Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Sammansatta funktioner och kedjeregeln
Kedjeregeln används för att derivera sammansatta funktioner.
Funktioner som är en sammanslagning av flera olika funktioner kallas sammansatta. Dessa funktioner delar man upp i en yttre och inre funktion.
Exempelvis är $y=\sin^2x$y=sin2x , $f\left(x\right)=\cos3x$ƒ (x)=cos3x och $f\left(x\right)=\left(2x+1\right)^2$ƒ (x)=(2x+1)2 sammansatta funktioner.
Sammansatta funktioner
Funktionen $ y = f(g(x)) $ är en sammansatt funktion där $f(g(x))$ är den yttre funktionen och $g(x)$ är den inre funktionen.
Det vi framförallt fokuserar på i den här lektionen är att du lär dig känna igen en sammansatt funktion och vad som är den inre och den yttre funktionen. När du väl kan det blir det möjligt att att derivera de sammansatta funktionerna med vi kallar kedjeregeln.
Exempel 1
Ange den sammansatta funktionen $f\left(g\left(x\right)\right)$ƒ (g(x)) då
a) $g\left(x\right)=x^3+2x$g(x)=x3+2x och $f\left(x\right)=x^4$ƒ (x)=x4
a) $g\left(x\right)=2x+\pi$g(x)=2x+π och $f\left(x\right)=3\sin x$ƒ (x)=3sinx
Lösning
Vi får den sammansatta funktionen $f\left(g\left(x\right)\right)$ƒ (g(x)) genom att ersätta $x$x:et i $f\left(x\right)$ƒ (x) med
a) funktionsuttrycket för $g$g, nämligen $x^3+2x$x3+2x. Vi får
$f\left(g\left(x\right)\right)=\left(x^3+2x\right)^4$ƒ (g(x))=(x3+2x)4
b) funktionsuttrycket för $g$g, nämligen $2x+\pi$2x+π. Vi får
$f\left(g\left(x\right)\right)=3\sin\left(2x+\pi\right)$ƒ (g(x))=3sin(2x+π)
Både funktionen $f$ƒ och $g$g är beroende av hur $x$x-värdet förändras. Vi får här därför lite som en kedjereaktion, först ges värdet i funktionen $g$g som i sin tur påverkar funktionsvärdet i $f$ƒ .
Kedjeregeln
En sammansatt funktion deriveras med hjälp av kedjeregeln. Den säger att du får derivatan genom att multiplicera den yttre derivatan med den inre derivatan.
Vi fördjupar din förståelse av sammansatta funktioner och hur du kan se vad som är den inre och yttre funktionen med ett antal exempel längre ned i texten.
Kedjeregeln
En sammansatt funktion $y=f(g(x))$y=ƒ (g(x)) har derivatan
$y´=f´(g(x))\cdot g´(x)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
där den yttre funktionen är $f$ƒ och den inre funktionen är $g$g.
Med ord kan vi säga att
Kedjeregeln ger att derivatan är lika med
den yttre funktionens derivata multiplicerat med den inre funktionens derivata
Utmaningen är ofta att avkoda vad som är den yttre och den inre funktionen. Enda sättet att bli bra på det är att öva. Vi tittar därför direkt på några exempel.
Exempel 1
Derivera $y=(2x+1)^2$y=(2x+1)2
Lösning
Vi markera den inre funktionen med grönt och den yttre med rött.
$y=\color{red}(\color{green}2x+1\color{red})^2$y=(2x+1)2.
Med hänvisning till kedjeregeln säger vi att inre funktionen är $\color{green}g\left(x\right)=2x+1$g(x)=2x+1
Den yttre funktionen motsvarar upphöjt till två, $\color{red}f\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=\color{green}g\left(x\right)^\color{red}2$ƒ (g(x))=g(x)2
Vi deriverar dem var för sig. Först inre.
$\color{green}g\left(x\right)=2x+1$g(x)=3x $\Rightarrow$⇒ $\color{blue}g'(x)=2$g’(x)=3
Sen yttre.
