00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Vektorer, absolutbelopp och konjugat

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen går vi igenom hur ett komplext tal kan beskrivas som en vektor i det komplexa talplanet, samt vad begreppen absolutbelopp och konjugat innebär när vi hanterar komplexa tal.

Komplexa tal som vektorer

Vi har tidigare sett att ett komplext tal kan representeras av en punkt i det komplexa talplanet. Det komplexa talet kan även beskrivas som en vektor från origo till punken. 

Det komplexa talet  z=a+biz=a+biz=a+bi  kan i det komplexa talplanet beskrivas som en vektor från origo till punkten  (a,b)\left(a,b\right)(a,b).

Absolutbelopp

Allmänt innebär absolutbeloppet för en vektor storleken av vektorn, dvs riktningen bortses ifrån. När ett komplext tal anges som en vektor i det komplexa talplanet innebär alltså absolutbeloppet längden av vektorn, vilket motsvaras av avståndet mellan origo och vektorns pilspets (punkten för det komplexa talet). Detta avstånd kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln, som i sin tur är en omskrivning av Pythagoras sats.

För att beteckna ett absolutbelopp används lodräta streck på varsin sida om talet eller uttrycket. Absolutbeloppet av talet  zzz  skrivs  z\left|z\right||z|.

Absolutbeloppet för ett komplext tal

Om  z=a+biz=a+biz=a+bi  gäller att

 z=a+bi=a2+b2\left|z\right|=\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}|z|=|a+bi|=a2+b2 

Observera att den imaginära enheten  iii  inte ingår i beräkningen av talets absolutbelopp.

Exempel 1

Bestäm  z|z||z|  då  z=5+12iz=5+12iz=5+12i .

Lösning

Vi använder oss att definitionen av absolutbeloppet för ett komplext tal.

 z=52+122=|z|=\sqrt{5^2+12^2}=|z|=52+122= 25+144=\sqrt{25+144}=25+144= 169=13\sqrt{169}=13169=13

Definitionen av absolutbeloppet gäller även för negativa koordinater.

Exempel 2

Bestäm  z|z||z|  då  z=23iz=-2-3iz=23i.

Lösning

Definitionen av absolutbeloppet för ett komplext tal ger

 z=(2)2+(3)2=|z|=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-3\right)^2}=|z|=(2)2+(3)2= 4+9=\sqrt{4+9}=4+9= 13\sqrt{13}13 

Eftersom vi vet att  (a)2=a2\left(-a\right)^2=a^2(a)2=a2  kan denna förenkling göras redan i det första steget.

Exempel 3

Bestäm  z|z||z|  då z=4+2iz=-4+\sqrt{2}iz=4+2i 

Lösning

 z=42+22=\left|z\right|=\sqrt{4^2+\sqrt{2}^2}=|z|=42+22= 16+2=\sqrt{16+2}=16+2= 18\sqrt{18}18 

Det komplexa konjugatet

Konjugatet till det reella uttrycket  a+ba+ba+b  är  aba-bab, dvs tecknet byts för en av termerna. Detta känner du förmodligen igen från konjugatregeln. För ett komplext tal  a+bia+bia+bi  byts tecknet för den imaginära termen. Det komplexa konjugatet är alltså  abia-biabi . För att ange det komplexa konjugatet används ett horisontellt streck. Konjugatet till det komplexa talet  zzz  skrivs   z\overline{z}z  och utläses ”z tak”.

Definition av konjugatet för ett komplext tal

Om z=a+bi z = a+bi gäller att

z=abi \overline{z}=a-bi

Exempel 4

Ange det komplexa konjugatet till 

a)  z=52iz=5-2iz=52i 

b)  z=10+iz=-10+iz=10+i 

Lösning

För det komplexa talet  z=abiz=a-biz=abi  är det komplexa konjugatet enligt definitionen  z=a+bi\overline{z}=a+biz=a+bi.

a) För  z=52iz=5-2iz=52i  är det komplexa konjugatet  z=5+2i\overline{z}=5+2iz=5+2i.

b) För  z=10+iz=-10+iz=10+i  är det komplexa konjugatet  z=10+(i)=10i\overline{z}=-10+(-i)=-10-iz=10+(i)=10i.

Det komplexa konjugatet i det komplexa talplanet

Om ett komplext tal  zzz  och dess konjugat  z\overline{z}z  ritas i det komplexa talplanet kommer  zzz  och  z\overline{z}z  vara varandras spegelbilder på varsin sida om den reella axeln. Detta gäller när talen representeras av punkter, och när de representeras som vektorer.

Absolutbeloppet och komplexa konjugatet

Nyttan med komplexa konjugat

När ett komplext tal multipliceras med sitt komplexa konjugat enligt  zzz\cdot\overline{z}z·z  får man ett reellt tal. Detta är mycket användbart vid division med ett komplext tal i nämnaren, vid förenklingar och när man löser ekvationer med komplexa tal. Mer om detta i kommande lektioner.

Exempel 5

Beräkna zzz\cdot\overline{z}z·z  om  z=2+3iz=2+3iz=2+3i.

Lösning

Det komplexa talet  z=2+3iz=2+3iz=2+3i  har konjugatet  z=23i\overline{z}=2-3iz=23i.

Vi beräknar produkten med hjälp av konjugatregeln.

 zz=z\cdot\overline{z}=z·z= (2+3i)(23i)=\left(2+3i\right)\cdot\left(2-3i\right)=(2+3i)·(23i)= 49i24-9i^249i2 

Eftesom  i2=1i^2=-1i2=1  kan vi förenkla ytterligare.

 49i2=49(1)=4-9i^2=4-9\cdot\left(-1\right)=49i2=49·(1)= 4+9=4+9=4+9= 131313 

Som resultat får vi alltså ett reellt tal 131313.

För alla komplexa tal zzz  gäller att produkten av zzz  och dess konjugat  z\overline{z}z  är ett reellt tal som är större eller lika med noll. 

Produkten av ett komplext tal  zzz och dess konjugat  z\overline{z}z 

 zz0z\cdot\overline{z}\ge0z·z0 

Exempel i videon

  • Markera z=3+4iz = 3 + 4i i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
  • Markera z=34iz = -3 – 4i i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
  • Bestäm z\overline{z}z=52iz = -5 – 2i. Markera båda talen i ett det komplexa talplanet.