███████████████
/ ██████████████████████████
Förändringshastigheter och Derivata - Kedjeregeln
Innehåll
Kedjeregeln
Vissa funktioner kan beskrivas har inre funktioner och yttre funktioner och när dessa deriveras används kedjeregeln. Dessa funktioner kallas för sammansatta funktioner.
Sammansatta funktioner
Funktionen $ y = f(g(x)) $ är en sammansatt funktion där $f(g(x))$ är den yttre funktionen och $g(x)$ är den inre funktionen.
Sammansatta funktioners derivata – Kedjeregeln
Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att
$ y´= f´(g(x))⋅g´(x) $
där
$ f´(g(x)) $ kallas den yttre derivatan och $g´(x)$ den inre derivatan.
Nedan följer några exempel på derivata för sammansatta funktioner.
Exempel 1
$ f(x) = sin^2x $ har den yttre funktionen $ u^2 $ och den inre $ u = sinx $.
Derivatan blir då $ f´(x) = 2sinx⋅cosx $
Exempel 2
$ f(x) = 4cos(10x+2) $ har den yttre funktionen $ 4cosu $ och den inre $ u = 10x+2 $.
Derivatan blir då $ f´(x) = -4sin(10x+2)⋅10 = -40sin(10x+2) $
Exempel 3
$ f(x) = (3x+2)^3 $ har den yttre funktionen $ u^3 $ och den inre $ u = 3x+2 $.
Derivatan blir då $ f´(x) = 3(3x+2)^2⋅3=9(3x+2)^2 $
Olika sätt att beskriva derivata
När vi tillämpar kedjeregeln är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Därför behöver vi förtydliga sättet vi beskriver derivatan.
Om vi exempelvis har en funktion $ y = 4ab + b^2 $ och vill derivera denna med avseende på variabeln $ b $ kan vi skriva det som $ \frac{dy}{db} $ vilket kan läsas som ”derivatan av y med avseende på variabeln b”. När vi då deriverar denna funktion ser vi alla andra variabler som konstanter och behandlar dem som detta.
Då gäller exempelvis att
$ \frac{dy}{db} = 4a + 2b $.
Om vi istället deriverar y med avseende på variabeln a får vi
$ \frac{dy}{da} = 4b $.
Här ser vi istället variabeln b som en konstant.
Förändringshastigheter och derivata – Tillämpning av Kedjeregeln
Om sidan för en kub ökar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att öka. Vi kan då säga följande om sambandet mellan volymens ökning med tiden och sidans ökning:
- Volymen beror av hur lång sidan är och beräknas med hjälp av $ V = s^3 $.
- Sidan beror på tiden så vi kan säga att det finns en inre funktion $ s(t) $ och volymen kan då beskrivas med $ V = (s(t))^3 $.
Vi kan då ställa upp sambandet
$ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{ds}⋅\frac{ds}{dt} $
Dvs att Förändringshastigheten av Volymen med avseende på tiden är lika med förändringshastighen av volymen med avseende på sidan som i sin tur har en inre funktion. Denna inre funktion är förändringshastigheten av sidan med avseende på tiden.
Exempel 4
Volymen för en kub minskar i ett tidsintervall med $ 8 \, m^3 / h$. Bestäm hur snabbt sidan $s$ minskar då denna vid en tidpunkt är $ 10 m $.
Lösning:
Här vet vi att $ \frac{dV}{dt} = -8 \, m^3/h $.
$ \frac{dV}{ds} = 3s^2 $ och sätter vi in $ s=10\,m $ får vi $ \frac{dV}{ds} = 300 $.
Vi kan då ställa upp sambandet
$ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{ds}⋅\frac{ds}{dt} ⇔ $
$ -8 = 300⋅\frac{ds}{dt} ⇔ $
$ \frac{ds}{dt} = \frac{-8}{300} ≈ -0,0266$
Alltså gäller att sidan minskar med $ 0,0266 \, m/h $
Exempel i videon
- Beskrivning av ett samband för att förstå förändringshastigheten av volymen för en sfär vid en viss tidpunkt.
- När volymen för en digital kub växer så ökar sidan s med 2 cm/sekund. Med vilken hastighet ökar volymen då sidan är 12 cm?
- Volymen för en sfärisk ballong ökar vid en tidpunkt med 24 cm³/s. Hur snabbt ökar radien då denna är 20 cm vid tidpunkten?
Kommentarer
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B P 1 PL M R K $ T = 16ab + a^2 + 2 $. Bestäm $ \frac{dT}{da} $
Rättar... -
2. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Volymen för en cylinder beräknas med hjälp av $ V = \pi r^2⋅h $ där $ r=radie $ och $ h=höjd $. Bestäm derivatan av volymen med avseende på höjden.
Rättar... -
3. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm $\frac{dy}{dx}$ då $ y= 3sin(3x) $ med hjälp av kedjeregeln.
Rättar... -
4. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Förändringen av volymen för en sfär som ändras med tiden kan beskrivas med sambandet $ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}⋅\frac{dr}{dt} $ Ange vilket alternativ som beskriver $\frac{dr}{dt}$.
Rättar... -
5. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Karl-Johan skall bestämma $\frac{dy}{dt}$ då $ y=e^t⋅sin(2x) $. Han skriver sin lösning på följande vis: $ y´ = e^t⋅sin(2x) + e^t⋅cos(2x)⋅2 = $ $ e^t(sin(2x)+2cos(2x)) $ Vad gör han fel?
Rättar...
c-uppgifter (2)
-
6. Premium
Rapportera fel (0/2/0)E C A B P PL 2 M R K 
En kub har sidor med längden $ a \, cm $ och en volym som vi kallar för $ V $. Kubens volym ökar med $ 20 \, cm^3/s $. Bestäm hur snabbt längden $ a $ ökar då kantlängden är $ 5 \, cm $.
Rättar... -
7. Premium
Rapportera fel (0/2/0)E C A B P PL 2 M R K 
Volymen för en kon kan beräknas med formeln $ V=\frac{\pi⋅r^2⋅h}{3} $. Bestäm hur mycket volymen för en kon ökar när höjden är $10\,cm$ och ökar med $ 0,50 \, cm/s $. Radien är $2,0\,cm$ och förändras inte.
Rättar...
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Rapportera fel (0/0/2)E C A B P PL 2 M R K En stor klotformad ballong läcker ut luft, så att volymen minskar med en hastighet som är proportionell mot begränsningsarean. Ballongen behåller sin klotform. Vilket påstående är korrekt?
Rättar...
Grillska gymnasiet Uppsala
I avsnittet Olika sätt att beskriva derivata ska det stå
dy/da=4b inte 4ab som det står nu.
För övrigt har jag stor nytta av era genomgångar!
/Anders,
Simon Rybrand (Moderator)
Kul att du gillar genomgångarna!
Texten är fixad, tack för att du sade till!
adriankd@kth.se
Fråga 5 innehåller fel. Volymen ökar med 20 cm^3 inte 20cm^2.
När a = 5 blir dv/da = 3*5^2= 75 , inte 50 som det står i lösningen.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat i uppgiften!
Pauline Mengel
Hejsan, det verkar som svaret fortfarande är fel, det står fortfarande att att 3*5^2=50 och inte 75.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det verkar vi ha missat att ändra konstigt nog. Nu skall det dock vara fixat!
Endast Premium-användare kan kommentera.