Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Deriveringsregler
Innehåll
I den här lektionen samlar vi de deriveringsregler som används i kurserna Matematik 3 och Matematik 4 på gymnasiet. Till varje regel anger vi i vilken kurs den introduceras.
Innan vi tittar på de olika funktionernas deriveringsregler repeterar vi några grunder vid derivering.
Tre bra kom ihåg när du deriverar
- Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
- Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
- Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.
Polynomfunktioner (Ma 3)
Vid derivering av polynomfunktioner gäller följande.
Funktionen $f\left(x\right)=x^n$ƒ (x)=xn har derivatan $f´\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·xn−1
och
För alla funktioner $f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)$ƒ (x)=k·g(x) där $k$k är en konstant, gäller att $f´\left(x\right)=k\cdot g´\left(x\right)$ƒ ´(x)=k·g´(x)
Lägger vi dessutom till följande regel kan vi derivera alla potensfunktioner. Eftersom att en polynomfunktion kan ha flera termer använder vi följande regler för att kunna derivera dem.
$D\left(f+g\right)=f´+g´$D(ƒ +g)=ƒ ´+g´
Exempel på att derivera polynomfunktioner
$ f(x) = x $ har derivatan $ f´(x) = 1 $
$ f(x) = x^3 $ har derivatan $ f´(x) = 3x^2 $
$ f(x) = 2x^4 + 3x + 10 $ har derivatan $ f´(x) = 8x^3 + 3 + 0 = 8x^3 + 3 $
Potensfunktioner (Ma 3)
En potensfunktion kan innehålla andra exponenter än positiva heltal, exempelvis bråktal eller negativa tal. För potensfunktioner används ändå samma deriveringsregler som för polynomfunktioner.
En potensfunktion $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxn, där $k$k är en konstant har derivatan
$f´\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·k·xn−1
Dessutom gäller att
- Du får derivera term för term, d.v.s om vi har flera termer deriverar du varje term för sig.
- Derivatan av en konstant, t.ex. $4,5,100,-10$4,5,100,−10 är noll.
Ofta behöver potensfunktioner skrivas om med potensregler för att bli lättare att derivera. De potensregler som då används är:
1) $a^{-n}=$a−n= $\frac{1}{a^n}$1an
2) $\sqrt{x}=x^{1/2}$√x=x1/2
Exempel på att derivera potensfunktioner
$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $ har derivatan $ f´(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $
$ g(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} $ har derivatan $ g´(x) = -2x^{-3} = \frac{-2}{x^3} $
Exponentialfunktioner (Ma 3)
För funktioner som har sin oberoende variabel i exponenten så brukar man särskilja mellan de funktioner som står på basen e och de som inte gör det.
$f(x)=a^{kx}$ƒ (x)=akx där $a>0$a>0 har derivatan $f´(x)=a^{kx}\cdot k\cdot lna$ƒ ´(x)=akx·k·lna
$f\left(x\right)=a\cdot e^{kx}$ƒ (x)=a·ekx har derivatan $f´\left(x\right)=k\cdot a\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)=k·a·ekx
Exempel på att derivera exponentialfunktioner
$ y= e^x $ har derivatan $ y´ = e^x $
$ f(x) = 2e^{3x} $ har derivatan $ f´(x) = 6e^{3x} $
$ g(x) = 2^x $ har derivatan $g´(x)=2^x\cdot\ln2$g´(x)=2x·ln2
Derivatan av logaritmfunktionen ln x (Ma 4)
$f\left(x\right)=k\cdot\ln x$ƒ (x)=k·lnx där $x>0$x>0 har derivatan
$f´\left(x\right)=$ƒ ´(x)= $\frac{k}{x}$kx
Exempel på att derivera logaritmfunktionen ln x
Om $f(x)=2\text{ }\ln x$ƒ (x)=2 lnx så är $f´(x)=$ƒ ´(x)= $\frac{2}{x}$2x
Trigonometriska funktioner (Ma 4)
För funktioner som innehåller trigonometriska element (sin, cos, tan) så gäller följande grundläggande regler.
$f(x)=\sin x$ƒ (x)=sinx har derivatan $f´(x)=\cos x$ƒ ´(x)=cosx
$y=\cos x$y=cosx har derivatan $y´=-\sin x$y´=−sinx
$g(x)=\tan x$g(x)=tanx har derivatan $g´(x)=$g´(x)= $\frac{1}{\cos^2x}$1cos2x
Exempel på att derivera trigonometriska funktioner
$f(x)=-2\sin x$ƒ (x)=−2sinx har derivatan $f´(x)=-2\cos x$ƒ ´(x)=−2cosx
$g(x)=3+\cos x$g(x)=3+cosx har derivatan $g´(x)=-\sin x$g´(x)=−sinx
Kedjeregeln (Ma 4)
Sammansatta funktioner deriveras med hjälp av kvotregeln.
$y=f\left(g\left(x\right)\right)$y=ƒ (g(x)) har derivatan
$y´=f´\left(g\left(x\right)\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x)
- $f´\left(g\left(x\right)\right)$ƒ ´(g(x)) kallas för den yttre derivatan.
- $g´\left(x\right)$g´(x) kallas för den inre derivatan.
