Name: Kvotregeln - Derivata (Ma 4) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4.47 (15 reviews)

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av provet

Din skolas prenumeration har gått ut!

Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.

KÖP PREMIUM

Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar

Din skolas prenumeration har gått ut!

Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

För att derivera en funktion som är en kvot av två funktioner använder vi kvotregeln.
Exempelvis är $y=$y=$\frac{e^x}{x^3}$e^xx³ och $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{x^2}{\sin x}$x²sinx funktioner som ska deriveras med kvotregeln.

Kvotregeln

Om $y=$y=$\frac{f(x)}{g(x)}$ƒ (x)g(x) där $g\left(x\right)\ne0$g(x)≠0 så gäller att

$y'=$y'=$\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$ƒ '(x)·g(x)−ƒ (x)·g'(x)(g(x))²

Derivatan av en sådan funktion är alltså följande.

”Differensen mellan första funktionens derivata multiplicerat med den andra funktionen och den första funktionen multiplicerat med den andra funktionens derivata dividerat med andra funktionen i kvadrat”.

Exempel på att derivera med kvotregeln

Nedan följer ett antal exempel på där denna regel används.

Exempel 1

Derivera $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{e^x}{x^3}$e^xx³

Lösning

Vi tillämpar kvotregeln och får

$f'(x)=$ƒ '(x)= $\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{(x^3)^2}=$e^x·x³−e^x·3x²(x³)² = $\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{x^6}$e^x·x³−e^x·3x²x⁶

eftersom derivatan av $e^x$e^x är lika med $e^x$e^x

och derivatan till $x^3$x³ är lika med $3x^2$3x²

Vi fortsätter med ett liknande exempel.

Exempel 2

Derivera $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{x^2}{\sin x}$x²sinx

Lösning

Vi tillämpar kvotregeln och får

$f'\left(x\right)=$ƒ '(x)= $\frac{2x\cdot\sin x-x^2\cdot\cos x}{\sin^2x}$2x·sinx−x²·cosxsin²x

eftersom derivatan av $x^2$x² är lika med $2x$2x

och derivatan till $\sin x$sinx är lika med $\cos x$cosx.

Derivatan av tangens

Eftersom tangensfunktionen kan skrivas som kvoten $\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx kan vi bestämma derivatan med hjälp av kvotregeln.

Exempel 3

Derivera $f(x)=\tan x$ƒ (x)=tanx

Lösning

Vi använder definitionen för tangens, $\tan x=$tanx=$\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx

Nu deriverar vi med kvotregeln och får

$f'\left(x\right)=$ƒ '(x)=$\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\left(-\sin x\right)}{\cos^2x}$cosx·cosx−sinx(−sinx)cos²x

Vi förenklar och får

$f'\left(x\right)=$ƒ '(x)=$\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}$cos²x+sin²xcos²x

Vi använder trigonometriska ettan och får

$f'\left(x\right)=$ƒ '(x)=$\frac{1}{\cos^2x}$1cos²x

Bevis av kvotregeln

I teoritexten i lektionen produktregeln går vi igenom beviset för produktregeln. För att bevisa kvotregeln använder vi detta bevis efter att vi skrivit om kvoten till en produkt, $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=$ƒ (x)g(x) = $f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-1}$ƒ (x)·g(x)⁻¹

Exempel i videon

Derivera $ y = \frac{x^2}{2e^x} $.
Derivera $ y=\tan x $.
Derivera $ y=\frac{x}{\cos x} $.

Nästa lektion Tillbaka till kursöversikt

Nästa repetitionslektion Tillbaka till kursöversikt

Kommentarer

Armend

2021-06-09

Hej, jag tror att fråga 6 är fel, hur blir det 1+2sin^2(x) i täljaren?

Haya Ardalan

2013-05-19

Hej!
kan inte lösa denna uppgift

Man har en funktion f(x)=xe^x.
Undersök om det finns någon lösning till ekvationen f(x)=f'(x)

Jens

2013-01-27

Hej! I ert övningsprov, uppgift 4

Förklaring
Vi har funktionen f(x)=3x+2ex
Vi deriverar med kvotregeln
f´(x)=(3e^x−(3x+2)e^x)/(e^2x)
Förkortning med e^x ger
f´(x)=(3x+5)/(e^x)

Jag förstår inte steget där mellan.
Jag faktoriserar täljaren till e^x(3-3x-2)
när jag sedan förkortar med e^x blir täljaren (3-3x-2)
alltså (1-3x)/(e^x)

AxelKindbom

2012-11-06

Hej! Toppenvideo!
Det är ett steg som jag dock inte förstår, vilket antagligen beror på mina bristande förkunskaper. Vid 02:25 i videon så förkortas 2e^x i varje term. Kan du förklara kort hur detta steget går till?

Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

Linjal Grafräknare Formelblad

Provet

Bedömningsanvisningar

Provet

Bedömningsanvisningar

Vi hjälper dig att repetera om du behöver

{[{ prereqFeedback.title }]} {[{ prereqFeedback.body }]}

RESULTAT

Du har det som behövs

Är du säker?

REPETERAR

Du ser första minuten av genomgången. Prova gratis i 14 dagar Se hela med Eddler Premium

Få tillgång till hela Eddler

Alla videor i alla kurser
Övningar med förklaringar på rätt nivå
Allt inför NP och HP
Gjort av legitimerade mattelärare

Prova gratis i 14 dagar Köp Premium

Sedan 99 kr/mån. Ingen bindningstid.

Din skolas prenumeration har gått ut

Påminn din lärare om att förnya, eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.

Köp Premium

Sedan 99 kr/mån. Ingen bindningstid.

Er prenumeration har gått ut

Kontakta oss på info@eddler.se för att förnya.

Repetera mer i lektionen

e-uppgifter (4)

1. Premium

(1/0/0)

	E	C	A
B
P	1
PL
M
R
K

EXIT NP INGÅR EJ Uppgift från prov

Derivera $\frac{x^2-1}{x+1}$x²−1x+1

a) genom att först förenkla kvoten.

b) genom att använda kvotregeln.

Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.

Svar:

π²

Ditt svar:

Rätt svar:

()

Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättning

Jämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.

Rättad

+1
Rättad

Liknande uppgifter: Derivata Derivata och integraler - Ma 5 Deriveringsregel Deriveringsregeln kvotregeln Kvotregeln Matematik 4 Matematik 5

2. Premium

(1/0/0)

	E	C	A
B
P	1
PL
M
R
K

EXIT NP INGÅR EJ Uppgift från prov

Derivera $y=$y=$\frac{\sin x}{x}$sinxx

$y'=\frac{x\sin x-\cos x}{x^2}$
$y'=\frac{x\cos x-\sin x}{\cos x^2}$
$y'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$
$y'=\frac{x\cos x+\sin x}{x^2}$

Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättning

Jämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.

Rättad

+1
Rättad

Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel Kvotregeln

3. Premium

(2/0/0)

	E	C	A
B
P	2
PL
M
R
K

EXIT NP INGÅR EJ Uppgift från prov

Derivera $\tan x$tanx med hjälp av kvotregeln.

$y'=\frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{\cos^2\left(x\right)}$
$y'=\frac{\cos(x)-\sin(x)}{x^2}$
$y'=\frac{1}{\cos^2\left(x\right)}$
$y'=\frac{1}{\tan^2\left(x\right)}$

Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättning

Jämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.

Rättad

+1
Rättad

Liknande uppgifter: Derivata Derivata och integraler - Ma 5 Deriveringsregel Deriveringsregeln kvotregeln Kvotregeln Matematik 4 Matematik 5

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av provet

Din skolas prenumeration har gått ut!

Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.

KÖP PREMIUM

Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar

Din skolas prenumeration har gått ut!

Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

4. Premium

(1/0/0)

	E	C	A
B
P	1
PL
M
R
K

EXIT NP INGÅR EJ Uppgift från prov

Derivera $y=$y= $\frac{x^2}{\sin x}$x²sinx

$y'=\frac{2x\cos(x)+x^2\sin(x)}{\cos^2(x)}$
$y'=\frac{2x\sin(x)-x^2\cos(x)}{\sin(x)}$
$y'=\frac{2x\sin(x)-x^2\cos(x)}{\sin^2(x)}$
$y'=\frac{2x\cos(x)}{\sin^2(x)}$

Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättning

Jämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.

Rättad

+1
Rättad

Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel Kvotregeln

c-uppgifter (3)

5. Premium

(1/1/0)

	E	C
B
P	1	1
PL
M
R
K

EXIT NP INGÅR EJ Uppgift från prov

Lös ekvationen $y'(x)=0$y'(x)=0 då $y(x)=$y(x)=$\frac{2x^2}{e^x}$2x²e^x

$x_1=\ln1$ och $x_2=0$
$x_1=0$ och $x_2=2$
$x_1=1$ och $x_2=2$
$x=\ln2$

Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättning

Jämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.

