Förändringshastigheter och Derivata - Kedjeregeln

Vissa funktioner kan beskrivas har inre funktioner och yttre funktioner och när dessa deriveras används kedjeregeln. Dessa funktioner kallas för sammansatta funktioner.

Nedan följer några exempel på derivata för sammansatta funktioner.

När vi tillämpar kedjeregeln är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Därför behöver vi förtydliga sättet vi beskriver derivatan.

Om vi exempelvis har en funktion $ y = 4ab + b^2 $ och vill derivera denna med avseende på variabeln $ b $ kan vi skriva det som $ \frac{dy}{db} $ vilket kan läsas som ”derivatan av y med avseende på variabeln b”. När vi då deriverar denna funktion ser vi alla andra variabler som konstanter och behandlar dem som detta.

Då gäller exempelvis att
$ \frac{dy}{db} = 4a + 2b $.

Om vi istället deriverar y med avseende på variabeln a får vi
$ \frac{dy}{da} = 4b $.
Här ser vi istället variabeln b som en konstant.

Om sidan för en kub ökar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att öka. Vi kan då säga följande om sambandet mellan volymens ökning med tiden och sidans ökning:

• Volymen beror av hur lång sidan är och beräknas med hjälp av $ V = s^3 $.
• Sidan beror på tiden så vi kan säga att det finns en inre funktion $  s(t) $ och volymen kan då beskrivas med $ V = (s(t))^3 $.

Vi kan då ställa upp sambandet

$ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{ds}⋅\frac{ds}{dt} $

Dvs att Förändringshastigheten av Volymen med avseende på tiden är lika med förändringshastighen av volymen med avseende på sidan som i sin tur har en inre funktion. Denna inre funktion är förändringshastigheten av sidan med avseende på tiden.

• Beskrivning av ett samband för att förstå förändringshastigheten av volymen för en sfär vid en viss tidpunkt.
• När volymen för en digital kub växer så ökar sidan s med 2 cm/sekund. Med vilken hastighet ökar volymen då sidan är 12 cm?
• Volymen för en sfärisk ballong ökar vid en tidpunkt med 24 cm³/s. Hur snabbt ökar radien då denna är 20 cm vid tidpunkten?