...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Derivata

Kvotregeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Premium
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 800+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 6000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
99 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Kvotregeln används för att derivera en funktion som innehåller två funktioner som divideras med varandra.

Kvotregeln

När derivatan av en kvot skall bestämmas så används alltså denna deriveringsregel. Den säger följande:

Om  $y=\frac{f(x)}{g(x)}$y=ƒ (x)g(x)  där $g\left(x\right)\ne0$g(x)0  så gäller att

 $y´=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$y´=ƒ ’(x)·g(x)ƒ (x)·g’(x)(g(x))2  

Exempel på att derivera med kvotregeln

Nedan följer ett antal exempel på där denna regel används.

Exempel 1

Derivera  $f(x)=\frac{e^x}{x^3}$ƒ (x)=exx3  

Lösning:

 $f´(x)=\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{(x^3)^2}$ƒ ´(x)=ex·x3ex·3x2(x3)2   $=\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{x^6}$=ex·x3ex·3x2x6  

Exempel 2

Derivera  $f(x)=\frac{x^2}{\sin x}$ƒ (x)=x2sinx  

Lösning:

Vi tillämpar kvotregeln och får

 $f’\left(x\right)=\frac{2x\cdot\sin x-x^2\cdot\cos x}{sin^2x}$ƒ ’(x)=2x·sinxx2·cosxsin2x  

Exempel 3

Derivera  $f(x)=\tan x$ƒ (x)=tanx 

Lösning:

Vi kan skriva om $\tan x$tanx till $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$tanx=sinxcosx  

Nu deriverar vi med kvotregeln och får

 $f’\left(x\right)=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\left(-\sin x\right)}{\cos^2x}$ƒ (x)=cosx·cosxsinx(sinx)cos2x 

Vi förenklar och får

 $f’\left(x\right)=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}$ƒ (x)=cos2x+sin2xcos2x 

Vi använder trigonometriska ettan och får

 $f’\left(x\right)=\frac{1}{\cos^2x}$ƒ (x)=1cos2x  

Exempel i videon

  • Derivera $ y = \frac{x^2}{2e^x} $.
  • Derivera $ y=tanx $.
  • Derivera $ y=\frac{x}{cosx} $.

Kommentarer

Armend

Hej, jag tror att fråga 6 är fel, hur blir det 1+2sin^2(x) i täljaren?

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej,

    har du sett att alla uppgifter har en förklaring. DU ser den genom att klicka på knappen FÖrklaring efter att du rätta uppgiften. Där kan du se hur man kommer fram till detta.

Haya Ardalan

Hej!
kan inte lösa denna uppgift

Man har en funktion f(x)=xe^x.
Undersök om det finns någon lösning till ekvationen f(x)=f'(x)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här får du först derivera och får då
    $ f´(x) = e^x + xe^x $
    Du skall nu undersöka om det finns lösningar till ekvationen
    $ f(x) = f´(x) ⇔ $
    $ xe^x = e^x + xe^x ⇔ $ ($ -xe^x $)
    $ 0 = e^x $
    Här kan du göra så att du ritar ut funktionen
    $ f(x) = e^x $
    och så ser du att denna funktion inte går genom y = 0, dvs det finns inga lösningar till denna ekvation.

Jens

Hej! I ert övningsprov, uppgift 4

Förklaring
Vi har funktionen f(x)=3x+2ex
Vi deriverar med kvotregeln
f´(x)=(3e^x−(3x+2)e^x)/(e^2x)
Förkortning med e^x ger
f´(x)=(3x+5)/(e^x)

Jag förstår inte steget där mellan.
Jag faktoriserar täljaren till e^x(3-3x-2)
när jag sedan förkortar med e^x blir täljaren (3-3x-2)
alltså (1-3x)/(e^x)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Jens, Det hade smugit sig in ett fel i uträkningen där och jag har uppdaterat uppgiften sasmt lagt till en längre uträkning så att resonemanget blir tydligare.

AxelKindbom

Hej! Toppenvideo!
Det är ett steg som jag dock inte förstår, vilket antagligen beror på mina bristande förkunskaper. Vid 02:25 i videon så förkortas 2e^x i varje term. Kan du förklara kort hur detta steget går till?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Axel, vad bra att du gillar videon. Om man skriver ut hela det deriverade uttrycket så får vi

    $ \frac{2x2e^x – x^22e^x}{(2e^x)^2} = \frac{2x2e^x – x^22e^x}{2e^x \cdot 2e^x} $

    Vi skulle nu, för att vara tydliga, bryta ut $ 2e^x $ i bägge termerna i täljaren så att vi får:

    $ \frac{2e^x(2x – x^2)}{2e^x \cdot 2e^x} $

    Nu förkortar vi både i täljaren och nämnaren med $ 2e^x $ så att uttrycket blir

    $ \frac{2x – x^2}{2e^x} $

Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Derivera  $\frac{x^2-1}{x+1}$x21x+1 .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Derivera $y=\frac{sin(x)}{x}$.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Derivera $y=tan(x)$ med hjälp av kvotregeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 800+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 6000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 99 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Derivera $y=\frac{x^2}{sin(x)}$.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B
    P 1 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Lös ekvationen $y'(x)=0$  då  $y(x)=\frac{2x^2}{e^x}$.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Derivera  $y=\frac{tan^2\left(x\right)}{sin\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)}$y=tan2(x)sin(x)·cos(x)   och förenkla så långt som möjligt.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Derivera  $y=\frac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{x}}$y=(x+1)2x  .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Låt  $y=\frac{x^2e^x}{x-2}$y=x2exx2  . Lös ekvationen  $y’=0$y=0 .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 800+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 6000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se