...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 4
 /   Derivata

Kedjeregeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Kedjeregeln används för att derivera sammansatta funktioner. Det är funktioner som innehåller en yttre och en inre funktion $f(g(x))$ƒ (g(x)).

Exempelvis är  $f\left(x\right)=sin^2x$ƒ (x)=sin2x,  $f\left(x\right)=cos\left(2x\right)$ƒ (x)=cos(2x) och $f\left(x\right)=\left(x+1\right)^2$ƒ (x)=(x+1)2 sammansatta funktioner. Framförallt är det viktigt att du i den här lektionen lär dig känna igen en sådan funktion och vad som är den inre och den yttre funktionen. Efter det blir det enklare att derivera med kedjeregeln.

Kedjeregeln

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

En sammansatt funktion deriveras med hjälp av kedjeregeln. Den säger att du tar den yttre derivatan multiplicerat med den inre derivatan. Därför har den sammansatta funktionen $y$y derivatan $y´=\left(\text{Yttre derivata}\right)\cdot\left(\text{Inre derivata}\right)$y´=(Yttre derivata)·(Inre derivata).

Formel

En sammansatt funktion  $y=f(g(x))$y=ƒ (g(x)) har derivatan $y´=f´(g(x))\cdot g´(x)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) 

Den inre funktionen är  $g\left(x\right)$g(x) och den yttre är $f\left(g\left(x\right)\right)$ƒ (g(x)).

Vi fördjupar din förståelse av sammansatta funktioner och hur du kan se vad som är den inre och yttre funktionen längre ned i texten. Men först tar vi ett exempel.

Ett första exempel – övningsuppgift

Exempel 1

Derivera $y=(2x+1)^2$y=(2x+1)2 

Lösning:

Den inre funktionen är uttrycket som står i parentesen, dvs  $g\left(x\right)=2x+1$g(x)=2x+1  och den yttre är  $f\left(g\left(x\right)\right)=g\left(x\right)^2$ƒ (g(x))=g(x)2 .

Derivatan blir $y´=f´\left(g\left(x\right)\right)\cdot g´\left(x\right)=2g\left(x\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)=2g(x)·g´(x) , dvs

 $y´=\left(\text{Yttre derivata}\right)\cdot\left(\text{Inre derivata}\right)=2(x+1)\cdot2=4\left(x+1\right)$y´=(Yttre derivata)·(Inre derivata)=2(x+1)·2=4(x+1) 

Sammansatta funktioner

Exempel på sammansatta funktioner

Vi kan tänka kring begreppet sammansatt funktion som att det är en funktion som är sammansatt av två funktioner. En funktion som i sin tur har en inbyggd funktion. När du väl ser vad som är den inre och den yttre funktionen så blir det enklare att derivera hela funktionen.

Vi tar ett exempel för att resonera kring sammansatta funktioner. Titta på funktionen nedan

 $y=sin^3x$y=sin3x som vi även skriver som $y=\left(sinx\right)^3$y=(sinx)3 .

Den inre funktionen i det här fallet betecknar vi med  $g\left(x\right)=sinx$g(x)=sinx. Den funktionen har derivatan $g´\left(x\right)=cosx$g´(x)=cosx.

Därför är den yttre funktionen den funktion som upphöjer hela den inre funktionen med 3. Med matematiskt språk blir det  $f\left(g\left(x\right)\right)=g\left(x\right)^3$ƒ (g(x))=g(x)3. Den yttre derivatan är $3g\left(x\right)^2$3g(x)2. Du kan jämföra det med  $x^3$x3 som har derivatan $3x^2$3x2. I det här fallet så är $x$x utbytt mot $g\left(x\right)$g(x) istället.

Vi sammanfattar

  • Den inre funktionen $g\left(x\right)=sinx$g(x)=sinx. Den har derivatan $g´\left(x\right)=cosx$g´(x)=cosx.
  • Den yttre funktionen är $f\left(g\left(x\right)\right)=g\left(x\right)^3$ƒ (g(x))=g(x)3. Den har derivatan $f´\left(g\left(x\right)\right)=3g\left(x\right)^2=3\left(sinx\right)^2$ƒ ´(g(x))=3g(x)2=3(sinx)2. Jämför gärna med  $x^3$x3.

Därför är derivatan $y´=\left(\text{Yttre derivata}\right)\cdot\left(\text{Inre derivata}\right)$y´=(Yttre derivata)·(Inre derivata) $=3\left(sinx\right)^2\cdot cosx$=3(sinx)2·cosx 

Exempel på användning av Kedjeregeln

Exempel 2

Derivera $y=cos\left(3x\right)$y=cos(3x)

Lösning

Den inre funktionen är   $g\left(x\right)=3x$g(x)=3x  och har derivatan $g´\left(x\right)=3$g´(x)=3 .

Då skriver vi den yttre funktionen som $f\left(g\left(x\right)\right)=cos\left(g\left(x\right)\right)$ƒ (g(x))=cos(g(x)). Den har derivatan $f´\left(g\left(x\right)\right)=-sin\left(g\left(x\right)\right)$ƒ ´(g(x))=sin(g(x)). Jämför gärna med $cosx$cosx som har derivatan $-sinx$sinx. Här är bara $x$x utbytt mot $g\left(x\right)$g(x)!

Derivatan blir  

 $y´=\left(\text{Yttre derivata}\right)\cdot\left(\text{Inre derivata}\right)$y´=(Yttre derivata)·(Inre derivata) $=-sin\left(3x\right)\cdot3=-3sin\left(3x\right)$=sin(3x)·3=3sin(3x) 

Exempel 3

Derivera  $y=\sqrt{x^3}$y=x3.

