...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Trigonometri och trigonometriska funktioner

Formler för dubbla vinkeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Formlerna för dubbla vinkeln är användbara vid omskrivningar av trigonometriska uttryck. Formlerna kan härledas från additionsformlerna och trigonometriska ettan.

Formler för dubbla vinkeln

 $\sin2v=2\sin v\cos v$sin2v=2sinvcosv 

 $\cos2v=$cos2v=$\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2v-1 \\1-\sin ^2v \end{cases} $

Exempel 1

Beräkna $2\sin75^{\circ}\cos75^{\circ}$2sin75cos75 exakt, utan räknare.

Lösning

Vi skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln:
 $2\sin v\cos v=\sin2v$2sinvcosv=sin2v
 $2\sin75^{\circ}\cos75^{\circ}=$2sin75cos75= $\sin2\cdot75^{\circ}=$sin2·75= $\sin150^{\circ}$sin150  

Vi  använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet, och ser att  $\sin150^{\circ}=$sin150= $\frac{1}{2}$12  . 

 

Exempel 2

Bestäm $\cos2v$cos2v om  $\sin v=$sinv=  $\frac{1}{3}$13  .

Lösning

Vi skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln:
 $\cos2v=$cos2v= $1-\sin^2v=$1sin2v= $1-\left(\frac{1}{3}\right)^2=$1(13 )2= $1-\frac{1}{9}=$119 = $\frac{8}{9}$89  

 

 

Härledning

Formlerna för dubbla vinkeln kan härledas genom att använda additionsformlerna för sinus och cosinus.

 $\sin\left(u+v\right)=\sin u\cdot\cos v-\cos u\cdot\sin v$sin(u+v)=sinu·cosvcosu·sinv 
 $\text{⇒}$  $\sin2v=$sin2v= $\sin\left(v+v\right)=$sin(v+v)= $\sin v\cos v+\cos v\sin v=$sinvcosv+cosvsinv= $2\sin v\cos v$2sinvcosv   

 $\cos\left(u+v\right)=\cos u\cdot\cos v-\sin u\cdot\sin v$cos(u+v)=cosu·cosvsinu·sinv
 $\text{⇒}$  $\cos2v=$cos2v= $\cos\left(v+v\right)=$cos(v+v)= $\cos v\cos v-\sin v\sin v=$cosvcosvsinvsinv= $\cos^2v-\sin^2v$cos2vsin2v    

Trigonometriska ettan ger att  $\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1  $\text{⇒}$  $\sin^2v=1-\cos^2v$sin2v=1cos2v.
Sambandet för  $\cos2v$cos2v  kan då skrivas om på följande sätt:
 $\cos2v=$cos2v= $\cos^2v-\sin^2v=$cos2vsin2v= $\cos^2v-\left(1-\cos^2v\right)=$cos2v(1cos2v)= $2\cos^2v-1$2cos2v1   

Trigonometriska ettan ger också att  $\cos^2v=1-\sin^2v$cos2v=1sin2v.
Sambandet för  $\cos2v$cos2v  kan då skrivas om på följande sätt:
 $\cos2v=$cos2v= $\cos^2v-\sin^2v=$cos2vsin2v= $1-\sin^2v-\sin^2v=$1sin2vsin2v= $1-2\sin^2v$12sin2v   

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna  $2\left(\cos15^{\circ}\right)^2-1$2(cos15)21  exakt med hjälp av formel för dubbla vinkeln.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna exakt  $\cos2v+\tan v\sin2v$cos2v+tanvsin2v.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $8\sin3x\cos3x$8sin3xcos3x.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $\frac{\sin4x}{\sin2x}$sin4xsin2x .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Visa att  $\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}=$1cos2x1+cos2x = $\tan^2x$tan2x.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Visa att  $\frac{\cos2v}{\cos v-\sin v}=$cos2vcosvsinv = $\cos v+\sin v$cosv+sinv .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 2
    K
    M NP INGÅR EJ

    Visa att $\frac{\sin2x}{2\text{ }\cos x}=$sin2x2 cosx = $\sin x$sinx  för alla $x$x där uttrycken är definierade.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna  $\left(\cos75^{\circ}+\sin75^{\circ}\right)\left(\cos75^{\circ}-\sin75^{\circ}\right)$(cos75+sin75)(cos75sin75)  exakt med hjälp av formel för dubbla vinkeln.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $\frac{\sin2x}{1-\cos2x}$sin2x1cos2x  .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $\frac{1+\sin v-\cos2v}{\cos v+\sin2v}$1+sinvcos2vcosv+sin2v .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skriv om  $\cos^4x$cos4x  till ett uttryck utan exponenter.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 12. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Visa att  $\cos20^{\circ}\cdot\cos40^{\circ}\cdot\cos80^{\circ}=$cos20·cos40·cos80=$\frac{1}{8}$18  .

    (Ledtråd: Utgå från  $\sin160^{\circ}$sin160  och skriv om med hjälp av formler för dubbla vinkeln.)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se