Derivera sin x och cos x

För funktioner som innehåller sinus, cosinus och tangens gäller att de har följande derivator.

Med komplettering av några deriveringsregler som vi gått igenom i tidigare kurser kan vi nu börja så smått att derivera sin x och cos x.

För funktioner med flera termer gäller som vanligt att vi deriverar term för term.

Och en konstant faktor kvarstår vid derivering.

Vi kan alltså bryta ut en konstant ur funktionsuttrycket innan vi använder deriveringsregeln. 

Enligt derivatans definition gäller att derivatan till  $f\left(x\right)=\sin x$ƒ (x)=sinx kan beräknas på följande vis.

$f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$ƒ (x+h)−ƒ (x)h =$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$sin(x+h)−sinxh  

Enligt additionsformeln för sinus får vi att

$f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin x\cdot\cos h+\sin h\cdot\cos x-\sin x}{h}$sinx·cosh+sinh·cosx−sinxh 

Vi delar upp uttrycket i två termer för att lättare kunna slutföra härledningen. 

$f'(x)=$$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin x\cdot\cos h-\sin x}{h}+$sinx·cosh−sinxh +$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin h\cdot\cos x}{h}=$sinh·cosxh = 

                 $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin x\left(\cos h-1\right)}{h}+$sinx(cosh−1)h +$ \lim\limits_{h \to 0}$   $\frac{\sin h\cdot\cos x}{h}$sinh·cosxh 

Faktorerna $\sin x$sinx och $\cos x$cosx påverkas inte av $h$h vid gränsvärdesberäkningen och vi bryter ut dem på följande vis för att lättare kunna studera de faktorer som påverkar enskilt. 

$f'(x)=$$\sin x\cdot$$ \lim\limits_{h \to 0}$  $\frac{\cos h-1}{h}+$cosh−1h +$\cos x\cdot$$ \lim\limits_{h \to 0}$  $\frac{\sin h}{h}$sinhh  

Vi bestämmer nu gränsvärdena för $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\cos h-1}{h}$cosh−1h  och $ \lim\limits_{h \to 0}$  $\frac{\sin h}{h}$sinhh  för att se vad derivatan är.

Vi undersöker numeriskt för mindre och mindre värden på $h$h uttryckt i radianer genom insättning.

 $\frac{\cos h-1}{h}\approx$cosh−1h ≈ $-0,005$−0,005  då  $h=0,01$h=0,01  rad.

 $\frac{\cos h-1}{h}\approx$cosh−1h ≈$-0,000\text{ }05$−0,000 05 då  $h=0,0001$h=0,0001 rad.

 $\frac{\cos h-1}{h}\approx$cosh−1h ≈$-0,000\text{ }0005$−0,000 0005  då  $h=0,000\text{ }001$h=0,000 001 rad.

Fortsätter vi kommer vi upptäcka att $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\cos h-1}{h}=$cosh−1h =$0$0  

 $\frac{\sin h}{h}\approx$sinhh ≈ $0,999\text{ }983$0,999 983  då  $h=0,01$h=0,01  rad

 $\frac{\sin h}{h}\approx$sinhh ≈ $0,999\text{ }999\text{ }998$0,999 999 998  då  $h=0,0001$h=0,0001 rad

 $\frac{\sin h}{h}\approx$sinhh ≈ $1$1  då  $h=0,000\text{ }001$h=0,000 001 rad

Fortsätter vi kommer vi upptäcka att $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\sin h}{h}=$sinhh = $1$1   

Det ger att

$f'(x)=\sin x\cdot$$ \lim\limits_{h \to 0}$  $\frac{\cos h-1}{h}+$cosh−1h +$\cos x$$ \lim\limits_{h \to 0}$  $\frac{\sin h}{h}=$sinhh =

$\sin x\cdot 0 +\cos x\cdot 1=\cos x$

Vi konstaterar därmed att  $f\left(x\right)=\sin x$ƒ (x)=sinx har derivatan  $f'\left(x\right)=\cos x$ƒ '(x)=cosx.

På liknande vis kan du härleda derivatan för cosinusfunktionen. Men för att derivera sin x och cos x behöver du såklart inte göra alla steg ovan utan bara använda deriveringsreglerna som vi just härlett.

Vi påminner om att derivatans värde, förändringshastigheten och punktens och tangentens lutning antar samma värde för varje $x$x i funktionens definitionsmängd.

När funktionsuttrycket inte enbart har ett $x$x som sinus och cosinus ska "verka" på, till exempel om  $y=-7\sin\left(3x+5\right)$y=−7sin(3x+5)  eller  $y=\cos^2\left(7-x\right)$y=cos²(7−x) säger vi att funktionen är sammansatt av en ”inre” och "yttre" funktion. Vi behöver då använda den så kallade kedjeregeln för att kunna derivera rätt. Denna säger att om vi har en funktion enligt $f(g(x))$ så blir derivatan av denna $f '(g(x)) \cdot g'(x)$. Det vill säga att vi tar den yttre derivatan och multiplicerar med den inre derivatan. 

Denna regel tittar vi närmare på i kommande lektion.