Produktregeln

Sats

Funktionerna $f\left(x\right)$ƒ (x)  och $g\left(x\right)$g(x) är två deriverbara funktioner och  $y=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$y=ƒ (x)·g(x). Då gäller att  $y´=f´\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´(x).

Bevis

$y´=f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)g\left(x+h\right)-f(x)g\left(x\right)}{h}$ƒ (x+h)g(x+h)−ƒ (x)g(x)h 

Nu kommer vi att subtrahera och addera $f\left(x\right)g\left(x+h\right)$ƒ (x)g(x+h) i täljaren. Vi lägger alltså både till det och drar ifrån det så att uttrycket i täljaren inte är förändrat, bara annorlunda skrivet.

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x+h\right)+f\left(x\right)g\left(x+h\right)-f(x)g\left(x\right)}{h}$ƒ (x+h)g(x+h)−ƒ (x)g(x+h)+ƒ (x)g(x+h)−ƒ (x)g(x)h 

Nu kan vi faktorisera uttrycket i täljaren. Vi bryter ut $g\left(x+h\right)$g(x+h) och  $f\left(x\right)$ƒ (x) och får följande

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{g\left(x+h\right)\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$g(x+h)(ƒ (x+h)−ƒ (x))+ƒ (x)(g(x+h)−g(x))h 

Nästa steg blir att skriva om uttrycket med två separata rationella uttryck, därför får vi

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{g\left(x+h\right)\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}$g(x+h)(ƒ (x+h)−ƒ (x))h  $ + \lim\limits_{h \to 0}$$\frac{f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$ƒ (x)(g(x+h)−g(x))h  

Nu sätter vi $g\left(x+h\right)$g(x+h) och $f\left(x\right)$ƒ (x) utanför kvoterna på följande vis

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\left(g\left(x+h\right)\frac{\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}\right)$(g(x+h)(ƒ (x+h)−ƒ (x))h ) $ + \lim\limits_{h \to 0}$ $\left(f\left(x\right)\frac{\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}\right)$(ƒ (x)(g(x+h)−g(x))h ) 

Detta kan även skrivas som

$ \lim\limits_{h \to 0}$ $g\left(x+h\right)$g(x+h) $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)}{h}$(ƒ (x+h)−ƒ (x))h  $ + \lim\limits_{h \to 0}$ $f\left(x\right)$ƒ (x) $\lim\limits_{h \to 0}$  $\frac{\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}$(g(x+h)−g(x))h  

Då $h\to0$h→0 och från derivatans definition får vi att detta är lika med

 $g\left(x\right)f´\left(x\right)+f\left(x\right)g´\left(x\right)$g(x)ƒ ´(x)+ƒ (x)g´(x) 

Vilket är samma sak som

 $f´\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g´\left(x\right)$ƒ ´(x)g(x)+ƒ (x)g´(x) 

Vilket skulle bevisas.