...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 4
 /   Derivata

Produktregeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Du använder produktregeln för att derivera en funktion som består av en produkt av två funktioner, dvs två funktioner som multipliceras med varandra.

Exempelvis består funktionerna $f\left(x\right)=e^x\cdot sinx$ƒ (x)=ex·sinx  och  $f\left(x\right)=x^2\cdot lnx$ƒ (x)=x2·lnx av produkter. Därför kan du använda produktregeln för att derivera dem.

Formel

 $y=f(x)\cdot g(x)$y=ƒ (x)·g(x)  har derivatan $y´=f´(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g´(x)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´(x)

Derivatan av en sådan här funktion är alltså den första funktionen deriverad multiplicerat med den andra ”ej deriverad”. Därefter adderar du med den första funktionen ”ej deriverad” multiplicerat med den andra deriverad.

Exempeluppgifter

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Nedan följer ett antal olika exempel på hur du använder produktregeln. Ibland kan regeln kombineras med andra regler som kedjeregeln eller kvotregeln. Här nedan använder vi dock bara produktregeln.

Exempel 1

Derivera $f(x)=x^2\cdot e^{2x}$ƒ (x)=x2·e2x 

Lösning

 $f´(x)=2x\cdot e^{2x}+x^2\cdot2e^{2x}$ƒ ´(x)=2x·e2x+x2·2e2x

Exempel 2

Derivera $f(x)=x\cdot sinx$ƒ (x)=x·sinx 

Lösning

Derivatan av  $sinx$sinx är $cosx$cosx och derivatan av $x$x är $1$1. Därför blir derivatan

 $f´(x)=1\cdot sinx+x\cdot cosx=sinx+xcosx$ƒ ´(x)=1·sinx+x·cosx=sinx+xcosx 

Exempel 3

Derivera $f(x)=\sqrt{x}\cdot e^x$ƒ (x)=x·ex 

Lösning

Derivatan av  $\sqrt{x}$x  är $\frac{1}{2\sqrt{x}}$12x   och derivatan av $e^x$ex  är $e^x$ex . Därför blir derivatan

 $f´(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^x+\sqrt{x}\cdot e^x$ƒ ´(x)=12x ·ex+x·ex 

Bevis av produktregeln

Nedan hittar du ett bevis för produktregeln. Det utgår från derivatans definition. Dessutom kommer beviset att dra slutsatser med hjälp av derivatans definition. I beviset används även att vi kan skriva gränsvärden som

 $lim\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=lim\left(f\left(x\right)\right)\cdot lim\left(g\left(x\right)\right)$lim(ƒ (x)·g(x))=lim(ƒ (x))·lim(g(x)) 

Sats

Funktionerna $f\left(x\right)$ƒ (x)  och $g\left(x\right)$g(x) är två deriverbara funktioner och  $y=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$y=ƒ (x)·g(x). Då gäller att  $y´=f´\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´(x).

Bevis

$y´=f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)g\left(x+h\right)-f(x)g\left(x\right)}{h}$ƒ (x+h)g(x+h)ƒ (x)g(x)h 

Nu kommer vi att subtrahera och addera $f\left(x\right)g\left(x+h\right)$ƒ (x)g(x+h) i täljaren. Vi lägger alltså både till det och drar ifrån det så att uttrycket i täljaren inte är förändrat, bara annorlunda skrivet.

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x+h\right)+f\left(x\right)g\left(x+h\right)-f(x)g\left(x\right)}{h}$ƒ (x+h)g(x+h)ƒ (x)g(x+h)+ƒ (x)g(x+h)ƒ (x)g(x)h 

Nu kan vi faktorisera uttrycket i täljaren. Vi bryter ut $g\left(x+h\right)$g(x+h) och  $f\left(x\right)$ƒ (x) och får följande

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{g\left(x+h\right)\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$g(x+h)(ƒ (x+h)ƒ (x))+ƒ (x)(g(x+h)g(x))h 

Nästa steg blir att skriva om uttrycket med två separata rationella uttryck, därför får vi

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{g\left(x+h\right)\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}$g(x+h)(ƒ (x+h)ƒ (x))h  $ + \lim\limits_{h \to 0}$$\frac{f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$ƒ (x)(g(x+h)g(x))h  

Nu sätter vi $g\left(x+h\right)$g(x+h) och $f\left(x\right)$ƒ (x) utanför kvoterna på följande vis

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\left(g\left(x+h\right)\frac{\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}\right)$(g(x+h)(ƒ (x+h)ƒ (x))h ) $ + \lim\limits_{h \to 0}$ $\left(f\left(x\right)\frac{\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}\right)$(ƒ (x)(g(x+h)g(x))h ) 

Detta kan även skrivas som

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $g\left(x+h\right)$g(x+h) $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}$(ƒ (x+h)ƒ (x))h  $ + \lim\limits_{h \to 0}$ $f\left(x\right)$ƒ (x) $\lim\limits_{h \to 0}$  $\frac{\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$(g(x+h)g(x))h  

Då $h\to0$h0 och från derivatans definition får vi att detta är lika med

 $g\left(x\right)f´\left(x\right)+f\left(x\right)g´\left(x\right)$g(x)ƒ ´(x)+ƒ (x)g´(x) 

Vilket är samma sak som

 $f´\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g´\left(x\right)$ƒ ´(x)g(x)+ƒ (x)g´(x) 

Vilket skulle bevisas.

Exempel i videon

  • Derivera $y=sinx \cdot x^2$.
  • Derivera $ y=cosx \cdot sinx $.
  • Derivera $ y=\sqrt{x} \cdot e^x $.
  • Lös ekvationen $ f´(x)=0 $ om $f(x)=x^2 \cdot e^x $.

Kommentarer

Per Eriksson

Hej, gjorde övningen men fick sedan i facit till uppgifft 2 veta att ”glöm inte den indre derivtan”. Men går man inte igenom kedjeregeln i en senare lektion?

Mattefreak

Kan rekommendera matematikvideo till alla som läser på distans. Haft matematikvideo sedan matematik 1 till matematik 4, hade aldrig klarat alla kurser utan denna tjänst. Bra jobbat!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kul att läsa detta.
    Fortsatt lycka till med pluggandet!

wazus

Bra som vanligt men hade hoppats på fler exempel på den sista uppgiften!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vi kan lägga till fler exempel här. Kommer så småningom!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna derivatan av $sin(x) \cdot cos(x)$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vad blir derivatan av $2xcos(2x)$?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $y=x^3e^{2x}$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Låt $y=f(x)\cdot g(x)$ vara produkten av två funktioner $f$ och $g$. Hitta $y'(2)$ om $f(2)=3$, $f'(2)=-2$, $g(2)=1$ och $g'(2)=4$.

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=x\cdot ln\left(x\right)-e^x\cdot\frac{1}{x}$ƒ (x)=x·ln(x)ex·1x  .
    Ange konstanttermen i derivatan.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $y=sin\left(2x\right)\cdot cos\left(2x\right)$y=sin(2x)·cos(2x)  och förenkla så långt som möjligt.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Låt $f(x)=x^4⋅ln(x)$. Lös ekvationen $f'(x)=0$.

    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $y=x\cdot\left(cos\left(ln\left(x\right)\right)-sin\left(ln\left(x\right)\right)\right)$y=x·(cos(ln(x))sin(ln(x)))  och förenkla så långt som möjligt.

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se