$\color{red}f(x)=\left(\color{green} g\left(x \right) \color{red}\right)^2$ƒ (x)=cos(g(x)) $\Rightarrow$⇒ $\color{red}f'(x)=2\color{black}\cdot \color{green}g\left(x\right)\color{black}=\color{red}2 \color{black}\cdot\color{green} (2x+1) $ƒ ’(x)=−sin(g(x))
Enligt kedjeregeln är derivatan
$y´=\color{red}f´\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)\color{black}\cdot \color{blue}g´\left(x\right)\color{black}$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
Vi sätter in derivatorna vi räknade fram i formeln och förenklar
$y’=\color{red}2\left(\color{green}2x+1\right)\color{black}\cdot \color{blue}2\color{black}=8x+4$y’=(−sin3x)·3=−3sin3x
Vi kan dubbelkolla att kejderegeln stämmer genom att först utveckla uttrycket med kvadreringsregeln och sedan derivera.
$y=(2x+1)^2=4x^2+4x+1$y=(2x+1)2=4x2+4x+1 vilket ger derivata
$y´=8x+4$y´=8x+4
Kedjeregeln fungerar!
Exempel 2
Derivera $y=\cos3x$y=cos3x
Lösning
Vi markera den inre funktionen med grönt och den yttre med rött.
$y=\color{red}\cos \color{green}3x$y=cos3x
Med hänvisning till kedjeregeln säger vi att inre funktionen är $\color{green}g\left(x\right)=3x$g(x)=3x
och den yttre cosinusfunktionen $\color{red}f\left(x\right)=\cos\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)$ƒ (x)=cos(g(x))
Vi deriverar dem var för sig. Först inre.
$\color{green}g\left(x\right)=3x$g(x)=3x $\Rightarrow$⇒ $\color{blue}g´\left(x\right)=3$g´(x)=3
Sen yttre.
$\color{red}f\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)\color{black}=\color{red}\cos\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)$ƒ (g(x))=cos(g(x)) $\Rightarrow$⇒ $\color{red}f´\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=-\sin\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)$ƒ ´(g(x))=−sin(g(x))
Enligt kedjeregeln är derivatan
$y´=\color{red}f´\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)\color{black}\cdot \color{blue}g´\left(x\right)\color{black}$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
Vi sätter in derivatorna vi räknade fram i formeln och förenklar
$y’=\color{red}-\sin\left(\color{green}3x \color{red}\right)\color{black}\cdot \color{blue}3\color{black}=-3\sin3x$y’=−sin(3x)·3=−3sin3x
Exempel 3
Derivera $y=\sqrt{x^3}$y=√x3
Lösning
Vi markera den inre funktionen med grönt och den yttre med rött.
$y=\color{red}\sqrt \color{green}{x^3}$y=√x3
Med hänvisning till kedjeregeln säger vi att inre funktionen är $\color{green}g\left(x\right)=x^3$g(x)=x3
och den yttre rotfunktionen $\color{red}f\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=\sqrt{\color{green}g\left(x\right)}$ƒ (g(x))=√g(x)
Vi deriverar dem var för sig. Först inre.
$\color{green}g\left(x\right)=x^3$g(x)=x3 $\Rightarrow$⇒ $\color{blue}g´\left(x\right)=3x^2$g´(x)=3x2
Sen yttre.
$\color{red}f\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=\sqrt{\color{green}g\left(x\right)}$ƒ (g(x))=√g(x) $\Rightarrow$⇒ $\color{red}f´\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=$ƒ ´(g(x))=$\color{red}\frac{1}{2\sqrt{\color{green}g\left(x\right)}}$12√g(x)
Enligt kedjeregeln är derivatan
$y´=\color{red}f´\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)\color{black}\cdot \color{blue}g´\left(x\right)\color{black}$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
Vi sätter in derivatorna vi räknade fram i formeln och förenklar
$y’=$y’= $\color{red}\frac{1}{2\sqrt{\color{green}x^3}}\color{black}\cdot$12√x3 · $\color{blue}3x^2\color{black}=$3x2= $\frac{3\sqrt{x}}{2}$3√x2
Förenklingen av derivatan i fler steg ser ut så här.