Lösning

Den inre funktionen är   $g\left(x\right)=x^3$g(x)=x3  och har derivatan $g´\left(x\right)=3x^2$g´(x)=3x2 .

Därför kan vi skriva den yttre funktionen som  $f\left(g\left(x\right)\right)=\sqrt{g\left(x\right)}$ƒ (g(x))=g(x) . Den har derivatan $f´\left(g\left(x\right)\right)=\frac{1}{2\sqrt{g\left(x\right)}}$ƒ ´(g(x))=12g(x) . Jämför gärna med $\sqrt{x}$x  som har derivatan $\frac{1}{2\sqrt{x}}$12x . Här är bara $x$x utbytt mot $g\left(x\right)$g(x)!

Som ett resultat av detta blir derivatan av den sammansatta funktionen 

 $y´=\left(\text{Yttre derivata}\right)\cdot\left(\text{Inre derivata}\right)$y´=(Yttre derivata)·(Inre derivata) $=\frac{1}{2\sqrt{x^3}}\cdot3x^2$=12x3 ·3x2 

Andra sätt att beteckna kedjeregeln

Det finns även andra sätt att beskriva kedjeregel. Ett exempel på ett sådant sätt nämns nedan.

 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}$dydx =dydz ·dzdx 

Detta utläser du som ”dy dx är lika med dy dz multiplicerat med dz dx”.  Du lär dig mer om detta i lektionen förändringshastigheter och derivata.

Exempel i videon

  • Bestäm derivatan av $f(x)=sin2x$ med kedjeregeln
  • Derivera $f(x)=sin(2x^2+3x)$
  •  $f(x)=sin^2(3x)$

Kommentarer

elisabeth karlsson

Hej
Uppgift 7 och det korrekta svaret ska ha e^2x. Tvåan har fallit bort, likaså i förklaringen i sista ledet.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det direkt!
    Tack för att du sade till!

Linnéa Jansson

I det sista exemplet i den här genomgången skriver du 2sin3x*cos(3x) * 3
och sen 6sin3x*cox(3x).

Finns det en anledningen till att ni skriver cos(3x) med parenteser och sin3x utan parenteser?

och sen förstår jag inte varför den inre derivatan blir cos(3x) * 3 och inte 3cos(3x). Hade jag fått det där exemplet på ett prov hade jag nog skrivit
2sin3x*3cos3x som svar, istället för att multiplicera trean med tvåan framför sin3x.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det finns ingen anledning att inte vara konsekvent där egentligen, skulle nog rekommendera att alltid använda parentes runt argumentet, dvs 3x i det här fallet.
    Eftersom att $cos(3x)·3 = 3cos(3x)$ och vi skall göra ett steg till i förenklingen av det deriverade uttrycket så spelar det inte så stor roll hur det ser ut just där. Om det istället hade varit vårat svar så håller jag med dig om att $3cos(3x)$ ser snyggare ut.

Jafar Fathullah

Jag vill jättegärna förklaring till bevis av kedjeregelen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Just nu har vi ingen sådan. Vi kan kika på om vi kanske kan utöka med detta framåt i en video.

Evelyn

Hej!
Dessa videor hjälper mig enorm med matte D just nu. Det är bara en sak jag inte förstår i denna video. Vid exempel 1 så deriverar du den inre funktionen till 4x+3. Varför behåller du sen den icke-deriverade formen när du deriverar den yttre funktionen? Ska det inte vara samma svar, eller tänker jag knas?

MvH Evelyn

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, anledningen att jag behåller den inre funktionen är för att vi bara skall derivera den yttre, dvs att derivatan av sin u är cos u.

Ferhat0117

Hejsan!

Jag har en uppgift som jag inte riktigt förstår. Uppgiften lyder såhär:
Funktionen f(x) = 5e^2x är given. Beräkna närmevärde med tre decimaler till f'(3) genom
a) att först bestämma f'(x)
b) att använda approximationen f'(3) = f(3+h)-f(3-h)/zh för h=1.
Uppgift a är ju rätt så enkelt. Det är bara att derivera själva uppgiften och sedan ändra x till 3 konstigt nog så får jag fel svar, eller är det jag som gör fel?

Med vänliga hälsningar, Ferhat!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Ferhat,

    Det man gör när man approximerar derivata är att man sätter h till ett litet tal tex 0,001 eller som i ditt fall där du skall sätta det till h = 1 är att man använder derivatans definition för att ta fram derivatan istället för med deriveringsreglerna. Så här behöver du utgå ifrån derivatans definition och beräkna
    $ \frac{f(4) – f(3)}{1} $
    Fråga gärna mer i QnA om något är otydligt eller om jag förstår din fråga felaktigt.
    /Simon

Mario

Hejsan, tack så mycket för fin genomgång av matte d.
Läser exponent men tycker faktiskt att boken är för svår, för lite exempel och svårighetsgraden ökar markant.

Bra sida som jag kommer att rekomendera vidare.

mvh Mario

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Mario, vad bra att genomgången hjälpte dig att förstå och använda kedjeregeln som är viktig i Matte D, lycka till med studierna!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm  $y´´$y´´ då  $y=-2\text{ }\sin(2x)$y=2 sin(2x) 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $sin(3x)$ med hjälp av kedjeregeln.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $(x^2+3)^5$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $ln(2x^5-7)$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $sin^3(x)$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P11
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $\left(\sqrt{x}\right)^3$(x)3.

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $e^{2cos(x)}$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Derivera    $y=e^{\sqrt{x}}$y=ex

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/1)
    ECA
    B
    P11
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x^3-e^{2x}}}$ƒ (x)=12x3e2x  .

     

    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Derivera $sin^4 (x^3-5x^2)$.

     

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se