...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 5
 /   Derivata och Integraler – Ma 5

Förändringshastigheter och Derivata - Kedjeregeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Vissa händelseförlopp beskrivs bäst med en matematisk modell som är en sammanslagning av fler olika funktioner.  Dessa funktioner kallas för sammansatta funktioner och består av så kallade inre och yttre funktioner. När dessa deriveras används kedjeregeln.

För att tydligare se sambanden mellan olika variabler och förändringshastigheter i de sammansatta funktionerna kan man med fördel använda följande skrivsätt.

Om ballongens area ökar med tiden, så kommer så klart även ballongens volym att öka. Hur kan vi använda sambandet mellan förändringen av volymen och radien beroende av hur långtid vi har fyllt ballongen med luft?

Mer om det senare.

Förändringshastigheter och derivata

Beräkningarna nedan bygger på kunskap som vi gått igenom i tidigare lektioner. Återvänd till dem om du känner dig osäker på följande.

Sammansatta funktioner

Funktionen $ y = f(g(x)) $ är en sammansatt funktion där $f(g(x))$ är den yttre funktionen och $g(x)$ är den inre funktionen.

En sammansatt funktion kan även skrivas med tecknet , en mittplacerad ring som uttalas ”boll”. 

 $f\text{ }\text{∘}\text{ }g\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ƒ  g(x)=ƒ (g(x)) 

Kedjeregeln

Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att
$ y´= f´(g(x))⋅g´(x) $

där

$ f´(g(x)) $ kallas den yttre derivatan och $g´(x)$ den inre derivatan.

Olika sätt att beskriva derivata

När vi tillämpar kedjeregeln är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Därför behöver vi förtydliga sättet vi beskriver derivatan.

Om vi till exempel har ett klot vars radie ökar med avseende på tiden, ökar indirekt även volymen på klotet med tiden. Volymen beror av radien $r$r som i sin tur beror av tiden $t$t. Om vi deriverar funktionsuttrycket som beskriver volymen, får vi då förändringshastigheten med avseende på radien eller volymen?

Vi introducerar ett nytt skriv sätt. 

Klotets volym $V=$V=$\frac{4\pi r^3}{3}$4πr33   förändras med avseende på radien där radien $r$r förändras med avseende på tiden $t$t på så sätt att radien blir dubbel så stor var minut. Radien kan alltså beskrivas som en funktion av tiden $r\left(t\right)=2t$r(t)=2t.

Förändringshastigheten för volymen $V´\left(t\right)$V´(t) med avseende på tiden $t$t kan även skrivas som $\frac{dV}{dt}$dVdt , vilket kan läsas som ”derivatan av $V$V med avseende på variabeln $t$t ”. När vi deriverar denna funktion ser vi alla andra variabler än $t$t som konstanter och behandlar dem som detta. Kvoten  $\frac{dV}{dt}$dVdt  ger då förhållandet mellan dessa förändringar, det vi kallar ändringskvoten eller förändringhastigheten

Denna förändringshastighet delas nu upp i två steg.

Förändringshastigheten för klotets volym $V´\left(r\right)$V´(r) med avseende på radien $r$r kan skrivas som $\frac{dV}{dr}$dVdr  och är lika med $4\pi r^2$4πr2

Och förändringshastigheten för klotets radie $r´\left(t\right)$r´(t) med avseende på tiden $t$t kan skrivas som $\frac{dr}{dt}$drdt   och är lika med $2$2, alltså dubbel så stor var minut.

Vi kan beskriva volymens förändringshastighet med avseende på tiden med hjälp av kedjeregeln, där volymen med avseende på radien är den yttre funktionen och radien med avseende på tiden den inre.

 $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dVdt =dVdr ·drdt  

och teckna derivatan som 

 $\frac{dV}{dt}=$dVdt =  $4\pi r^2\cdot2=8\pi r^2$4πr2·2=8πr2 

Detta kan du nu använda för att bestämma radiens och volymens förndringshastigheter vid olika tidpunkter. 

Tillämpning av Kedjeregeln

Om sidan för en kub ökar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att öka. Vi kan då säga följande om sambandet mellan volymens ökning med tiden och sidans ökning:

Volymen beror av hur lång sidan är och beräknas med hjälp av $ V = s^3 $.

Sidan beror på tiden så vi kan säga att det finns en inre funktion $  s(t) $ och volymen kan då beskrivas med $ V = (s(t))^3 $.

