00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2b
/  Nationellt prov Ma2b VT 2014

Sammansatta funktioner och kedjeregeln

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Kedjeregeln används för att derivera sammansatta funktioner.


Funktioner som är en sammanslagning av flera olika funktioner kallas sammansatta. Dessa funktioner delar man upp i en yttre och inre funktion.

Exempelvis är y=sin2xy=\sin^2xy=sin2x ,  f(x)=cos3xf\left(x\right)=\cos3xƒ (x)=cos3x  och f(x)=(2x+1)2f\left(x\right)=\left(2x+1\right)^2ƒ (x)=(2x+1)2  sammansatta funktioner.

Sammansatta funktioner

Funktionen y=f(g(x)) y = f(g(x)) är en sammansatt funktion där f(g(x))f(g(x)) är den yttre funktionen och g(x)g(x) är den inre funktionen.

Det vi framförallt fokuserar på i den här lektionen är att du lär dig känna igen en sammansatt funktion och vad som är den inre och den yttre funktionen. När du väl kan det blir det möjligt att att derivera de sammansatta funktionerna med vi kallar kedjeregeln.

Exempel 1

Ange den sammansatta funktionen f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)ƒ (g(x))

a)  g(x)=x3+2xg\left(x\right)=x^3+2xg(x)=x3+2x  och  f(x)=x4f\left(x\right)=x^4ƒ (x)=x4 

a)   g(x)=2x+πg\left(x\right)=2x+\pig(x)=2x+π  och  f(x)=3sinxf\left(x\right)=3\sin xƒ (x)=3sinx 

Lösning

Vi får den sammansatta funktionen f(g(x))f\left(g\left(x\right)\right)ƒ (g(x)) genom att ersätta xxx:et i f(x)f\left(x\right)ƒ (x) med

a) funktionsuttrycket för ggg, nämligen  x3+2xx^3+2xx3+2x. Vi får

 f(g(x))=(x3+2x)4f\left(g\left(x\right)\right)=\left(x^3+2x\right)^4ƒ (g(x))=(x3+2x)4 

b) funktionsuttrycket för ggg, nämligen 2x+π2x+\pi2x+π. Vi får

 f(g(x))=3sin(2x+π)f\left(g\left(x\right)\right)=3\sin\left(2x+\pi\right)ƒ (g(x))=3sin(2x+π) 

Både funktionen  ffƒ  och ggg är beroende av hur xxx-värdet förändras. Vi får här därför lite som en kedjereaktion, först ges värdet i funktionen ggg som i sin tur påverkar funktionsvärdet i  ffƒ 

Kedjeregeln

En sammansatt funktion deriveras med hjälp av kedjeregeln. Den säger att du får derivatan genom att multiplicera den yttre derivatan med den inre derivatan.

Vi fördjupar din förståelse av sammansatta funktioner och hur du kan se vad som är den inre och yttre funktionen med ett antal exempel längre ned i texten.

Kedjeregeln

En sammansatt funktion y=f(g(x))y=f(g(x))y=ƒ (g(x)) har derivatan

y=f(g(x))g(x)y'=f'(g(x))\cdot g'(x)y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)

där den yttre funktionen är  ffƒ  och den inre funktionen är ggg.

Med ord kan vi säga att

Kedjeregeln ger att derivatan är lika med

den yttre funktionens derivata multiplicerat med den inre funktionens derivata

Utmaningen är ofta att avkoda vad som är den yttre och den inre funktionen. Enda sättet att bli bra på det är att öva. Vi tittar därför direkt på några exempel.

Exempel 1

Derivera y=(2x+1)2y=(2x+1)^2y=(2x+1)2

Lösning

Vi markera den inre funktionen med grönt och den yttre med rött.

y=(2x+1)2y=\color{red}(\color{green}2x+1\color{red})^2y=(2x+1)2.

Med hänvisning till kedjeregeln säger vi att inre funktionen är g(x)=2x+1\color{green}g\left(x\right)=2x+1g(x)=2x+1

Den yttre funktionen motsvarar upphöjt till två, f(g(x))=g(x)2\color{red}f\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=\color{green}g\left(x\right)^\color{red}2ƒ (g(x))=g(x)2

Vi deriverar dem var för sig. Först inre.

g(x)=2x+1\color{green}g\left(x\right)=2x+1g(x)=3x    \Rightarrow    g(x)=2\color{blue}g'(x)=2g’(x)=3

Sen yttre.

f(x)=(g(x))2\color{red}f(x)=\left(\color{green} g\left(x \right) \color{red}\right)^2ƒ (x)=cos(g(x))    \Rightarrow    f(x)=2g(x)=2(2x+1)\color{red}f'(x)=2\color{black}\cdot \color{green}g\left(x\right)\color{black}=\color{red}2 \color{black}\cdot\color{green} (2x+1) ƒ ’(x)=sin(g(x))

Enligt kedjeregeln är derivatan

y=f(g(x))g(x)y'=\color{red}f'\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)\color{black}\cdot \color{blue}g'\left(x\right)\color{black}y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)

Vi sätter in derivatorna vi räknade fram i formeln och förenklar

y=2(2x+1)2=8x+4y’=\color{red}2\left(\color{green}2x+1\right)\color{black}\cdot \color{blue}2\color{black}=8x+4y=(sin3x)·3=3sin3x

Vi kan dubbelkolla att kejderegeln stämmer genom att först utveckla uttrycket med kvadreringsregeln och sedan derivera.

y=(2x+1)2=4x2+4x+1y=(2x+1)^2=4x^2+4x+1y=(2x+1)2=4x2+4x+1   vilket ger derivata

y=8x+4y'=8x+4y´=8x+4

Kedjeregeln fungerar!

