90^∘−u)−v)   

Subtraktionsformeln för cosinus ger

 $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)=$cos((90^∘−u)−v)= $\cos\left(90^{\circ}-u\right)\cos v+\sin\left(90^{\circ}-u\right)\sin v$cos(90^∘−u)cosv+sin(90^∘−u)sinv  

Vi använder återigen att $\cos\left(90^{\circ}-x\right)=\sin x$cos(90^∘−x)=sinx  samt att  $\sin\left(90^{\circ}-x\right)=\cos x$sin(90^∘−x)=cosx :

 $\cos\left(\left(90^{\circ}-u\right)-v\right)=$cos((90^∘−u)−v)= $\sin u\cos v+\cos u\sin v$sinucosv+cosusinv  

 $\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv 

Detta är additionsformeln för sinus.

Vi skriver om  $\sin\left(u-v\right)=$sin(u−v)= $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)$sin(u+(−v))  

Additionsformeln för sinus ger då att

 $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)=$sin(u+(−v))= $\sin u\cos\left(-v\right)+\cos u\sin\left(-v\right)$sinucos(−v)+cosusin(−v)  

Vi vet att  $\cos\left(-v\right)=\cos v$cos(−v)=cosv  och  $\sin\left(-v\right)=-\sin v$sin(−v)=−sinv.

 $\sin\left(u+\left(-v\right)\right)=$sin(u+(−v))= $\sin u\cos v+\cos u\left(-\sin v\right)$sinucosv+cosu(−sinv)  

 $\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(u−v)=sinucosv−cosusinv 

Detta är subtraktionsformeln för sinus.