Rättad

+1
Rättad

Liknande uppgifter: Derivata Derivata och integraler - Ma 5 Deriveringsregel Deriveringsregeln kvotregeln Kvotregeln Matematik 4 Matematik 5

6. Premium

(0/2/0)

	E	C	A
B
P		2
PL
M
R
K

EXIT NP INGÅR EJ Uppgift från prov

Derivera $y=$y=$\frac{\tan^2x}{\sin x\cdot\cos x}$tan²xsinx·cosx och förenkla så långt som möjligt.

$y'=-\frac{2\tan\left(x\right)}{\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)}$
$y'=\frac{2\tan\left(x\right)}{\sin^2\left(x\right)\cos^2\left(x\right)}$
$y'=\frac{1+2\sin^2\left(x\right)}{\cos^4\left(x\right)}$
$y'=\frac{2\sin^2\left(x\right)-1}{\cos^6\left(x\right)}$

Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättning

Jämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.

Rättad

+1
Rättad

Liknande uppgifter: Derivata Deriveringsregel Kvotregeln

7. Premium

(0/2/0)

	E	C	A
B
P		2
PL
M
R
K

EXIT NP INGÅR EJ Uppgift från prov

Derivera $y=$y=$\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{x}}$(x+1)²√x

$y'=\frac{2x+2}{x}$
$y'=\frac{2x+2}{2\sqrt{x}}$
$y'=\frac{3x^2+2x-1}{2x\sqrt{x}}$
$y'=\frac{4x^2-2x-1}{2x\sqrt{x}}$

Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättning

Jämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.

Rättad

+1
Rättad

Liknande uppgifter: Derivata Derivata och integraler - Ma 5 Deriveringsregel Deriveringsregeln kvotregeln Kvotregeln Matematik 4 Matematik 5

a-uppgifter (2)

8. Premium

(0/0/2)

	E	C	A
B
P			2
PL
M
R
K

EXIT NP INGÅR EJ Uppgift från prov

Låt $y=\frac{x^2e^x}{x-2}$y=x²e^xx−2 . Lös ekvationen $y'=0$y'=0.

$x=0$
$x_1=\frac{5}{2}$ och $x_2=-\frac{3}{2}$
$x_1=0$, $x_2=\frac{5}{2}$ och $x_3=-\frac{3}{2}$
$x_1=0$, $x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ och $x_3=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$x_1=0$, $x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$ och $x_3=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättning

Jämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.

Rättad

+1
Rättad

Liknande uppgifter: Derivata Kvotregeln

9. Premium

(0/0/1)

	E	C	A
B
P
PL
M
R			1
K

EXIT NP INGÅR EJ Uppgift från prov

Kvotregeln säger att

"För alla funktioner $y=$y=$\frac{f(x)}{g(x)}$ƒ (x)g(x) där $g\left(x\right)\ne0$g(x)≠0 så gäller att

$y'=$y'=$\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$ƒ '(x)·g(x)−ƒ (x)·g'(x)(g(x))² "

Visa att kvotregeln gäller med hjälp av produktregeln.

Rättas inte automatiskt. Du bedömer själv mot facit.

Svar:

π²

Ditt svar:

Rätt svar:

()

Bedöm ditt svarBedömningsanvisningar/Manuell rättning

Jämför med rätt svar ovan och kryssa i det du har fått med.

Rättad

+1
Rättad

Liknande uppgifter: Derivata deriveringsregler Kvotregeln

Nästa lektion Tillbaka till kursöversikt

Nästa repetitionslektion Tillbaka till kursöversikt

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av provet

Din skolas prenumeration har gått ut!

Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.

KÖP PREMIUM

Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar

Din skolas prenumeration har gått ut!

Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Välj kurs

Gy25

Gy11

Grundskolan

Övrigt

Lägg till som läxa

Lägg till som stjärnmärkt

Frågor hjälpmarkerade!

KURSER /

Matematik 4

/ Derivata

Kvotregeln

Författare:Simon Rybrand Anna Karp

Allt du behöver för att klara av provet

Allt du behöver för att klara av provet

Innehåll

Kvotregeln

Exempel 1

Lösning

Exempel 2

Lösning

Exempel 3

Lösning

Armend

Haya Ardalan

Jens

AxelKindbom

Endast Premium-användare kan kommentera.

1. Premium

2. Premium

3. Premium

Allt du behöver för att klara av provet

Allt du behöver för att klara av provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

Allt du behöver för att klara av provet

Allt du behöver för att klara av provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Det finns inga befintliga prov.

{[{ test.title }]}

Lektion

Kategori

ID

Test i 7 dagar för 9 kr.

{[{marker.title}]}

Logga in