$y’=$y’=$\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}=\frac{3x^2}{2\left(x^3\right)^{^{\frac{1}{2}}}}=$3x22√x3 =3x22(x3)12 =$\frac{3x^2}{2x^{3\cdot\frac{1}{2}}}=\frac{3x^2}{2x^{\frac{3}{2}}}=$3x22x3·12 =3x22x32 =$\frac{3x^{2-\frac{3}{2}}}{2}=\frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2}=$3x2−32 2 =3x12 2 =$\frac{3\sqrt{x}}{2}$3√x2
Återvänd till potensreglerna om detta är oklart.
Andra sätt att beteckna kedjeregeln
Det finns även andra sätt att beskriva kedjeregel. Ett exempel på ett sådant sätt nämns nedan. Detta sätt blir extra användbart vid tillämpningar där vi har fler variabler eller vet derivatans värde med avseende på en annan variabeln än den i uppgiften angivna.
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}$dydx =dydz ·dzdx
Detta utläser du som ”dy dx är lika med dy dg multiplicerat med dg dx”. Du lär dig mer om detta i lektionen om tillämpningar med kedjeregeln.
Exempel i videon
- Bestäm derivatan av $f(x)=sin2x$ med kedjeregeln
- Derivera $f(x)=sin(2x^2+3x)$
- $f(x)=sin^2(3x)$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (11)
1.
Ange den sammansatta funktionen $f\left(g\left(x\right)\right)$ƒ (g(x)) då
-
a) Premium
$g\left(x\right)=x^2+4$g(x)=x2+4 och $f\left(x\right)=e^x$ƒ (x)=ex
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Sammansatta funktionerRättar...b) Premium
$g\left(x\right)=\cos3x$g(x)=cos3x och $f\left(x\right)=x^5$ƒ (x)=x5
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Sammansatta funktionerRättar...2. Premium
Bestäm derivatan av $f(x)=(3x+2)^3$ƒ (x)=(3x+2)3
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata inre funktion kedjeregeln sammansatt funktion yttre funktionRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!3. Premium
Ange alternativet som motsvarar derivatan av $y=\sin3x$y=sin3x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Derivera sin x och cos xLiknande uppgifter: Derivata Deriveringsregeln kedjeregelnRättar...4. Premium
Derivera $y=\left(\sqrt{x}\right)^3$y=(√x)3 med
a) kedjeregeln
b) genom att först skriva om uttrycket i potensform
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Potenser med rationella exponenterLiknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel kedjeregelnRättar...5. Premium
För funktionen $f$ƒ gäller att $f\left(x\right)=3\sin7x+2$ƒ (x)=3sin7x+2.
Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ ’(x).
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnFörkunskap: Derivera sin x och cos xLiknande uppgifter: Derivata kedjeregeln Trigonometriska funktionerRättar...6. Premium
Derivera $y=(x^2+3)^5$y=(x2+3)5
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregler KedjeregelnRättar...7. Premium
Bestäm derivatan av $f(x)=4\cos(10x+2)$ƒ (x)=4cos(10x+2)
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata inre funktion kedjeregeln sammansatt funktion yttre funktionRättar...8. Premium
Bestäm derivatan av $y=\sin^2x$y=sin2x
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: DeriveringsreglerLiknande uppgifter: Derivata inre funktion kedjeregeln sammansatt funktion yttre funktionRättar...9. Premium
Bestäm $y´´$y´´ då $y=-2\text{ }\sin3x$y=−2 sin3x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: AndraderivataLiknande uppgifter: Andraderivata Derivata kedjeregelnRättar...10. Premium
Derivera $y=\sin^3x$y=sin3x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Derivera sin x och cos xLiknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel kedjeregelnRättar...c-uppgifter (5)
-
11. Premium
Derivera $y=e^{2\cos x}$y=e2cosx
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
12. Premium
Bestäm $f'(1)$ƒ ’(1) om $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{1}{3x^2+1}$13x2+1
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan kedjeregeln sammansattafuntkionerRättar...13. Premium
Bestäm $f'(1)$ƒ ’(1) om $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{8}{\sqrt{3x+6}}$8√3x+6
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kedjeregelnRättar...14. Premium
Derivera $y=e^{\sqrt{x}}$y=e√x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Potenser med rationella exponenterLiknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel kedjeregelnRättar...15. Premium
Grafen till $f\left(x\right)=\left(2x-3\right)^5$ƒ (x)=(2x−3)5 har en tangent i den punkt där $f\left(x\right)=1$ƒ (x)=1 . Bestäm tangentens ekvation.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnFörkunskap: Tangentens ekvation och lutningLiknande uppgifter: Derivata kedjeregelnRättar...a-uppgifter (4)
-
16. Premium
Ange det största möjliga värdet för tangentens lutning på kurvan $y=A\cos kx+B$y=Acoskx+B då $k>0$k>0 .
