Förändringshastigheter och Derivata - Kedjeregeln

Beräkningarna nedan bygger på kunskap som vi gått igenom i tidigare lektioner. Återvänd till dem om du känner dig osäker på följande.

En sammansatt funktion kan även skrivas med tecknet ∘, en mittplacerad ring som uttalas ”boll”. 

 $f\text{ }\text{∘}\text{ }g\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ƒ  ∘ g(x)=ƒ (g(x)) 

När vi tillämpar kedjeregeln är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Därför behöver vi förtydliga sättet vi beskriver derivatan.

Om vi till exempel har ett klot vars radie ökar med avseende på tiden, ökar indirekt även volymen på klotet med tiden. Volymen beror av radien $r$r som i sin tur beror av tiden $t$t. Om vi deriverar funktionsuttrycket som beskriver volymen, får vi då förändringshastigheten med avseende på radien eller volymen?

Vi introducerar ett nytt skriv sätt. 

Klotets volym $V=$V=$\frac{4\pi r^3}{3}$4πr³3   förändras med avseende på radien där radien $r$r förändras med avseende på tiden $t$t på så sätt att radien blir dubbel så stor var minut. Radien kan alltså beskrivas som en funktion av tiden $r\left(t\right)=2t$r(t)=2t.

Förändringshastigheten för volymen $V´\left(t\right)$V´(t) med avseende på tiden $t$t kan även skrivas som $\frac{dV}{dt}$dVdt , vilket kan läsas som ”derivatan av $V$V med avseende på variabeln $t$t ”. När vi deriverar denna funktion ser vi alla andra variabler än $t$t som konstanter och behandlar dem som detta. Kvoten  $\frac{dV}{dt}$dVdt  ger då förhållandet mellan dessa förändringar, det vi kallar ändringskvoten eller förändringhastigheten. 

Denna förändringshastighet delas nu upp i två steg.

Förändringshastigheten för klotets volym $V´\left(r\right)$V´(r) med avseende på radien $r$r kan skrivas som $\frac{dV}{dr}$dVdr  och är lika med $4\pi r^2$4πr². 

Och förändringshastigheten för klotets radie $r´\left(t\right)$r´(t) med avseende på tiden $t$t kan skrivas som $\frac{dr}{dt}$drdt   och är lika med $2$2, alltså dubbel så stor var minut.

Vi kan beskriva volymens förändringshastighet med avseende på tiden med hjälp av kedjeregeln, där volymen med avseende på radien är den yttre funktionen och radien med avseende på tiden den inre.

 $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dVdt =dVdr ·drdt  

och teckna derivatan som 

 $\frac{dV}{dt}=$dVdt =  $4\pi r^2\cdot2=8\pi r^2$4πr²·2=8πr² 

Detta kan du nu använda för att bestämma radiens och volymens förndringshastigheter vid olika tidpunkter. 

Om sidan för en kub ökar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att öka. Vi kan då säga följande om sambandet mellan volymens ökning med tiden och sidans ökning:

Volymen beror av hur lång sidan är och beräknas med hjälp av $ V = s^3 $.

Sidan beror på tiden så vi kan säga att det finns en inre funktion $  s(t) $ och volymen kan då beskrivas med $ V = (s(t))^3 $.

Vi kan då ställa upp sambandet

 $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}$dVdt =dVds ·dsdt  

Dvs att Förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden är lika med förändringshastigheten av volymen med avseende på sidan som i sin tur har en inre funktion. Denna inre funktion är förändringshastigheten av sidan med avseende på tiden.

När vi deriverar sammansatta funktioner med kedjeregeln ser vi alla andra variabler än den variabel du deriverar med avseende på som konstanter och behandlar dem som detta.

• Beskrivning av ett samband för att förstå förändringshastigheten av volymen för en sfär vid en viss tidpunkt.
• När volymen för en digital kub växer så ökar sidan s med 2 cm/sekund. Med vilken hastighet ökar volymen då sidan är 12 cm?
• Volymen för en sfärisk ballong ökar vid en tidpunkt med 24 cm³/s. Hur snabbt ökar radien då denna är 20 cm vid tidpunkten?