Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Repetition av Derivata
Innehåll
Denna lektion är en repetition av derivata och de deriveringsregler vi lärt oss i tidigare kurser.
Repetition av Derivata
Derivata är en funktion som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion. Funktionens derivata beskriver hur mycket och i vilken riktning funktionens värde förändras då man rör sig från en given punkt.
Inom matematiken är beräkningar av derivatan en metod att studera och beräkna funktioners förändringar.
Återvänd till lektionen för repetition Derivata – Vad är det? om du vill veta mer.
Derivatan – ett gränsvärde
Vi börjar denna repetition av derivata med definitionen.
Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med en ändringskvot. Ändringskvoten motsvarar sekants lutning i intervallet. Derivatan definieras som gränsvärdet till denna ändringskvot.
Derivatan i en punkt kan alltså beräknas med hjälp av gränsvärdet av ändringskvoten där en sekant går till att bli en tangent till kurvan. Omvandlingen från sekant till tangent sker då avståndet mellan punkterna där sekanten skär genom grafen, går mot noll. Alltså i gränslandet där de två punkterna sammanfaller.
Derivatans definition
$f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h
Återvänd till lektionen för repetition Derivatans definition om du vill veta mer.
Så betecknas Derivata
En funktion betecknas med matematiskt språk oftast med $f(x)$ƒ (x) eller $y$y. För att beskriva derivatan till $f\left(x\right)$ƒ (x) använder man vanligtvis beteckningen $f’(x)$ƒ ’(x). Det uttalar man som ”f prim av x”. Men det finns fler sätt att beteckna derivata. Här är några.
$y’$y’ $y’\left(x\right)$y’(x) $\frac{dy}{dx}$dydx $\frac{df}{dx}$dƒ dx $Df\left(x\right)$Dƒ (x) $Dy$Dy
Deriveringsregler
Innan vi tittar på de olika funktionernas deriveringsregler gör vi denna repetition av derivata.
Tre bra kom ihåg när du deriverar
- Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
- Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
- Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.
Här samlar vi de deriveringsregler vi lärt oss i tidigare kurs.
Polynomfunktioner och Potensfunktioner
Vid derivering av polynomfunktioner och potensfunktioner gäller följande.
En polynomfunktion är ju en särskild sorts protesfunktion där alla exponenter tillhör de naturliga talen. Det leder till att samma deriveringsregel gäller för både polynomfunktioner och potensfunktioner.
En funktion $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn, där $k$k är en konstant har derivatan
$f´\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·k·xn−1
För alla funktioner $f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)$ƒ (x)=k·g(x) där $k$k är en konstant, gäller att $f´\left(x\right)=k\cdot g´\left(x\right)$ƒ ´(x)=k·g´(x)
Eftersom att en polynom- och potensfunktioner kan ha flera termer använder vi följande regler för att kunna derivera dem.
$D\left(f+g\right)=f´+g´$D(ƒ +g)=ƒ ´+g´
Exempel på att derivera polynomfunktioner
$ y= x $ har derivatan $ y´= 1 $
$ f(x) = x^3 $ har derivatan $ f´(x) = 3x^2 $
$ g(x) = 2x^4 + 3x + 10 $ har derivatan $ g´(x) = 8x^3 + 3 + 0 = 8x^3 + 3 $
Lektion om att derivera polynomfunktioner
En potensfunktion kan innehålla andra exponenter än positiva heltal, exempelvis bråktal eller negativa tal. För potensfunktioner används ändå samma deriveringsregler som för polynomfunktioner.
Potensregler som underlättar derivering
1) $a^{-n}=$a−n= $\frac{1}{a^n}$1an
2) $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$n√x=x1/n
Exempel på att derivera potensfunktioner
$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $ har derivatan $ f´(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $
$ y = \frac{1}{x^2} = x^{-2} $ har derivatan $ y´= -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3} $
Lektion om att derivera potensfunktioner
Exponentialfunktioner
För funktioner som har sin oberoende variabel i exponenten gäller följande deriveringsregel.
