Kurvan till y = a sin x + b cos x

När du skriver om dessa typer av funktioner använder du följande formel.

I formelbladet till nationella prov anges endast formeln:

$a\sin x+b\cos x=c\sin\left(x+v\right)$asinx+bcosx=csin(x+v) där  $c=\sqrt{a^2+b^2}$c=√a²+b² och $\tan v=$tanv=$\frac{b}{a}$ba .

Vi visar fallet att om  $a>0$a>0, $b>0$b>0,  $0^{\circ}<$0^∘<$v$v$<90^{\circ}$<90^∘ och $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba  så gäller  $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=√a²+b²sin(x+v) .

Vi vill här visa att vi kan skriva funktionen $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x$ƒ (x)=asinx+bcosx som $f\left(x\right)=A\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=Asin(x+v).

1)

Vi börjar att jobba med uttrycket $A\sin\left(x+v\right)$Asin(x+v) och använder en av additionsformlerna för sinus för att skriva skriva om det.

$f\left(x\right)=A\sin\left(x+v\right)=A\left(\sin x\cos v+\cos x\sin v\right)$ƒ (x)=Asin(x+v)=A(sinxcosv+cosxsinv)

I uttrycket ovan kan vi vi bryta ut $\cos v$cosv.

$f\left(x\right)=A\left(\sin x\cos v+\cos x\sin v\right)=A\cos v\left(\sin x+\cos x\tan v\right)$ƒ (x)=A(sinxcosv+cosxsinv)=Acosv(sinx+cosxtanv)

Notera här ovan att när vi bryter ut $\cos v$cosv ur den andra termen i parentesen så får vi

 $\cos x\sin v=$cosxsinv=$\frac{\cos x\sin v}{\cos v}=$cosxsinvcosv =$\cos x\cdot$cosx·$\frac{\sin v}{\cos v}=$sinvcosv =$\cos x\cdot\tan v$cosx·tanv

2)

Vi går nu vidare och skriver om $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x$ƒ (x)=asinx+bcosx genom att bryta ut $a$a.

$f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=a\left(\sin x+\frac{b}{a}\cos x\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=a(sinx+ba ‍cosx)

Notera återigen att när vi bryter ut $a$a i den andra termen så får vi $b\cos x=$bcosx=$\frac{b\cos x}{a}=\frac{b}{a}\cdot$bcosxa =ba ·$\cos x$cosx 

3) 

Vi ställer upp de båda funktionerna så att vi kan jämföra dem

$f\left(x\right)=A\cos v\left(\sin x+\cos x\tan v\right)$ƒ (x)=Acosv(sinx+cosxtanv)
$f\left(x\right)=a\left(\sin x+\frac{b}{a}\cos x\right)$ƒ (x)=a(sinx+ba cosx)

Vi ser att dessa bägge funktioner kommer att vara identiska om

$A\cos v=a$Acosv=a och om  $\tan v=$tanv=$\frac{b}{a}$ba  

Vi får därför att $v=\tan^{-1}$v=tan⁻¹$\left(\frac{b}{a}\right)$(ba ) 

4)

Vi vill nu bestämma $A$A.

Sambandet $\tan v=\frac{b}{a}$tanv=ba  kan beskrivas med hjälp av en rätvinklig triangel där kateterna är $a$a och $b$b och hypotenusan kommer då ges av pythagoras sats och vara $\sqrt{a^2+b^2}$√a²+b².

I samma triangel så gäller att $\cos v=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$cosv=a√a²+b²  och om vi sätter in det i  $A\cos v=a$Acosv=a så får vi

 $A\cdot$A·$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=$a√a²+b² =$a$a 

Vi skriver om uttrycket och får att

$A=\sqrt{a^2+b^2}$A=√a²+b²

Så nu vet vi att förskjutningen $v=\tan^{-1}$v=tan⁻¹$\left(\frac{b}{a}\right)$(ba ) och att amplituden  $A=\sqrt{a^2+b^2}$A=√a²+b² och därmed har vi visat att om

$a>0$a>0, $b>0$b>0, 0° < v < 90° och  $\tan v=$tanv=$\frac{b}{a}$ba   så gäller  $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)$ƒ (x)=asinx+bcosx=√a²+b²sin(x+v) .

På liknande vis kan även  $f\left(x\right)=a\sin x-b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x-v\right)$ƒ (x)=asinx−bcosx=√a²+b²sin(x−v) visas.