Repetition av Derivata

Derivata är en funktion som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion. Funktionens derivata beskriver hur mycket och i vilken riktning funktionens värde förändras då man rör sig från en given punkt.

Inom matematiken är beräkningar av derivatan en metod att studera och beräkna funktioners förändringar.

Återvänd till lektionen för repetition Derivata – Vad är det? om du vill veta mer.

Vi börjar denna repetition av derivata med definitionen.

Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med en ändringskvot. Ändringskvoten motsvarar sekants lutning i intervallet. Derivatan definieras som gränsvärdet till denna ändringskvot.

Derivatan i en punkt kan alltså beräknas med hjälp av gränsvärdet av ändringskvoten där en sekant går till att bli en tangent till kurvan. Omvandlingen från sekant till tangent sker då avståndet mellan punkterna där sekanten skär genom grafen, går mot noll. Alltså i gränslandet där de två punkterna sammanfaller.

Återvänd till lektionen för repetition Derivatans definition om du vill veta mer.

En funktion betecknas med matematiskt språk oftast med $f(x)$ƒ (x) eller $y$y. För att beskriva derivatan till $f\left(x\right)$ƒ (x) använder man vanligtvis beteckningen $f’(x)$ƒ ’(x). Det uttalar man som ”f prim av x”. Men det finns fler sätt att beteckna derivata. Här är några.

Innan vi tittar på de olika funktionernas deriveringsregler gör vi denna repetition av derivata.

Tre bra kom ihåg när du deriverar

1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

Här samlar vi de deriveringsregler vi lärt oss i tidigare kurs.

Polynomfunktioner och Potensfunktioner

Vid derivering av polynomfunktioner och potensfunktioner gäller följande.

En polynomfunktion är ju en särskild sorts protesfunktion där alla exponenter tillhör de naturliga talen. Det leder till att samma deriveringsregel gäller för både polynomfunktioner och potensfunktioner.

För alla funktioner  $f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)$ƒ (x)=k·g(x)  där $k$k är en konstant, gäller att  $f´\left(x\right)=k\cdot g´\left(x\right)$ƒ ´(x)=k·g´(x)

Eftersom att en polynom- och potensfunktioner kan ha flera termer använder vi följande regler för att kunna derivera dem.

Lektion om att derivera polynomfunktioner

En potensfunktion kan innehålla andra exponenter än positiva heltal, exempelvis bråktal eller negativa tal. För potensfunktioner används ändå samma deriveringsregler som för polynomfunktioner.

Lektion om att derivera potensfunktioner

Exponentialfunktioner

För funktioner som har sin oberoende variabel i exponenten gäller följande deriveringsregel.

Eftersom att  $\ln e=1$lne=1 blir derivatan ännu enklare för exponentialfunktioner med basen e.

$f(x)=Ce^{kx}$ƒ (x)=Ce^kx  har derivatan $f´(x)=Ce^{kx}\cdot k$ƒ ´(x)=Ce^kx·k

Lektion om att derivera exponentialfunktioner

När man deriverar en derivata, får man något som man kallar för andraderivatan. Den betecknar man på många olika sätt. Några ser du här.

Skrivsättet $´´$ uttalar man som ”bis”.

Andraderivatan motsvarar förändringshastigheten av förändringshastigheten. Det innebär att man får andraderivatan till en funktion genom att man deriverar funktionen två gånger efter varandra.

Den huvudsakliga användningen av andraderivatan i denna kurs, är att vi med den mycket effektivt kan bestämma extrempunkternas karaktär, samt eventuella inflexionspunkter. Vi kan med andraderivatans hjälp även undersöka hur en graf ser ut och beter sig för olika $x$x -värden.

Återvänd till lektionen för repetition Andraderivatan om du vill veta mer.

Tänk på att utnyttja digitala hjälpmedel när du får. De kan effektivisera beräkningar och underlätta svåra deriveringar.

Dessutom är det nödvändiga vid derivering av vissa funktioner, tex  $y=5x^3\cdot\cos2x\cdot4^x$y=5x³·cos2x·4^x.