$f(x)=Ca^{kx}$ƒ (x)=Cakx där $a>0$a>0 har derivatan $f´(x)=Ca^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=Cakx·k·lna
Eftersom att $\ln e=1$lne=1 blir derivatan ännu enklare för exponentialfunktioner med basen e.
$f(x)=Ce^{kx}$ƒ (x)=Cekx har derivatan $f´(x)=Ce^{kx}\cdot k$ƒ ´(x)=Cekx·k
Exempel på att derivera exponentialfunktioner
$ f(x) = e^x $ har derivatan $ f´(x) = e^x $
$ g(x) = 2e^{3x} $ har derivatan $ g´(x) = 6e^{3x} $
$ y = 2^x $ har derivatan $y´=2^x\cdot\ln2$y´=2x·ln2
Andraderivata – derivatans derivata
När man deriverar en derivata, får man något som man kallar för andraderivatan. Den betecknar man på många olika sätt. Några ser du här.
$ y´´ $ $ f´´(x) $ $\frac{d^2y}{dx^2}$d2ydx2
Skrivsättet $´´$ uttalar man som ”bis”.
Andraderivatan motsvarar förändringshastigheten av förändringshastigheten. Det innebär att man får andraderivatan till en funktion genom att man deriverar funktionen två gånger efter varandra.
Den huvudsakliga användningen av andraderivatan i denna kurs, är att vi med den mycket effektivt kan bestämma extrempunkternas karaktär, samt eventuella inflexionspunkter. Vi kan med andraderivatans hjälp även undersöka hur en graf ser ut och beter sig för olika $x$x -värden.
Återvänd till lektionen för repetition Andraderivatan om du vill veta mer.
Numerisk derivering och digitala verktyg
Tänk på att utnyttja digitala hjälpmedel när du får. De kan effektivisera beräkningar och underlätta svåra deriveringar.
Dessutom är det nödvändiga vid derivering av vissa funktioner, tex $y=5x^3\cdot\cos2x\cdot4^x$y=5x3·cos2x·4x.
Exempel i videon
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (13)
-
1. Premium
Derivera $f(x)=3x+2$ƒ (x)=3x+2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Deriveringsregler PolynomfunktionerLiknande uppgifter: Derivata polynomfunktionRättar...2. Premium
Derivera $f(x)=x^3$ƒ (x)=x3
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Deriveringsregler PolynomfunktionerLiknande uppgifter: Derivata polynomfunktionRättar...3. Premium
Derivera $f\left(x\right)=7x$ƒ (x)=7x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Deriveringsregler PolynomfunktionerLiknande uppgifter: deriveringsregler Deriveringsregler PolynomRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Derivera $f\left(x\right)=82$ƒ (x)=82
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Deriveringsregler PolynomfunktionerLiknande uppgifter: deriveringsregler Deriveringsregler PolynomRättar...5. Premium
Derivera $f\left(x\right)=5e^{2x}$ƒ (x)=5e2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Deriveringsregler ExponentialfunktionerLiknande uppgifter: deriveringsregler Deriveringsregler ExponentialfunktionerRättar...6. Premium
Låt $f(x)=3x^3+2x^2-10x+4$ƒ (x)=3x3+2x2−10x+4 . Bestäm $f´(x)$ƒ ´(x).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Deriveringsregler PolynomfunktionerLiknande uppgifter: Derivata polynomfunktionerRättar...7. Premium
Olle och Olga säljer kantareller och funderar på att höja kantarellernas kilopris för att öka dagsinkomsten. De har kommit fram till att dagsinkomsten som funktion av prishöjningen ges av
$f\left(x\right)=-0,1x^2+5x+3000$ƒ (x)=−0,1x2+5x+3000
där $f\left(x\right)$ƒ (x) dagsinkomsten i kr och $x$x är prishöjningen i kr/kg.
