Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
Matematik 4
/ Derivata
Produktregeln
Du använder produktregeln för att derivera en funktion som består av en produkt av två funktioner, dvs två funktioner som multipliceras med varandra.
Exempelvis består funktionerna $f\left(x\right)=e^x\cdot sinx$ƒ (x)=ex·sinx och $f\left(x\right)=x^2\cdot lnx$ƒ (x)=x2·lnx av produkter. Därför kan du använda produktregeln för att derivera dem.
Formel
$y=f(x)\cdot g(x)$y=ƒ (x)·g(x) har derivatan $y´=f´(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g´(x)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´(x)
Derivatan av en sådan här funktion är alltså den första funktionen deriverad multiplicerat med den andra ”ej deriverad”. Därefter adderar du med den första funktionen ”ej deriverad” multiplicerat med den andra deriverad.
Exempeluppgifter
Nedan följer ett antal olika exempel på hur du använder produktregeln. Ibland kan regeln kombineras med andra regler som kedjeregeln eller kvotregeln. Här nedan använder vi dock bara produktregeln.
Exempel 1
Derivera $f(x)=x^2\cdot e^{2x}$ƒ (x)=x2·e2x
Lösning
$f´(x)=2x\cdot e^{2x}+x^2\cdot2e^{2x}$ƒ ´(x)=2x·e2x+x2·2e2x
Exempel 2
Derivera $f(x)=x\cdot sinx$ƒ (x)=x·sinx
Lösning
Derivatan av $sinx$sinx är $cosx$cosx och derivatan av $x$x är $1$1. Därför blir derivatan
$f´(x)=1\cdot sinx+x\cdot cosx=sinx+xcosx$ƒ ´(x)=1·sinx+x·cosx=sinx+xcosx
Exempel 3
Derivera $f(x)=\sqrt{x}\cdot e^x$ƒ (x)=√x·ex
Lösning
Derivatan av $\sqrt{x}$√x är $\frac{1}{2\sqrt{x}}$12√x och derivatan av $e^x$ex är $e^x$ex . Därför blir derivatan
$f´(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^x+\sqrt{x}\cdot e^x$ƒ ´(x)=12√x ·ex+√x·ex
Bevis av produktregeln
Nedan hittar du ett bevis för produktregeln. Det utgår från derivatans definition. Dessutom kommer beviset att dra slutsatser med hjälp av derivatans definition. I beviset används även att vi kan skriva gränsvärden som
$lim\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=lim\left(f\left(x\right)\right)\cdot lim\left(g\left(x\right)\right)$lim(ƒ (x)·g(x))=lim(ƒ (x))·lim(g(x))
Sats
Funktionerna $f\left(x\right)$ƒ (x) och $g\left(x\right)$g(x) är två deriverbara funktioner och $y=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$y=ƒ (x)·g(x). Då gäller att $y´=f´\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´(x).
Bevis
$y´=f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)g\left(x+h\right)-f(x)g\left(x\right)}{h}$ƒ (x+h)g(x+h)−ƒ (x)g(x)h
Nu kommer vi att subtrahera och addera $f\left(x\right)g\left(x+h\right)$ƒ (x)g(x+h) i täljaren. Vi lägger alltså både till det och drar ifrån det så att uttrycket i täljaren inte är förändrat, bara annorlunda skrivet.
