...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 4
 /   Derivata

Deriveringsregler

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I den här lektionen samlar vi de deriveringsregler som används i kurserna Matematik 3 och Matematik 4 på gymnasiet. Till varje regel anger vi i vilken kurs den introduceras.

Innan vi tittar på de olika funktionernas deriveringsregler repeterar vi några grunder vid derivering.

Tre bra kom ihåg när du deriverar
  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

Polynomfunktioner (Ma 3)

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Vid derivering av polynomfunktioner gäller följande.

Funktionen  $f\left(x\right)=x^n$ƒ (x)=xn   har derivatan  $f´\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·xn1 

och

För alla funktioner  $f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)$ƒ (x)=k·g(x)  där $k$k är en konstant, gäller att  $f´\left(x\right)=k\cdot g´\left(x\right)$ƒ ´(x)=k·g´(x)    

Lägger vi dessutom till följande regel kan vi derivera alla potensfunktioner. Eftersom att en polynomfunktion kan ha flera termer använder vi följande regler för att kunna derivera dem.

 $D\left(f+g\right)=f´+g´$D(ƒ +g)=ƒ ´+g´ 

Exempel på att derivera polynomfunktioner

$ f(x) = x $ har derivatan $ f´(x) = 1 $

$ f(x) = x^3 $ har derivatan $ f´(x) = 3x^2 $

$ f(x) = 2x^4 + 3x + 10 $ har derivatan $ f´(x) = 8x^3 + 3 + 0 = 8x^3 + 3 $

Lektion om att derivera polynomfunktioner

Potensfunktioner (Ma 3)

En potensfunktion kan innehålla andra exponenter än positiva heltal, exempelvis bråktal eller negativa tal. För potensfunktioner används ändå samma deriveringsregler som för polynomfunktioner.

En potensfunktion $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn, där $k$k är en konstant har derivatan

 $f´\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·k·xn1

Dessutom gäller att

  • Du får derivera term för term, d.v.s om vi har flera termer deriverar du varje term för sig.
  • Derivatan av en konstant, t.ex.  $4,5,100,-10$4,5,100,10  är noll.

Ofta behöver potensfunktioner skrivas om med potensregler för att bli lättare att derivera. De potensregler som då används är:

1)  $a^{-n}=$an=  $\frac{1}{a^n}$1an  
2)  $\sqrt{x}=x^{1/2}$x=x1/2 

Exempel på att derivera potensfunktioner

$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $ har derivatan $ f´(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $

$ f´(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} $ har derivatan $ f´(x) = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3} $

Lektion om att derivera potensfunktioner

Exponentialfunktioner (Ma 3)

För funktioner som har sin oberoende variabel i exponenten så brukar man särskilja mellan de funktioner som står på basen e och de som inte gör det.

 $f(x)=a^x$ƒ (x)=ax  där  $a>0$a>0  har derivatan $f´(x)=a^{kx}\cdot k\cdot lna$ƒ ´(x)=akx·k·lna 

 $f\left(x\right)=a\cdot e^{kx}$ƒ (x)=a·ekx har derivatan  $f´\left(x\right)k=\cdot a\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)k=·a·ekx 

Exempel på att derivera exponentialfunktioner

$ f(x) = e^x $ har derivatan $ f´(x) = e^x $

$ f(x) = 2e^{3x} $ har derivatan $ f´(x) = 6e^{3x} $

$ f(x) = 2^x $ har derivatan  $f´(x)=2^x\cdot\ln2$ƒ ´(x)=2x·ln2 

Lektion om att derivera exponentialfunktioner

Derivatan av logaritmfunktionen ln x (Ma 4)

 $f\left(x\right)=k\cdot\ln x$ƒ (x)=k·lnx  där $x>0$x>0 har derivatan

 $f´\left(x\right)=$ƒ ´(x)= $\frac{k}{x}$kx   

Exempel på att derivera logaritmfunktionen ln x

Om  $f(x)=2\text{ }\ln x$ƒ (x)=2 lnx  så är  $f´(x)=$ƒ ´(x)= $\frac{2}{x}$2x  

Trigonometriska funktioner (Ma 4)

För funktioner som innehåller trigonometriska element (sin, cos, tan) så gäller följande grundläggande regler.

 $f(x)=\sin x$ƒ (x)=sinx  har derivatan  $f´(x)=\cos x$ƒ ´(x)=cosx 

 $f(x)=\cos x$ƒ (x)=cosx  har derivatan  $f´(x)=-\sin x$ƒ ´(x)=sinx 

 $f(x)=\tan x$ƒ (x)=tanx  har derivatan  $f´(x)=$ƒ ´(x)= $\frac{1}{\cos^2x}$1cos2x  

Exempel på att derivera trigonometriska funktioner

 $f(x)=-2\sin x$ƒ (x)=2sinx  har derivatan  $f´(x)=-2\cos x$ƒ ´(x)=2cosx 

 $f(x)=3+\cos x$ƒ (x)=3+cosx  har derivatan  $f´(x)=-\sin x$ƒ ´(x)=sinx 

Lektion om att derivera trigonometriska funktioner

Kedjeregeln (Ma 4)

Sammansatta funktioner deriveras med hjälp av kvotregeln.