Beräkna, med hjälp av derivata, vilken prishöjning $x$x som ger den största dagsinkomsten.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Andraderivata Derivata deriveringsregler teckentabellRättar...8. Premium
Derivera $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{5}{x^3}$5x3
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Deriveringsregler PotensfunktionerLiknande uppgifter: Derivata potensfunktionRättar...9. Premium
Derivera $f\left(x\right)=4\sqrt{x}$ƒ (x)=4√x och förenkla.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivering potensfunktioner deriveringsreglerRättar...10. Premium
Bestäm andraderivatan till $f(x)=4x^3+3x^2$ƒ (x)=4x3+3x2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan deriveringsreglerRättar...11. Premium
Bestäm $\frac{dV}{dt}$dVdt om $V\left(t\right)=3\pi t^2$V(t)=3πt2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Förändringshastigheter och Derivata - KedjeregelnRättar...12. Premium
Bestäm $\frac{d^2V}{dt^2}$d2Vdt2 om $V\left(t\right)=3\pi t^2$V(t)=3πt2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Förändringshastigheter och Derivata - KedjeregelnRättar...13. Premium
Låt $f(x)=2x^4-x^2+12x+e^x$ƒ (x)=2x4−x2+12x+ex. Bestäm $f´´\left(x\right)$ƒ ´´(x).
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: AndraderivataLiknande uppgifter: andraderivatan DerivataRättar...c-uppgifter (9)
-
14. Premium
Bestäm $f'(x)$ƒ ’(x) om $f\left(x\right)=-$ƒ (x)=−$\frac{2}{\sqrt{x}}$2√x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra derivatan deriveringsreglerRättar...15. Premium
Vilken av graferna nedan skulle kunna vara den ursprungliga funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) då dess andraderivata är $f´´(x)=6x+2$ƒ ´´(x)=6x+2
Motivera ditt val för att få poäng för resonemang.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: AndraderivataLiknande uppgifter: Derivata derivatans grafRättar...16. Premium
Bestäm $f´´\left(9\right)$ƒ ´´(9) om $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{3\sqrt{x}}{2}$3√x2
Ange svaret på enklaste form.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: AndraderivataLiknande uppgifter: Andraderivata deriveringsreglerRättar...17. Premium
Temperaturen hos vattnet i en flaska som ställs in i ett kylskåp kan beskrivas med modellen $T\left(x\right)=17e^{-0,693x}+5$T(x)=17e−0,693x+5 där $T\left(x\right)$T(x) är vattnets temperatur i $°C$°C och $x$x är tiden i timmar efter att flaskan ställdes in i kylskåpet.
a) Bestäm vattnets temperatur då flaskan ställs in i kylskåpet.
b) Bestäm efter hur lång tid vattnets temperatur är $10\text{ }°C$10 °C.
c) Bestäm hur snabbt vattnets temperatur sjunker två timmar efter att flaskan ställdes in i kylskåpet.
d) Enligt modellen kommer vattnets temperatur med tiden att närma sig en undre gräns. Bestäm denna undre gräns med hjälp av modellen.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Problemlösning med DerivataLiknande uppgifter: derivatan FunktionerRättar...18. Premium
Grafen till $f\left(x\right)=x^5-5x^2$ƒ (x)=x5−5x2 har en tangent i punkten $P$P som ligger i fjärde kvadranten.
Tangenten har lutningen $15$15. Bestäm $x$x-koordinaten för punkten $P$P.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Tangentens ekvation och lutningLiknande uppgifter: derivatan Funktioner tangentRättar...19. Premium
Bestäm en andragradsfunktion $f$ƒ som uppfyller villkoret att $f´\left(4\right)=5$ƒ ´(4)=5
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Deriveringsregler PolynomfunktionerLiknande uppgifter: DerivataRättar...20. Premium
Bestäm $f'(x)$ƒ ’(x) om $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{8x+2e^{-x}}{2}$8x+2e−x2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra derivatan deriveringsreglerRättar...21. Premium
Beräkna $f´(x)$ƒ ´(x) då $f(x)=4\cdot2^{2x}-$ƒ (x)=4·22x−$\sqrt{\frac{4}{x^2}}$√4x2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata exponentialfunktioner potensfunktionRättar...22. Premium
Bestäm $f´\left(x\right)$ƒ ´(x) med hjälp av derivatans definition då $f\left(x\right)=x^2+3x$ƒ (x)=x2+3x.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Exempel derivatans definitionLiknande uppgifter: Derivata Derivatans DefinitionRättar...a-uppgifter (6)
-
23. Premium
Antalet lämlar $N(t)$N(t) i en lämmelkoloni kunde beskrivas med funktionen $N(t)=3t(t-3)(t-5)+400$N(t)=3t(t−3)(t−5)+400 då $0\le t\le8$0≤t≤8 motsvarar antal år efter $2008$2008.