Vi kan då ställa upp sambandet

 $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{ds}\cdot\frac{ds}{dt}$dVdt =dVds ·dsdt  

Dvs att Förändringshastigheten av volymen med avseende på tiden är lika med förändringshastigheten av volymen med avseende på sidan som i sin tur har en inre funktion. Denna inre funktion är förändringshastigheten av sidan med avseende på tiden.

Exempel 1

Volymen för en kub minskar i ett tidsintervall med $ 8 \, m^3 / h$. Bestäm hur snabbt sidan $s$ minskar då denna vid en tidpunkt är $ 10 m $.

Lösning

Här vet vi att $ \frac{dV}{dt} = -8 \, m^3/h $.

$ \frac{dV}{ds} = 3s^2 $ och sätter vi in $ s=10\,m $ får vi $  \frac{dV}{ds} =  300 $.

Vi kan då ställa upp sambandet

$ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{ds}⋅\frac{ds}{dt} ⇔ $

$ -8 = 300⋅\frac{ds}{dt} ⇔ $

$  \frac{ds}{dt} = \frac{-8}{300}  ≈ -0,0266$

Alltså gäller att sidan minskar med $ 0,0266 \, m/h $

När vi deriverar sammansatta funktioner med kedjeregeln ser vi alla andra variabler än den variabel du deriverar med avseende på som konstanter och behandlar dem som detta.

Exempel i videon

  • Beskrivning av ett samband för att förstå förändringshastigheten av volymen för en sfär vid en viss tidpunkt.
  • När volymen för en digital kub växer så ökar sidan s med 2 cm/sekund. Med vilken hastighet ökar volymen då sidan är 12 cm?
  • Volymen för en sfärisk ballong ökar vid en tidpunkt med 24 cm³/s. Hur snabbt ökar radien då denna är 20 cm vid tidpunkten?

Kommentarer

Grillska gymnasiet Uppsala

I avsnittet Olika sätt att beskriva derivata ska det stå
dy/da=4b inte 4ab som det står nu.
För övrigt har jag stor nytta av era genomgångar!
/Anders,

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kul att du gillar genomgångarna!
    Texten är fixad, tack för att du sade till!

adriankd@kth.se

Fråga 5 innehåller fel. Volymen ökar med 20 cm^3 inte 20cm^2.
När a = 5 blir dv/da = 3*5^2= 75 , inte 50 som det står i lösningen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat i uppgiften!

      Pauline Mengel

      Hejsan, det verkar som svaret fortfarande är fel, det står fortfarande att att 3*5^2=50 och inte 75.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Ja det verkar vi ha missat att ändra konstigt nog. Nu skall det dock vara fixat!


Endast Premium-användare kan kommentera.

Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Redigera övning
Tid kvar
00:00
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
Totalpoäng
0/0

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    $ T = 16ab + a^2 + 2 $. Bestäm $ \frac{dT}{da} $

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Volymen för en cylinder beräknas med hjälp av $ V = \pi r^2⋅h $ där $ r=radie $ och $ h=höjd $. Bestäm derivatan av volymen med avseende på höjden.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Bestäm $\frac{dy}{dx}$ då $ y= 3sin(3x) $ med hjälp av kedjeregeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 99 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Förändringen av volymen för en sfär som ändras med tiden kan beskrivas med sambandet $ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}⋅\frac{dr}{dt} $ Ange vilket alternativ som beskriver $\frac{dr}{dt}$.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Karl-Johan skall bestämma $\frac{dy}{dt}$ då $ y=e^t⋅sin(2x) $. Han skriver sin lösning på följande vis:

    $ y´ = e^t⋅sin(2x) + e^t⋅cos(2x)⋅2 = $ $ e^t(sin(2x)+2cos(2x)) $

    Vad gör han fel?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    volymer_kub

    En kub har sidor med längden $ a \, cm $ och en volym som vi kallar för $ V $. Kubens volym ökar med $ 20 \, cm^3/s $. Bestäm hur snabbt längden $ a $ ökar då kantlängden är $ 5 \, cm $.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    kon-02

    Volymen för en kon kan beräknas med formeln $ V=\frac{\pi⋅r^2⋅h}{3} $. Bestäm hur mycket volymen för en kon ökar när höjden är $10\,cm$ och ökar med $ 0,50 \, cm/s $. Radien är $2,0\,cm$ och förändras inte.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    En stor klotformad ballong läcker ut luft, så att volymen minskar med en hastighet som är proportionell mot begränsningsarean. Ballongen behåller sin klotform.

    Vilket påstående är korrekt?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Visa detaljerad matris Redigera övning Redigera lektion
Tid kvar
00:00
Totalpoäng
0/0
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
E C A
Totalt
Dina svar lämnas in automatiskt.