 $y=f\left(g\left(x\right)\right)$y=ƒ (g(x)) har derivatan

 $y´=f´\left(g\left(x\right)\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) 

  •  $f´\left(g\left(x\right)\right)$ƒ ´(g(x)) kallas för den yttre derivatan.
  •  $g´\left(x\right)$g´(x) kallas för den inre derivatan.

Exempel på att derivera med kedjeregeln

$ f(x) = sin^2x = (sinx)^2 $ har derivatan $ f´(x) = 2sinx \cdot cosx $

$ f(x) = cos(4x) $ har derivatan $ f´(x) = -4sin4x $

$ f(x) = (3+x^2)^3 $ har derivatan $ f´(x) = 3(3 + x^2)^2 \cdot (2x) $

Lektion om kedjeregeln

Produktregeln (Ma 4)

Vid derivering av produkter, det vill säga en funktion uppbyggd av funktioner multiplicerade med varandra, så används produktregeln.

 $y=f(x)\cdot g(x)$y=ƒ (x)·g(x)  har derivatan $y´=f´(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g´x)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´x) 

Exempel på att derivera med produktregeln

$ f(x) = e^x \cdot sinx $ har derivatan $ f´(x) = e^xsinx + e^xcosx $

$ f(x) = x^2cosx $ har derivatan $ f´(x) = 2xcosx – x^2sinx $

Lektion om produktregeln

Kvotregeln (Ma 4)

Vid derivering av funktioner skrivna som kvoter så tillämpas kvotregeln.

 $y=\frac{f(x)}{g(x)}$y=ƒ (x)g(x)  där $g\left(x\right)\ne0$g(x)0 har derivatan $y´=\frac{f´(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g´x)}{(g(x))^2}$y´=ƒ ´(x)·g(x)ƒ (x)·g´x)(g(x))2  

Exempel på att derivera med kvotregeln

$ f(x) = \frac{e^x \cdot x}{x^2} $ har derivatan $ \frac{e^x \cdot x – e^x}{x^4} $

Lektion om kvotregeln

Kommentarer

Björn Follin

Förstår inte heller riktigt fråga 7. Om den yttre funktionen är f(x)=x^2 och den inre funktionen är g(x)=cos x som ni har skrivit, bör f'(x)=2x och g'(x)=-sin x. Använder man då kjedjeregeln bör det väl bli 2x(cosx)*-sinx+3? Varför blir det inte x^2 någonstans i första termen när vi multiplicerar 2x med cos x?

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Björn,

    Det kan vara något förvirrande vid omskrivningen med kedjeregeln då det kan uppfattas som att, exempelvis i detta fall, derivatan av den yttre funktionen är  
    $f\left(x\right)=2x$.
    Men $x$-et i regeln är inte samma $x$ som i uppgiften.

    Kanske blir det tydligare om man substituerar på följande vis.

    Sätt
    $t=\cos x$ vilket ger att  $t´=-\sin x$ och vi får då att

     
    $y´=\left(\text{Yttre derivata}\right)\cdot\left(\text{Inre derivata}\right)=$$2t\cdot t´+3$

    som vi sedan skriver om genom att ersätta tillbaka till

    $y´=-2\cos(x)\text{ }\sin(x)+3$

    Så derivatan av den yttre funktionen $f\left(x\right)$ är inte $2x$, utan $f´(x)=-2\cos(x)$

    Hoppas det blev tydligare nu.

Jasmin Alhaj

på fråga 7 får jag svaret: 2cosx-sinx+3 är det rätt? Finns inget sådant alternativ.

    David Admin (Moderator)

    Hej Jasmin,

    tyvärr är ditt förlag inte korrekt.
    Jag har utvecklat förklaringen till uppgiften något. Se om den hjälper dig att förstå varför ett av alternativen är korrekt svar.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=2x$ƒ (x)=2x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=0,03$ƒ (x)=0,03 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

     $f\left(x\right)=3x^4+12x-102$ƒ (x)=3x4+12x102, bestäm funktionens derivata $f´\left(x\right)$ƒ ´(x).

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=2\sqrt{x}$ƒ (x)=2x och förenkla.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=4e^{2x}$ƒ (x)=4e2x 

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f\left(x\right)=\ln x$ƒ (x)=lnx 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $y=\cos^2(x)+3x$y=cos2(x)+3x

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $f´\left(1\right)$ƒ ´(1)  om $f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}$ƒ (x)=x32  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f´\left(x\right)=$ƒ ´(x)=$\frac{x^2}{e^x}$x2ex   och förenkla.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Derivera  $f(x)=3x^2\sin(x)$ƒ (x)=3x2sin(x) 

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se