Vilket år ökade kolonin med ca $80$80 lämlar/år?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata problemlösningRättar...24. Premium
Ange alla funktioner som har egenskapen att $f(x)=f´(x)$ƒ (x)=ƒ ´(x) där $f(x)\ne0$ƒ (x)≠0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata derivatan exponentialfunktioner exponentialfunktionRättar...25. Premium
Visa att $f'(x)=8^x\cdot\ln8$ƒ ’(x)=8x·ln8 då $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{1}{2^{-3x}}$12−3x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Deriveringsregler ExponentialfunktionerLiknande uppgifter: Algebra deriveringsreglerRättar...26. Premium
Albins vikt kan beskrivas med funktionen $V\left(t\right)=0,10t^3-1,23t^2+6,51t+3,72$V(t)=0,10t3−1,23t2+6,51t+3,72 där vikten $V$V kg är en funktion av tiden $t$t år efter födseln. Funktionen gäller under hans åtta första levnadsår.
Den hastighet som Albins vikt ökar med varierar. Bestäm vilka värden hastigheten kan anta under Albins åtta första levnadsår.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Minsta och Största värde AndraderivataLiknande uppgifter: andraderivatan derivatan största och minsta värde -
-
-
Leon Stenberg Wadstrom
Hej,
Denna sida har varit jättehjälpsam, bara en snabb fråga. På uppgift 8 i förklaring så står det att -h/x(x+h) gånger 1/h blir -1/x(x+h).
Jag förstår inte riktigt hur -h gånger 1 blir -1 och hur h gånger x(x+h) blir x(x+h)
Tack så mycket för hjälpen.
Leon
holm.nathalie
Hej!
Om man har f prim dvs. f ’ (y) = roten ur y så kommer jag så långt att:
roten ur y är samma sak som y^1/2
sen måste man plussa på 1
y = y^1+ 1/2 = y^3/2
men sen då?? Tar jag ned 3/2 framför y och delar med 3/2 så tar ju de ut varandra?
Tacksam för svar 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Svarar gärna men vilken uppgift är det som du jobbar med?
Någon från övningarna här eller någon annanstans? Kan du skriva ned frågan här?
RasmusP
Nu är det något fel med alla tecken. Det står $ osv istället för talen på frågorna.
”
Vad är derivatan av x3x3?
x^3$
$
x2x2
x^2$
FÖRKLARING
I formelsamlingen kan vi se att derivatan av xaxa är a⋅xa−1a⋅xa−1.
Tillämpat på frågan får vi att derivatan av x3x3 är:
\cdot x^{3-1} = 3x^2$
”
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Detta kan bero på att du har javascript (programmeringsspråket som gör om formlerna) avstängt i din webbläsare. Testa gärna med en annan webbläsare och hör av dig om det fortfarande inte fungerar!
Jonathan Sundström
Fråga 4 verkar inte stämma, derivatan av sin(x) ska väl vara cos(x) och inte cos2(x) som den rättar som rätt svar.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tänk på att du här måste använda dig av produktregeln. Derivatan av sin(x) är cos(x) men eftersom du inte deriverar cos(x) så får du $cos(x) \cdot cos(x) = cos^2x$
Mikael
Fråga fyra har två likadana alternativ 1 och 3.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej och tack för kommentaren, det är korrigerat i testet.
Leila
Hej!
Jag svarade rätt på alla frågor men det visas 80% rätt!
Det inte stämmer.
Hälsningar
Leila
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, vilken fråga är det som du får fel på?
Endast Premium-användare kan kommentera.