$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x+h\right)+f\left(x\right)g\left(x+h\right)-f(x)g\left(x\right)}{h}$ƒ (x+h)g(x+h)−ƒ (x)g(x+h)+ƒ (x)g(x+h)−ƒ (x)g(x)h
Nu kan vi faktorisera uttrycket i täljaren. Vi bryter ut $g\left(x+h\right)$g(x+h) och $f\left(x\right)$ƒ (x) och får följande
$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{g\left(x+h\right)\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$g(x+h)(ƒ (x+h)−ƒ (x))+ƒ (x)(g(x+h)−g(x))h
Nästa steg blir att skriva om uttrycket med två separata rationella uttryck, därför får vi
$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{g\left(x+h\right)\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}$g(x+h)(ƒ (x+h)−ƒ (x))h $ + \lim\limits_{h \to 0}$$\frac{f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$ƒ (x)(g(x+h)−g(x))h
Nu sätter vi $g\left(x+h\right)$g(x+h) och $f\left(x\right)$ƒ (x) utanför kvoterna på följande vis
$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\left(g\left(x+h\right)\frac{\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}\right)$(g(x+h)(ƒ (x+h)−ƒ (x))h ) $ + \lim\limits_{h \to 0}$ $\left(f\left(x\right)\frac{\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}\right)$(ƒ (x)(g(x+h)−g(x))h )
Detta kan även skrivas som
$ \lim\limits_{h \to 0}$ $g\left(x+h\right)$g(x+h) $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}$(ƒ (x+h)−ƒ (x))h $ + \lim\limits_{h \to 0}$ $f\left(x\right)$ƒ (x) $\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$(g(x+h)−g(x))h
Då $h\to0$h→0 och från derivatans definition får vi att detta är lika med
$g\left(x\right)f´\left(x\right)+f\left(x\right)g´\left(x\right)$g(x)ƒ ´(x)+ƒ (x)g´(x)
Vilket är samma sak som
$f´\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g´\left(x\right)$ƒ ´(x)g(x)+ƒ (x)g´(x)
Vilket skulle bevisas.
Exempel i videon
- Derivera $y=sinx \cdot x^2$.
- Derivera $ y=cosx \cdot sinx $.
- Derivera $ y=\sqrt{x} \cdot e^x $.
- Lös ekvationen $ f´(x)=0 $ om $f(x)=x^2 \cdot e^x $.
Kommentarer
e-uppgifter (4)
1. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Beräkna derivatan av $sin(x) \cdot cos(x)$.
Rättar...2. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Vad blir derivatan av $2xcos(2x)$?
Rättar...3. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera $y=x^3e^{2x}$.
Rättar...4. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Låt $y=f(x)\cdot g(x)$ vara produkten av två funktioner $f$ och $g$. Hitta $y'(2)$ om $f(2)=3$, $f'(2)=-2$, $g(2)=1$ och $g'(2)=4$.
Rättar...
c-uppgifter (3)
5. Premium
Rapportera fel (0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Derivera $f\left(x\right)=x\cdot ln\left(x\right)-e^x\cdot\frac{1}{x}$ƒ (x)=x·ln(x)−ex·1x .
Ange konstanttermen i derivatan.Rättar...6. Premium
Rapportera fel (0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Derivera $y=sin\left(2x\right)\cdot cos\left(2x\right)$y=sin(2x)·cos(2x) och förenkla så långt som möjligt.
Rättar...7. Premium
Rapportera fel (0/3/0)E C A B 1 P 2 PL M R K Låt $f(x)=x^4⋅ln(x)$. Lös ekvationen $f'(x)=0$.
Rättar...
a-uppgifter (1)
8. Premium
Rapportera fel (0/0/2)E C A B P 2 PL M R K Derivera $y=x\cdot\left(cos\left(ln\left(x\right)\right)-sin\left(ln\left(x\right)\right)\right)$y=x·(cos(ln(x))−sin(ln(x))) och förenkla så långt som möjligt.
Rättar...
Per Eriksson
Hej, gjorde övningen men fick sedan i facit till uppgifft 2 veta att ”glöm inte den indre derivtan”. Men går man inte igenom kedjeregeln i en senare lektion?
Mattefreak
Kan rekommendera matematikvideo till alla som läser på distans. Haft matematikvideo sedan matematik 1 till matematik 4, hade aldrig klarat alla kurser utan denna tjänst. Bra jobbat!
Simon Rybrand (Moderator)
Kul att läsa detta.
Fortsatt lycka till med pluggandet!
wazus
Bra som vanligt men hade hoppats på fler exempel på den sista uppgiften!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, vi kan lägga till fler exempel här. Kommer så småningom!
Endast Premium-användare kan kommentera.