Exempel 2

Derivera y=cos3xy=\cos3xy=cos3x

Lösning

Vi markera den inre funktionen med grönt och den yttre med rött.

y=cos3xy=\color{red}\cos \color{green}3xy=cos3x

Med hänvisning till kedjeregeln säger vi att inre funktionen är g(x)=3x\color{green}g\left(x\right)=3xg(x)=3x

och den yttre cosinusfunktionen f(x)=cos(g(x))\color{red}f\left(x\right)=\cos\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)ƒ (x)=cos(g(x))

Vi deriverar dem var för sig. Först inre.

g(x)=3x\color{green}g\left(x\right)=3xg(x)=3x   \Rightarrow  g(x)=3\color{blue}g'\left(x\right)=3g´(x)=3

Sen yttre.

f(g(x))=cos(g(x))\color{red}f\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)\color{black}=\color{red}\cos\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)ƒ (g(x))=cos(g(x))   \Rightarrow   f(g(x))=sin(g(x))\color{red}f'\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=-\sin\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)ƒ ´(g(x))=sin(g(x))

Enligt kedjeregeln är derivatan

y=f(g(x))g(x)y'=\color{red}f'\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)\color{black}\cdot \color{blue}g'\left(x\right)\color{black}y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)

Vi sätter in derivatorna vi räknade fram i formeln och förenklar

y=sin(3x)3=3sin3xy’=\color{red}-\sin\left(\color{green}3x \color{red}\right)\color{black}\cdot \color{blue}3\color{black}=-3\sin3xy=sin(3x)·3=3sin3x

Exempel 3

Derivera  y=x3y=\sqrt{x^3}y=x3

Lösning

Vi markera den inre funktionen med grönt och den yttre med rött.

y=x3y=\color{red}\sqrt \color{green}{x^3}y=x3

Med hänvisning till kedjeregeln säger vi att inre funktionen är  g(x)=x3\color{green}g\left(x\right)=x^3g(x)=x3

och den yttre rotfunktionen f(g(x))=g(x)\color{red}f\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=\sqrt{\color{green}g\left(x\right)}ƒ (g(x))=g(x)

Vi deriverar dem var för sig. Först inre.

g(x)=x3\color{green}g\left(x\right)=x^3g(x)=x3  \Rightarrow   g(x)=3x2\color{blue}g'\left(x\right)=3x^2g´(x)=3x2

Sen yttre.

f(g(x))=g(x)\color{red}f\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=\sqrt{\color{green}g\left(x\right)}ƒ (g(x))=g(x)    \Rightarrow   f(g(x))=\color{red}f'\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)=ƒ ´(g(x))=12g(x)\color{red}\frac{1}{2\sqrt{\color{green}g\left(x\right)}}12g(x) 

Enligt kedjeregeln är derivatan

y=f(g(x))g(x)y'=\color{red}f'\left(\color{green}g\left(x\right)\color{red}\right)\color{black}\cdot \color{blue}g'\left(x\right)\color{black}y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)

Vi sätter in derivatorna vi räknade fram i formeln och förenklar

y=y’=y= 12x3\color{red}\frac{1}{2\sqrt{\color{green}x^3}}\color{black}\cdot12x3 · 3x2=\color{blue}3x^2\color{black}=3x2= 3x2\frac{3\sqrt{x}}{2}3x2 

Förenklingen av derivatan i fler steg ser ut så här.

y=y’=y=3x22x3=3x22(x3)12=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}=\frac{3x^2}{2\left(x^3\right)^{^{\frac{1}{2}}}}=3x22x3 =3x22(x3)12  =3x22x312=3x22x32=\frac{3x^2}{2x^{3\cdot\frac{1}{2}}}=\frac{3x^2}{2x^{\frac{3}{2}}}=3x22x3·12  =3x22x32  =3x2322=3x122=\frac{3x^{2-\frac{3}{2}}}{2}=\frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2}=3x232 2 =3x12 2 =3x2\frac{3\sqrt{x}}{2}3x2 

Återvänd till potensreglerna om detta är oklart.

Andra sätt att beteckna kedjeregeln

Det finns även andra sätt att beskriva kedjeregel. Ett exempel på ett sådant sätt nämns nedan. Detta sätt blir extra användbart vid tillämpningar där vi har fler variabler eller vet derivatans värde med avseende på en annan variabeln än den i uppgiften angivna.

dydx=dydzdzdx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}dydx =dydz ·dzdx 

Detta utläser du som ”dy dx är lika med dy dg multiplicerat med dg dx”. Du lär dig mer om detta i lektionen om tillämpningar med kedjeregeln.

Exempel i videon

  • Bestäm derivatan av f(x)=sin2xf(x)=sin2x med kedjeregeln
  • Derivera f(x)=sin(2x2+3x)f(x)=sin(2x^2+3x)
  •  f(x)=sin2(3x)f(x)=sin^2(3x)