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kedjeregeln tangent trigonometrisk funktionRättar...17. Premium
Derivera $f\left(x\right)=$ƒ (x)=$\frac{1}{\sqrt{2x^3-e^{2x}}}$1√2x3−e2x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel kedjeregelnRättar...18. Premium
Derivera $f(x)=\sin^4(x^3-5x^2)$ƒ (x)=sin4(x3−5x2)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Derivera sin x och cos xLiknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel kedjeregelnRättar...19. Premium
Ange en funktion $f$ƒ som har derivatan $f’\left(x\right)=24x\left(x^2+1\right)^5$ƒ ’(x)=24x(x2+1)5.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Sammansatta funktioner och kedjeregelnFörkunskap: Primitiva FunktionerLiknande uppgifter: Derivata kedjeregelnRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Maryam Barakat Mitrovic
derivatan av 3sin(7x+2)
ska bli 3cos(7x+2)7
21cos(7x+2)
Derivera det yttre låt bli det inre, sedan derivera det inre?
Sara Petrén Olauson
Hej! Du tänker helt rätt, bra jobbat!
Björn Follin
På fråga 9 står det i förklaringen att den yttre derivatan är -1/x^3/2. Är den inte -1/2x^3/2? Jag antar att ni bara har skrivit fel, annars hänger jag verkligen inte med…
elisabeth karlsson
Hej
Uppgift 7 och det korrekta svaret ska ha e^2x. Tvåan har fallit bort, likaså i förklaringen i sista ledet.
Linnéa Jansson
I det sista exemplet i den här genomgången skriver du 2sin3x*cos(3x) * 3
och sen 6sin3x*cox(3x).
Finns det en anledningen till att ni skriver cos(3x) med parenteser och sin3x utan parenteser?
och sen förstår jag inte varför den inre derivatan blir cos(3x) * 3 och inte 3cos(3x). Hade jag fått det där exemplet på ett prov hade jag nog skrivit
2sin3x*3cos3x som svar, istället för att multiplicera trean med tvåan framför sin3x.
Jafar Fathullah
Jag vill jättegärna förklaring till bevis av kedjeregelen.
Evelyn
Hej!
Dessa videor hjälper mig enorm med matte D just nu. Det är bara en sak jag inte förstår i denna video. Vid exempel 1 så deriverar du den inre funktionen till 4x+3. Varför behåller du sen den icke-deriverade formen när du deriverar den yttre funktionen? Ska det inte vara samma svar, eller tänker jag knas?
MvH Evelyn
Ferhat0117
Hejsan!
Jag har en uppgift som jag inte riktigt förstår. Uppgiften lyder såhär:
Funktionen f(x) = 5e^2x är given. Beräkna närmevärde med tre decimaler till f'(3) genom
a) att först bestämma f'(x)
b) att använda approximationen f'(3) = f(3+h)-f(3-h)/zh för h=1.
Uppgift a är ju rätt så enkelt. Det är bara att derivera själva uppgiften och sedan ändra x till 3 konstigt nog så får jag fel svar, eller är det jag som gör fel?
Med vänliga hälsningar, Ferhat!
Mario
Hejsan, tack så mycket för fin genomgång av matte d.
Läser exponent men tycker faktiskt att boken är för svår, för lite exempel och svårighetsgraden ökar markant.
Bra sida som jag kommer att rekomendera vidare.
mvh Mario
Endast Premium-användare kan kommentera.