00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2b
/  Nationellt prov Ma2b VT 2014

Deriveringsregler

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen samlar vi de deriveringsregler som används i kurserna Matematik 3 och Matematik 4 på gymnasiet.

 

Till varje regel anger vi i vilken kurs den introduceras.

Innan vi tittar på de olika funktionernas deriveringsregler repeterar vi några grunder vid derivering.

Tre bra kom ihåg när du deriverar
  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

Polynomfunktioner (Ma 3)

Vid derivering av polynomfunktioner gäller följande.

Funktionen  f(x)=xnf\left(x\right)=x^nƒ (x)=xn   har derivatan  f(x)=nxn1f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}ƒ ´(x)=n·xn1 

och

För alla funktioner  f(x)=kg(x)f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)ƒ (x)=k·g(x)  där kkk är en konstant, gäller att  f(x)=kg(x)f'\left(x\right)=k\cdot g'\left(x\right)ƒ ´(x)=k·g´(x)    

Lägger vi dessutom till följande regel kan vi derivera alla potensfunktioner. Eftersom att en polynomfunktion kan ha flera termer använder vi följande regler för att kunna derivera dem.

 D(f+g)=f+gD\left(f+g\right)=f'+g'D(ƒ +g)=ƒ ´+g´ 

Exempel på att derivera polynomfunktioner

f(x)=x f(x) = x har derivatan f(x)=1 f'(x) = 1

f(x)=x3 f(x) = x^3 har derivatan f(x)=3x2 f'(x) = 3x^2

f(x)=2x4+3x+10 f(x) = 2x^4 + 3x + 10 har derivatan f(x)=8x3+3+0=8x3+3 f'(x) = 8x^3 + 3 + 0 = 8x^3 + 3

Lektion om att derivera polynomfunktioner

Potensfunktioner (Ma 3)

En potensfunktion kan innehålla andra exponenter än positiva heltal, exempelvis bråktal eller negativa tal. För potensfunktioner används ändå samma deriveringsregler som för polynomfunktioner.

En potensfunktion f(x)=kxnf\left(x\right)=kx^nƒ (x)=kxn, där kkk är en konstant har derivatan

 f(x)=nkxn1f'\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}ƒ ´(x)=n·k·xn1

Dessutom gäller att

  • Du får derivera term för term, d.v.s om vi har flera termer deriverar du varje term för sig.
  • Derivatan av en konstant, t.ex.  4,5,100,104,5,100,-104,5,100,10  är noll.

Ofta behöver potensfunktioner skrivas om med potensregler för att bli lättare att derivera. De potensregler som då används är:

1)  an=a^{-n}=an=  1an\frac{1}{a^n}1an  
2)  x=x1/2\sqrt{x}=x^{1/2}x=x1/2 

Exempel på att derivera potensfunktioner

f(x)=x=x1/2 f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} har derivatan f(x)=12x1/2=12x f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

g(x)=1x2=x2 g(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} har derivatan g(x)=2x3=2x3 g'(x) = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3}

Lektion om att derivera potensfunktioner

Exponentialfunktioner (Ma 3)

För funktioner som har sin oberoende variabel i exponenten så brukar man särskilja mellan de funktioner som står på basen e och de som inte gör det.

 f(x)=akxf(x)=a^{kx}ƒ (x)=akx  där  a>0a>0a>0  har derivatan f(x)=akxklnaf'(x)=a^{kx}\cdot k\cdot lnaƒ ´(x)=akx·k·lna 

 f(x)=aekxf\left(x\right)=a\cdot e^{kx}ƒ (x)=a·ekx har derivatan  f(x)=kaekxf'\left(x\right)=k\cdot a\cdot e^{kx}ƒ ´(x)=k·a·ekx 