Exempel på att derivera med kedjeregeln
$ f(x) = \sin^2 x = (\sin x)^2 $ har derivatan $ f´(x) = 2 \sin x \cdot \cos x $
$ f(x) = \cos (4x) $ har derivatan $ f´(x) = -4 \sin 4x $
$ f(x) = (3+x^2)^3 $ har derivatan $ f´(x) = 3(3 + x^2)^2 \cdot (2x) $
Produktregeln (Ma 4)
Vid derivering av produkter, det vill säga en funktion uppbyggd av funktioner multiplicerade med varandra, så används produktregeln.
$y=f(x)\cdot g(x)$y=ƒ (x)·g(x) har derivatan $y´=f´(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g´x)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´x)
Exempel på att derivera med produktregeln
$ f(x) = e^x \cdot \sin x $ har derivatan $ f´(x) = e^x \sin x + e^x \cos x $
$ f(x) = x^2\cos x $ har derivatan $ f´(x) = 2x \cos x – x^2 \sin x $
Kvotregeln (Ma 4)
Vid derivering av funktioner skrivna som kvoter så tillämpas kvotregeln.
$y=$y= $\frac{f(x)}{g(x)}$ƒ (x)g(x) där $g\left(x\right)\ne0$g(x)≠0 har derivatan $y´=$y´= $\frac{f´(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g´x)}{(g(x))^2}$ƒ ´(x)·g(x)−ƒ (x)·g´x)(g(x))2
Exempel på att derivera med kvotregeln
$ f(x) = \frac{e^x \cdot x}{x^2} $ har derivatan $ \frac{e^x \cdot x – e^x}{x^4} $
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (9)
-
1. Premium
Derivera $f\left(x\right)=2x$ƒ (x)=2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: deriveringsregler Deriveringsregler PolynomRättar...2. Premium
Derivera $f\left(x\right)=0,03$ƒ (x)=0,03
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: deriveringsregler Deriveringsregler PolynomRättar...3. Premium
Låt $f\left(x\right)=3x^4+12x-102$ƒ (x)=3x4+12x−102. Bestäm funktionens derivata $f´\left(x\right)$ƒ ´(x).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: deriveringsregler Deriveringsregler PolynomRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Derivera $f\left(x\right)=2\sqrt{x}$ƒ (x)=2√x och förenkla.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivering potensfunktioner deriveringsreglerRättar...5. Premium
Derivera $f\left(x\right)=4e^{2x}$ƒ (x)=4e2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: deriveringsregler Deriveringsregler ExponentialfunktionerRättar...6. Premium
Derivera $f\left(x\right)=\ln x$ƒ (x)=lnx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan deriveringsreglerRättar...7. Premium
Derivera $y=\cos^2(x)+3x$y=cos2(x)+3x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Repetition av deriveringsreglerLiknande uppgifter: Derivata Derivata och viktiga deriveringsregler Matematik 4Rättar...8. Premium
Vilken derivata har $ f(x) = x^2 – \cos^2x $?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Vilken derivata har $ f(x) = \sin^2(2x) $?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (3)
-
10. Premium
Beräkna $f´\left(1\right)$ƒ ´(1) om $f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}$ƒ (x)=x32
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatans värde derivering potensfunktioner deriveringsreglerRättar...11. Premium
Derivera $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{x^2}{e^x}$x2ex och förenkla.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Repetition av deriveringsreglerLiknande uppgifter: Derivata Derivata och viktiga deriveringsregler Matematik 4Rättar...12. Premium
Derivera $f(x)=3x^2\sin(x)$ƒ (x)=3x2sin(x)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Repetition av deriveringsreglerLiknande uppgifter: Derivata Derivata och viktiga deriveringsregler Matematik 4Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Fanny Olofsson
Mycket fel i den skriftliga genomgången, t.ex står det f'(x) k = * a * e^kx.. Risk att man antecknar fel.
Björn Follin
Förstår inte heller riktigt fråga 7. Om den yttre funktionen är f(x)=x^2 och den inre funktionen är g(x)=cos x som ni har skrivit, bör f'(x)=2x och g'(x)=-sin x. Använder man då kjedjeregeln bör det väl bli 2x(cosx)*-sinx+3? Varför blir det inte x^2 någonstans i första termen när vi multiplicerar 2x med cos x?
Anna Admin (Moderator)
Hej Björn,
Det kan vara något förvirrande vid omskrivningen med kedjeregeln då det kan uppfattas som att, exempelvis i detta fall, derivatan av den yttre funktionen är
$f\left(x\right)=2x$.
Men $x$-et i regeln är inte samma $x$ som i uppgiften.
Kanske blir det tydligare om man substituerar på följande vis.
Sätt
$t=\cos x$ vilket ger att $t´=-\sin x$ och vi får då att
$y´=\left(\text{Yttre derivata}\right)\cdot\left(\text{Inre derivata}\right)=$$2t\cdot t´+3$
som vi sedan skriver om genom att ersätta tillbaka till
$y´=-2\cos(x)\text{ }\sin(x)+3$
Så derivatan av den yttre funktionen $f\left(x\right)$ är inte $2x$, utan $f´(x)=-2\cos(x)$
Hoppas det blev tydligare nu.
Jasmin Alhaj
på fråga 7 får jag svaret: 2cosx-sinx+3 är det rätt? Finns inget sådant alternativ.
David Admin (Moderator)
Hej Jasmin,
tyvärr är ditt förlag inte korrekt.
Jag har utvecklat förklaringen till uppgiften något. Se om den hjälper dig att förstå varför ett av alternativen är korrekt svar.
Endast Premium-användare kan kommentera.