Nationellt prov Matematik 4 ht 2014 del B och C

Derivera

a)  $f\left(x\right)=\sin4x+\cos x$ƒ (x)=sin4x+cosx 

b)  $f\left(x\right)=2x\cdot e^x$ƒ (x)=2x·e^x 

Bestäm för vilket värde på $x$x som uttrycket  $123+\left|x-7\right|$123+|x−7|  antar sitt minsta värde.

Figuren visar ett komplext talplan där talet $z_1$z₁ är markerat.

a) Bestäm konjugatet till $z_1$z₁.

b) Markera ett tal $z_2$z₂ i första kvadranten så att  $\text{Re }z_2$Re z₂ $<$< $\text{Im }z_2$Im z₂. 

c) Markera ett tal $z_3$z₃ i tredje kvadranten så att  $\left|z_3\right|=\sqrt{10}$|z₃|=√10 

Bestäm konstanten $A$A så att det minsta värde funktionen  $y=A+5\sin2x$y=A+5sin2x  kan anta är $3$3.

Bestäm  $\cos2x$cos2x uttryckt i $p$p om $\cos x=p$cosx=p.

Vilket är det största värde  $3-4\sin x\cos x$3−4sinxcosx kan anta?

De komplexa talen $z_1$z₁, $z_2$z₂ och $z_3$z₃ ligger på cirkeln $\left|z\right|=2$|z|=2. Se figur.

Bestäm en tredjegradsekvation vars rötter är $z_1$z₁, $z_2$z₂ och $z_3$z₃.

Två av följande ekvationer A–G är asymptoter till  $y=$y=$\frac{x^3-3x^2+2}{x^2}$x³−3x²+2x²  . Vilka två?

A.  $x=0$x=0 
B.  $y=0$y=0 
C.  $x=1$x=1 
D.  $y=2$y=2 
E.  $y=x^2-3x$y=x²−3x 
F.  $y=x+2$y=x+2 
G.  $y=x-3$y=x−3 

I koordinatsystemet är kurvan  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x)  ritad.

Använd koordinatsystemet nedan och skissa kurvan  $y=f\left(\left|x\right|\right)$y=ƒ (|x|) i intervallet  $-4\le$−4≤$x\le4$x≤4. För att underlätta din skissning är kurvan  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x)  inritad med en streckad linje.

Det skuggade området i figur 1 begränsas av kurvan  $y=3\cos x$y=3cosx  och de positiva koordinataxlarna. Kvadraten i figur 2 har lika stor area som det skuggade området i figur 1.

Bestäm kvadratens sidlängd uttryckt i längdenheter. Svara exakt.

Visa att  $\frac{\sin x}{\tan x\left(\cos^2x+\sin^2x\right)}=$sinxtanx(cos²x+sin²x) = $\cos x$cosx   för alla $x$x där uttrycken är definierade.

Funktionen  $f\left(x\right)=\ln x-x$ƒ (x)=lnx−x  är definierad för  $x>0$x>0  och har exakt en extrempunkt.

Bestäm extrempunktens $x$x-koordinat och undersök om det är en maximi- eller minimipunkt.

Beräkna $z^4$z⁴ då  $z=\sqrt{3}\left(\cos45^{\circ}+i\text{ }\sin45^{\circ}\right)$z=√3(cos45^∘+i sin45^∘). Förenkla svaret så långt som möjligt.

Polynomet  $p\left(x\right)=x^3-5x-12$p(x)=x³−5x−12  har ett nollställe  $x=3$x=3. Bestäm övriga nollställen till polynomet.

Ekvationen  $x^2+ax+b=0$x²+ax+b=0  har en rot  $x=1+i\sqrt{3}$x=1+i√3. Bestäm de reella konstanterna $a$a och $b$b. 

Visa att det går att bestämma konstanten $a$a så att funktionen  $f\left(x\right)=x+$ƒ (x)=x+$\frac{a}{x+1}$ax+1    får ett minimum för  $x=1$x=1.

Figuren visar grafen till en funktion  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).

En ny funktion $g$g definieras av  $g\left(x\right)=$g(x)=$\int\limits_0^t$$f\left(x\right)dx$ƒ (x)dx  i intervallet  $0\le t$0≤t$\le7\pi$≤7π .

a) Undersök för vilket värde på $t$t som funktionen $g$g har sitt minsta värde i intervallet  $0\le t$0≤t$\le7\pi$≤7π.

b) Undersök antalet nollställen till funktionen $g$g i intervallet  $0\le t$0≤t $\le7\pi$≤7π.

Funktionen  $f\left(x\right)=x\cos x-\sin x$ƒ (x)=xcosx−sinx  har derivatan  $f’\left(x\right)=-x\sin x$ƒ ’(x)=−xsinx .

a) Visa att  $f’\left(x\right)=-x\sin x$ƒ ’(x)=−xsinx  om  $f\left(x\right)=x\cos x-\sin x$ƒ (x)=xcosx−sinx .

b) Bestäm $\int\limits_0^{\pi/2}$$x\sin x\text{ }dx$‍xsinx dx 

Visa att polynomet  $p\left(x\right)=x^3+3x-18$p(x)=x³+3x−18  har exakt ett reellt nollställe.