Exempel på att derivera exponentialfunktioner

y=ex y= e^x har derivatan y=ex y' = e^x

f(x)=2e3x f(x) = 2e^{3x} har derivatan f(x)=6e3x f'(x) = 6e^{3x}

g(x)=2x g(x) = 2^x har derivatan  g(x)=2xln2g'(x)=2^x\cdot\ln2g´(x)=2x·ln2 

Lektion om att derivera exponentialfunktioner

Derivatan av logaritmfunktionen ln x (Ma 4)

 f(x)=klnxf\left(x\right)=k\cdot\ln xƒ (x)=k·lnx  där x>0x>0x>0 har derivatan

 f(x)=f'\left(x\right)=ƒ ´(x)= kx\frac{k}{x}kx   

Exempel på att derivera logaritmfunktionen ln x

Om  f(x)=2 lnxf(x)=2\text{ }\ln xƒ (x)=2 lnx  så är  f(x)=f'(x)=ƒ ´(x)= 2x\frac{2}{x}2x  

Trigonometriska funktioner (Ma 4)

För funktioner som innehåller trigonometriska element (sin, cos, tan) så gäller följande grundläggande regler.

 f(x)=sinxf(x)=\sin xƒ (x)=sinx  har derivatan  f(x)=cosxf'(x)=\cos xƒ ´(x)=cosx 

 y=cosxy=\cos xy=cosx  har derivatan  y=sinxy'=-\sin xy´=sinx 

 g(x)=tanxg(x)=\tan xg(x)=tanx  har derivatan  g(x)=g'(x)=g´(x)=  1cos2x\frac{1}{\cos^2x}1cos2x  

Exempel på att derivera trigonometriska funktioner

 f(x)=2sinxf(x)=-2\sin xƒ (x)=2sinx  har derivatan  f(x)=2cosxf'(x)=-2\cos xƒ ´(x)=2cosx 

 g(x)=3+cosxg(x)=3+\cos xg(x)=3+cosx  har derivatan  g(x)=sinxg'(x)=-\sin xg´(x)=sinx 

Lektion om att derivera trigonometriska funktioner

Kedjeregeln (Ma 4)

Sammansatta funktioner deriveras med hjälp av kvotregeln.

 y=f(g(x))y=f\left(g\left(x\right)\right)y=ƒ (g(x)) har derivatan

 y=f(g(x))g(x)y'=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) 

  •  f(g(x))f'\left(g\left(x\right)\right)ƒ ´(g(x)) kallas för den yttre derivatan.
  •  g(x)g'\left(x\right)g´(x) kallas för den inre derivatan.

Exempel på att derivera med kedjeregeln

f(x)=sin2x=(sinx)2 f(x) = \sin^2 x = (\sin x)^2 har derivatan f(x)=2sinxcosx f'(x) = 2 \sin x \cdot \cos x

f(x)=cos(4x) f(x) = \cos (4x) har derivatan f(x)=4sin4x f'(x) = -4 \sin 4x

f(x)=(3+x2)3 f(x) = (3+x^2)^3 har derivatan f(x)=3(3+x2)2(2x) f'(x) = 3(3 + x^2)^2 \cdot (2x)

Lektion om kedjeregeln

Produktregeln (Ma 4)

Vid derivering av produkter, det vill säga en funktion uppbyggd av funktioner multiplicerade med varandra, så används produktregeln.

 y=f(x)g(x)y=f(x)\cdot g(x)y=ƒ (x)·g(x)  har derivatan y=f(x)g(x)+f(x)gx)y'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'x)y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´x) 

Exempel på att derivera med produktregeln

f(x)=exsinx f(x) = e^x \cdot \sin x har derivatan f(x)=exsinx+excosx f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x

f(x)=x2cosx f(x) = x^2\cos x har derivatan f(x)=2xcosxx2sinx f'(x) = 2x \cos x – x^2 \sin x

Lektion om produktregeln

Kvotregeln (Ma 4)

Vid derivering av funktioner skrivna som kvoter så tillämpas kvotregeln.

 y=y=y=  f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}ƒ (x)g(x)   där g(x)0g\left(x\right)\ne0g(x)0 har derivatan y=y'=y´= f(x)g(x)f(x)gx)(g(x))2\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'x)}{(g(x))^2}ƒ ´(x)·g(x)ƒ (x)·g´x)(g(x))2   

Exempel på att derivera med kvotregeln

f(x)=exxx2 f(x) = \frac{e^x \cdot x}{x^2} har derivatan exxexx4 \frac{e^x \cdot x – e^x}{x^4}

Lektion om kvotregeln